四川文科详细答案

1、2006年普通高等学校招生全国统一考试 (四川)数学(文史类)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第II卷3到8页。考 试结束 后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷注意事项：1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后 选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。3. 本卷共12小题，每小题 5分，共60分。在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要 参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A + B) = P(A) + P(3)如果事件A、B相互独

2、立，那么P(AB) = P(A)P(B)球是表面积公式S=4状其中R表示球的半径球的体积公式求的。如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么4,V =忒3其中R表示球的半径n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pk) = C : pkQ P)i一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合目要求的。1. 已知集合 A=(xl .r -5x + 6 < 0= x I |2x-l| > 3 ),集合 AAB =(A)(.rl2<x<3(B) (.x I 2 < x < 3( C) xl2<xM3( D) , yI

3、-1 va-<32. 函数y = ln( x l)(x > 1)的反函数是(A) fA(x) = e'+l(x e R)(B)尸(x) = 10'+l(xeR)(C) yT(x) = e*+l(xl) CD) yT(x) = e*+l(x > l)3. 曲线y = 4x x3在点(一 1, 3)处的切线方程是(A) y = 7x + 4 (B) y=7x + 2(C) y = x-4(D) y = x-24. 如图，已知正六边形下列向量的数量积中最大的是(A)闸3(B)距？商(C)秘？离(D)旺？秘5. 甲校有3600名学生，乙校有'5400名学生，丙

4、校有'1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生(A) 30 A, 30 人，30 A(B) 30 人，45 A, 15 A(A) y = sin(A' + )6(B) y = sin(2x-当6n L /3则就n所成的角为(D)120 °的轨迹所包围的图形的面积等于(C) 20 人，30 人，10 人 (D) 30 人，50 人，10 人6.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是(C) y = cos(4x- )( D) y = cos(2x-)367.已知二面角a-l-/3 的大小为60&

5、#176;, m.为异面直线，且 m La(A) 30 °(B) 60 °(C) 90 °8已知两定点 A(-2,0), B(l, 0),如果动点P满足条件冏| =2|PB|,则点P(A)(B) 8 (C)(D) 719.如图，正四棱锥 P ABCD底面的四个顶点 A、B、C、D在球0的同一个大圆上v16点P在球面上，如果 Vp-ABCD=耳，则求0的表面积为(O 12 万B两点，过A、(D) 16 B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别(A) 4 兀(B) 8 10. 直线y = X 3与抛物线y2 = 4.x交于为P、Q ,则梯形APQB的面积为(A) 36.(

6、B) 4811. 设a、b、c分别为AA3C的三内角 A、(A)充要条件(B)充分而不必要条件'9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被(B)H (c)ii12.从。到(A)60(C) 56C所对的边,(D) 64.则 a2 = b(b + c)是 A=2B 的(C)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件3整除的概率为(D) 1254第II卷(非选择题共90分)、填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分。把答案填在题中横线上。13. (1-2x)i展开式中J的系数为(用数字作答)。X > 1,14.设x、y满足约束条件:能上尤2，2x +

7、y <则z = 2x-y 的最小值为10.15. 如图把椭圆一+ -1的长轴AB分成8分，过每个分点作 x轴的垂25 16线交椭圆的上半部分于，旦，. g七个点，F是椭圆的一个焦点，贝9P2F+ .+M=?16. m>n是空间两条不同直线，以、”是空间两条不同平面，下面有四 个命题： m 丄a, n (3, a (3 => m 里 n; m 丄n, a /3,m La n m 丄n, a /3,m a => _!_ 月； m -La,m n,a J3 => n 丄 J3',其中真命题的编号是(写岀所有真命题的编号)三.解答题 共6个小牌,共74分，解答时应

8、写岀必要的文字说明，证明过程或演算步骤 得分 评卷人17?(本小题满分12分)数列a.前 n 项和记为 S,。1 = 1, an+i = 2S n +1, (n > 1),求 %的的通项公式(II)等差数列仑的各项为正，其前n项和为二，且7; =15,又 +，a2 +b2,as+b3成等 比数列,求K.得分评卷人18.(本小题满分12分)已知A、B、C是ABC三内角，向量I )求角A若 1 + sin IBm = (-1, V3), n = (cos A,sin A),且=1.(II) 2JB - sin2 B如=-3,求 tanC。得分评卷人19.(本小题满分12分)某课程考核分理论与

