含答案导数综合

1、【例1? 曲线1 3( 4y=_x3+x 在点 1,_：4 ；处的切线与坐标轴围成的三角形面积为3丿A. 29【答案B.C.D.【解析】y'二 f '(x)+ 1，在点的切线斜率为k = f '(1) = 2。所以切线方程为4y-§=2(x1),2 一 一，与坐标轴的交点坐标为(0,3-，选 B.9-2),(1 ,0)，所以三角形的面积为-3323【例2 ? 函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意 x R, f/(x)2,则 f(x) 2x 4 的解集A.(-1 , 1)B.(-1,+O )C.(-o, -I) D.(-OO，+ OO )【答案B【解

2、析设F(x)二 f(x) -(2x 4), 则F(_1)= f(_1)_(_2 4) = 2-2 =0,F '(x) = f '(x) -2 ,对任意 x R，有 F (R=f(x 2 0,即函数F(x)在R上单调递增，则F(x) 0的解集为(-1,二)，即f (x) 2x 4的解集为(-1,：)，选B.【例3 ? 若f(X )= 1 X2 +bln x在(1 +閃)上是减函数，则b的取值范围是 2【答案b乞1bb【解析函数的导数f'(x)=x+E，要是函数在(1 +°°)上是减函数，则f'(x) = x + b0，在(1+°

3、76;) xxb恒成立，即-_x，因为x 1，所以x 10，即b< x2成立。x【例4 ? 若a>0,b>0,且函数f (x) = 4x3 - ax2 - 2bx - 2在x=1处有极值，则ab的最大值()A.2B.3C.6D.9【答案D【解析函数的导数为f'(x) =12x22ax2b，函数在x = 1处有极值，则有f'(1) = 12 - 2a - 2b = 0 , 即a b =6，所以6二a b-2：ab，即ab乞9，当且仅当a二b=3时取等号，选 D.【例5 ?方程x3 -6x2 9x-10 =0的实根个数是A.3B.2C.1 D.O【答案】C【解析】

4、设 f (x) = x3 _6x2 9x-10, f'(x) = 3x2-12x 9 = 3(x-1)(x-3)，由此可知函数的极大值为f=-6：0 ,极小值为f(3) =-10：0 ,所以方程x3-6x2 9x-10=0的实根个数为1个.选C.【例6】？2已知函数f(x)=2xalnx,aR.x(1)若函数f (x)在1,：J上单调递增，求实数 a的取值范围(2)记函数g(x) = x2 f (x) 2x -2，若g(x)的最小值是-6，求函数f (x)的解析式.2 a【答案】f'(x)=220x x2令 h(x) 2x,x 1,；)x2 h (x)2 -2 : 0 恒成立x

5、.a - -2x在1, ：)上恒成立2分x h(x)在1, ：)单调递减 4分h(X)max = h(1) g(x) = 2x3 ax -2, x 0 g'(x) =6x2 a易知a _ 0时，g (x) _ 0恒成立 g(x)在(0, ：)单调递增，无最小值,不合题意 a : 011分-a令 g'(x) -0,则 x -列表如下,(略)可得,g(x )在(0, 才) 上单调递减，在q于严)上单调递增，则g(x)min =g(x)极小=g(J)= 613 分 62解得 a = -6 f (x) = 2x 6ln x 14分x【例 7】?已知 f(x)=xlnx , g(x) -

6、 -x2 mx-3.(1)求f (x)在t,t 2 l(t 0)上的最小值;(2)若对一切x"0, ： , 2f(x)_g(x)成立，求实数 m的取值范围.【答案】解：(I) f (x) =1 n x 1，令 f (x) =0,得 x J .e当x三0, - , f (x) : 0, f (x)单调递减；I e丿当 xf (x) .0, f(x)单调递增.e1因为t 0, t 22e111(1) 当 0 : t :-时，f(X)min =f 一 = 一一 ；e丿 e1(2) 当 t > 时，f(X)min =f(t) =tl nt.e0 : t :-所以 f(X)min 二tl

7、n t, t > 一. e(6分)23(n) 由 2xln x > -xmx 3 得 m < 2ln x xx设 h(x) =2ln x x 3 (x 0)，则 h (x) =(x 3 2"_ .令 h (x) =0 ,得 x =1 或 x = d (舍)，当 x (0, 1)xx时，h(x) ：0 , h(x)单调递减；当 (1, ：)时，h(x) 0 , h(x)单调递增，所以 h(x)min =h(1) =4.所以 m w h(x)min =4. (12 分)【例8】?已知函数f X =X3 -卡2 bx c，且f x在X =1处取得极值.(I)求b的值；(n

8、)若当x：T,2 1时，f x : c2恒成立，求c的取值范围；(川)对任意的,X2乏-1,2 , f (捲)-f(X2 |兰7是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立, 请说明理由.【答案】(I)： f(X)=X3 X2 + bx+C, f' (x)=3x2 x+b.2 分 f(x)在X=1处取得极值， f' (1)=3 1 + b=0. b= 2.3分经检验，符合题意.4分312小(n) f(x)=x x 2x+c.2/ f' (x)=3x2 x 2=(3x+2)(x 1),5 分x-1(T，-f)2"3 J(弓1)1(1,2)2f' (x)+0

9、一0+f(x)/221c273 +c2/(2)7分2 22当x= _时，f (x)有极大值二+c./(2) = 2+c>+ej(-l)=-+ < + c,又二一 x 1, 2时，f(x)最大值为f (2)=2+c.8分2 c >2+c. c< 1 或 c>2. 10 分(川)对任意的7"心g)g)弓恒成立.3由(n)可知，当 x=1时，f(x)有极小值13 + c x 1, 2时，f(x)最小值为-.7 l/E)-几-九(Q 匕2，故结论成立.14分【例9】？已知函数 f (X)=X3 _(2a+1)x2+(a2+a)x32(I)若f(x)在x -1处取

10、得极大值，求实数 a的值；(n)若-m R，直线y = kx m都不是曲线y = f (x)的切线，求k的取值范围;(川)若a -1，求f(x)在区间0, 1 上的最大值。【答案】解：(I)因为 f '(x) = x? -(2a 1)x (a2 a) = (x -a)x-(a 1)令f'(x) =0,得x (a 1),x2 a，所以f'(x), f (x)随x的变化情况如下表:x(X, a)a(a,a +1)a +1(a +1,讼)f'(x)+0-0+f (x)Z极大值极小值Z所以a = 1 5分(由f'(1) =0得出a = 0，或a =1，在有单调性

11、验证也可以(标准略) )(H)因为 f'(x) =(X 21)2 _丄 6分24因为- m R，直线y = kx m都不是曲线y = f (x)的切线，2a +1 2124只要f'(x)的最小值大于k1所以k 8分4所以f'(x)=(x)2k无实数解7分(川)因为a -1，所以a 1 0,当 a _1 时，f'(x) _0 对 x 0,1成立2 1所以当x -1时，f(x)取得最大值f(1)=a2 9分6当 0 :：: a ：1 时，在 x (0,a)时，f'(x) 0 , f (x)单调递增在 x (a,1)时，f '(x) ： 0, f (x

12、)单调递减1312所以当x =a时，f(x)取得最大值f(a) a a 10分32当 a =0 时，在 (0,1)时，f'(x) : 0 , f (x)单调递减所以当x = 0 , f (x)取得最大值f(0) =0 11分当-1 ： a ： 0 时，在 x (0, a 1)时，f '(x) ： 0, f(x)单调递减在 x (a 1,1)时，f'(x)0 , f (x)单调递增2 1又 f (0) =0, f(1) =a2 -6-1162 1当-1 - a 时，f(x)在x =1取得最大值f(1)=a -6 6J6当-:：:a :：: 0 时，f(x)在 x = 0