9、实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”， 两部分考核都"合格”则该课程考核"合格"。甲、乙、丙三人在理论考核中合 的概率分别为 0.9、0.8、0.7;在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9所有考核是否合格相互之间没有影响。求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；(II)求这三人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数)得分评卷人20.(本小题满分12分)如图，长方休 ABCD-ABC|D中，E、P分别是BC、AD|的中点M> N 分别是 AE、CD的中点，AD=AA = a, Ab=2a,(I )求证：MN 平面ADD

10、/； (II )求二面角P-AE D的大小；得分评卷人21.(本小题满分14分)已知函数 f(x) = % 3 +3ax - 1, g(x) = fx)-ax-5, 其中 f'(X)是的 f(x)的 导函数。(I )对满足-iMaM 1的一切a的值，都有g(x)<0,求实数x的取值范围；(II)设a = -m 2,当实数m在什么范围内变化时，函数 y=f(x)的图像与直线y =3只有一个公共点得分 评卷人22-(本小题满分12分) 已知两定点乌(一扼，0),旦(扼，0),满足条qPF2|-|PFi| = 2的点P的轨迹是 曲线E,直线y=kx 1与曲线E交于A、B两点。(I )求

11、k的取值范围；(II)如果|丽| = 6右，旦曲线E上存在点C,使 0A + 0B = m0C,求 ？的值和灿貌S选择题：2杠大题共12小题，每小题5分，共60分;题号123456789101112答案cADABDBCDBAC(1)已知集合 A = x,2 _5x + 6 V 0 )=x 12 W X W 3,3=圳 2 工-1|>3就 lx>2 x<-,则集合 An5 = x|2<x<3,选 C.(2 )函数 /(x) =ln(x-l),(x>l),解得 x = e y +1 (y R),所以原函数的反函数是fl (x) = ex +l(x e 7?),选

12、 A.(3)峨y = 4x-x 3,a y' = 4 3子，在点(-1,-3 )处的切线的斜率 为k=l,Rp所以切线方程是 y = x-2,选D.7如图，已：形曹"府6,设：长哗国，贝9 *华专，乌2Pa,Pa = a-2a-A = a ,耳有，京=0, Pa,Pa<Q,：.数量积中最大的是巫，耳甬，选A(5) 甲校有3600名学生，乙校有 5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生30人，45人，15人，选B.¥片_1一 Aj 7T 7T 7T(6) 从图象看岀，

13、一 T=4 + # = #,所以函数的最小正周期为71,函数应为412 6 47Ty=sin2x向左平移了一个单位，即6TTTCTCTCTCy = sin 2(x d"一) = sin(2x d 一 ) = cos( + 2x-t " 一) = cos(2x-),所以选 D.63236(7) 已知二面角a-l-f3 的大小为60°, m,n为异面直线，且 m La,n L /3 ,则初，所成的角为两条直线所成的角，9=60，选B.(8)已知两定点A(-2,0) ,3(1,0),如果动点P满足冏=2网，设P点的坐标为(x, y),则(x + 2)2 + y2 =4(

14、X-1)2 + /,即(x 2)2 + 3? = 4,所以点户的轨迹所包围的图形的面积等于4兀，选C.(9)如图，正四棱锥 P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球。的同一个大圆上，点 F 在球面上，PO 上底面 ABCD, PO=R, SARm = 2R 2 , Vp ABCn = , riD1 /iD所以-2R2 R= , R=2,球。的表面积是 16勿，选D.33(10)直线y = x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点，过两点向抛物线的准y2 = 4x线作垂线，垂足分别为p,q ,联立方程组得，消元得y = x-3x2-10x + 9=0,解得 <48,选 B.梯形apqb勺