13、取得最大值 f(0) =06a 6时，f(x)在x=0, x=1处都取得最大值0.614分综上所述,J6当 a _1或 -1 ： a ： -、时，f (x)取得最大值 f (1) = a2616当 0 : a ： 1 时,1 3 1 2f(x)取得最大值f(a) = 3a 2af(x)在x=0 , x =1处都取得最大值 0.'6当. a0时，f(x)在x = 0取得最大值f(0)=0.6【作业1】？已知f(x) =ax3+bx2+c,其导函数(x)的图象如右图，则函数f (x)的极小值是C. 3a 2bD. c【答案】D【解析】由导函数 f (x)的图象知当x ： 0时，f (x)

14、： 0，当0 ： x ： 2时，f (x) 0 ,所以函数f (x)的 极小值为f(0)二c，选D.【作业 2 】？已知 f(x) =x2 2xf' (1)，则 f'(0)=.【答案】-4【解析】函数的导数为f'(x) =2x+2f'(1),所以f'(1) = 2 + 2f'(1),解得f'(1)= 2所以 f ( x)二殳4x 所以 f '(x) = 2x -4，所以 f '(0) = -4。【作业3 ?若函数f(x) =x3 -3x a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 .【答案】(一2,2)【解析】由 f (x)

15、 = x3 -3x a =0 ,得 f (x) =3x2 -3，当 f '(x) =3x2 -3 =0，得 x 二 1，由图象可知f极大值(-1)=2 - a, f极小值(1)=a -2 ,要使函数f (x) =x3 -3x a有三个不同的零点，则有f极大值(- 1 ) = 2a -极小值(al )=:，即-2 a : 2，所以实数a的取值范围是(-2,2)。【作业4】？已知函数错误！未找到引用源。(1)若错误！未找到引用源。 在区间1, +错误！未找到引用源。)上是增函数，求实数 错误！未找到引用 源。的取值范围(2)若错误！未找到引用源。 是错误！未找到引用源。的极值点，求错误！未

16、找到引用源。 在1,错误！未找到引用源。上的最大值【答案】(1) /(j) = ax3-/r(x) =-2ax-3,/函数了(畫)在区1,400)上是增函数八耳=3/-2ax-3> 0在1.Ho)上恒成立，则耳一 ，虫丿go(2)由(1) fx) = 3x2-2ax-3t若"-壬是/的极值盘二 3(-)2-2(7(-1)-3 = 01 解得a = 4,= ?= 3”一矗一3,令rW = 3-8-3 = 0,解得可二可=3,二函数弘)的増区间为(f -?或(3何减区间为冷3),:函数/仗)在1,3±是减函数，在3.4±是增函数，又/(4) = -12,-此时函

17、数/任)最大值为/(1) = -6【作业5】？)已知x =1是函数f x二ax-2 ex的一个极值点.(a，R )(1) 求a的值；(2) 任意疋,0,2 1时，证明：| f为Lf x2 pe【答案】(1)解：f'(x) =(ax a-2)ex,由已知得f'(1) =0，解得a =1 .当a =1时，f(x)=(x-2)ex，在x =1处取得极小值.所以 a = 1. -4 分(2)证明：由(1)知,f (x)二(x-2)ex， f '(x)二(x-1)eT.当0,11时,f'(x) = (x-1)e0，f(x)在区间0,1 单调递减;当 x1,2 时，f &#

18、39;(x(x -1)ex 0，f (x)在区间 1,2 单调递增.所以在区间1.0,2 1上，f(x)的最小值为f(1)-e.- 8 分又 f(0) - -2， f (2) =0,所以在区间10,2 上，f (x)的最大值为f(2)=0. 10分对于 X1, X2 0,2 1，有 f (为)- f(X2)乞 fmax(X)- An(X).所以 f (xj - f(X2)二0-(-e) =e.12分【作业6】？)2已知 f(x)二 x ax -1nx,a R。(1 )若a=0时，求函数y = f(x)在点(1, f (x)处的切线方程；(2) 若函数f(x)在1 , 2上是减函数，求实数 a的取值范围；g(x)的最小值(3) 令g(x)二f(x) -x2,是否存在实数a，当(0,e(e是自然对数的底)时，函数是3，若存在，求出a的