15、面积为x = 9,A IAPI=10, IBQI=2, IPQI=8, y = 62(11) 设a,b,c分别是AABC的三个内角 A,B,C所对的边，若a =b(b + c),.2 .? n/ ? n?八 mil 1-COS 2(7 1-COS2B ? n ?八贝 U sin A = sin B(sm B + sin C),贝 U=； F sin B sin C ,:(cos 25 一 cos 2A) = sin B sin C , sin(B + A)sin(A - B) = sin B sin C,又 sin(A + 8) = sinC , sin(A-B) = sinB , A-B =

16、 B , A = 28,若AABC中，A = 2B,由上可知，每一步都可以逆推回去，得到a=b(b + c),所以a=b(b + c)是A = 23的充要条件，选 A.(12) 从0到9这10个数字中任取 3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除。所有的三位数有人*-& = 648个，将10个数字分成三组，即被3除余1的有1,4, 7、被3除余2的有2, 5,8,被3整除的有3, 6, 9, 0,若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：三个数字均取第一组，或均取第二组，有 2A ; =12个；若三个数字均取自第三组，则要考虑取岀的数字中有无数字0,共有=18个;若三

17、组各取一个数字，第三组中不取0,有=162个，若三组各取一个数字，第三组中取0,有C"C ; ? 2?&=36个，这样420 35能被3整除的数共有 228个，不能被3整除的数有420个，所以概率为一A =,选C。648 54第II卷二. 填空题：本大题共 4小题，每小题 4分，共16分；把答案填在题中的横线上。(13) (l-2x)10展开式中的Y项为席).17.(2x)3 = 960尸，尸的系数为一960。x>l(14)设满足约束条件：<2 y>x ,在直角坐标系中画岀可2x + y <10行域 AABC,其中 A(l, ?), B(l, 8),

18、C(4, 2),所以 z = 2x-y 的最 小值为一 6。2 2(15) 如图，把椭圆土 +匕=1的长轴A3分成8等份，过每个分点作x轴25 16的垂线交椭圆的上半部分于已4，己，鸟,£,4，乌七个点，F是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知，1*鸟1 + 10鸟1=1*4 1 + 1 *gl=2a,同理其余两对的和也是2。，又I P4F = a ,|AF| + |AF| + |AF| + P4+1/> F| +1/> F| + P7F = la =35.(16) m,"是空间两条不同直线，a,是两个不同平面，下面有四个命题：为ie假命题；”真命题，所以真命题

19、的编号 m La,nII )3,a II )3 n m顼，为真命题； m 土 n, a II /3, mVaAnl 1/3, 2 Ln,all /3,mllaA nV (3为假命题； J_ a,mll n,a II (3=> n J_是、.三. 解答题：本大题共 6小题，共74分；解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤。(17)(本大题满分12分)数列 %,的前"项和记 为 S,% = 1,an+l = 2Sn +1( 21)(I )求a,的通项公式；(II)等差数列也的各项为正，其前“项和为L，且弓=15,又。+气，。2+。2，角+3成等比数解(I)由 a + =2S + 1

20、 可得=2S,_ 计1 ( ?>2)，两式相减得 an+i -a n = 2a n, a n+i =3a n (n > 2)又2Si +1 = 3 .*? a2 = 3。故 %是首项为1,公比为3得等比数列,4 = 3" |(II)设勿2的公比为 d由岩=15得，可得bx+b2+b3 =15,可得b2=5故可设。1 = 5 d,Z?3 =5 + d又 q = 1,缶=3, % 9由题意可得(5 d +1)( 5 + d + 9) = (5 + 3) 2解得 dx 2, d2 = 10?.等差数列勿2的各项为正，d > 0:.d = 2 n(n-l 。L = 3 +x

21、2 = n + 2n'' 2(18 )(本大题满分12分)已知 A,B,C 是三角形 AABCH 内角，向量 m =(一 1,右)， =(cos A,sinA),且 m-n = l求角A ；1 + sin 2B Q 卡？ z?(II) 4=1 q3, tan Bcos2 B-sin2 B考察应本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角 公式，用、分析和计算能力。满分12分。解：(I ) *.* m-n =(-1,右).(cos A, sin A) = 11即 V3 sin A - cos A = 1J ?淫2 sin Acos A - =

22、 12 2jsin"W j_2八4兀、兀5兀? 0 < A < A,< A < 66647171:.A =一6 6471? A3(II)由题知 1寸sin'co;'= 3,整理得 cos-B-sin-Bsin2 B - sin B cos B -2 cos2 B = 0/. cos B A0 tan2 B - tan B -2 = 0tan 3 = 2 或 tan 3 = 1而 tanB = - 1 使 coS2 B-sin2B = Q ,舍去tan B = 2（19）（本大题满分12分）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合

23、格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核合格”，甲、乙、内三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7;在实验考核中合格的概率分别为 0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响（I）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（II）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。解：记“甲理论考核合格”为事件 A, “乙理论考核合格”为事件 4，“丙理论考核合格”为事件 A3,记瓦为凡 的对立事件，i =1,2,3 ；记“甲实验考核合格

24、”为事件鸟，“乙实验考核合格”为事件与，“丙实验考核合格”为事件坊，（I）记“理论考核中至少有两人合格”为事件 C,记亍为C的对立事件解法 1 : P （ C） = P （ A1A2A3 +AAA +Ai A?AA=P（ AA & ） +P （ A 盅 & ） +p （人匹 & ） +P （ A1A2A3）=0.9 X 0.8 X 0.3 + 0.9 x 0.2x 0.7 + 0.1x0.8x 0.7 + 0.9 x 0.8 x 0.7=0.902解法 2 : P（C） = 1-P（ C）=1 P （ Aj A。A3 + Aj A3 + A A + A A 。A3 ）=

25、1 P （两瓦）+ P （A 屋&） + P （R& ） + P （&硕）=1 一 （0.1x0.2x0.3 + 0.9x0.2x0.3 + 0.1x0.8x0.3 + 0.1x0.2x0.7 ）=1-0.098=0.902所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902（II ）记“三人该课程考核都合格”为事件 DP （D） = P （ A?鸟）？（板功）？（人也）=P （A1-51） -P （4-52）P （A3-53）=P （A1） -P （ B1） -P （A） .P （B2） .P （A3） .P （B3）=0.254016r 0.254所以，这三人该课程考核

26、都合格的概率为 0.254（20）（本大题满分12分）如图，在长方体 ABCD -中，E,P分别是BC, AxDX的中点，M,N分别是 AE,CD1的中点，AD = AA=a,AB = 2a（I ）求证：面 ADD.A,:（II）求二面角 P-AE-D的大小。力和本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能 推理能力。满分 12分解法一：(I )证明：取 CD的中点K,连结MK,NK，:M,N,K分别为AK,CD,CD的中点':MK/AD,NK/DD:.MK 面 ADEAx, NK 面 ADIXAx:.面 MNK 面 ADDAx:.MN / 面 A

27、DD JAJ(II)设F为AD的中点P为 的中点PF DDi:.PFIffi ABCD作FH LAE,交AE于H ,连结PH,则由三垂线定理得 AE 1 PH 从而/PH尸为二面角 P-AE-D的平面角。在 RtAAEF 中，AF =-,EF = 2a,AE = A-a，从而2 2% AF_EF _ 2 _ 2.FH =而一而AE2Q在 RtAPFH 中，七 EH PF DDI V17l tan ZPFH =FH FH2故：二面角 P AE D的大小为arctan寸7 2方法二：以。为原点，DA,DC,DD所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，则A(a,0,0),3( a,2a,0

28、) ,C( 0,2a,0), A (a,O,a),D (0,0,a)E,P,M,N 分别是 BC, AjD, AE,CD 的中点(I ) M2V=A-|a,0,|A|取n = (0,1,0)，显然】丄面ADD ; AMN-n=Q, :. MN In 又 MN<Z 面 AOZ ) /MN 面 ADD A.?.过 F 作 PH ± AE,交 AE于 H ,取 AO 的中点 F,则 FA|,0,0 设 H (x,y,0 ),则a = g_x,_y?A = g_x,_y,oj又 AE =(-A,2a,o,2由APAE = Q,及H在直线AE±，可得：一彳+ 5' 2。

29、 = °,332构犁得尤=a,y = 一 a34178a 2a?HP 1717;.HFAE = O 即 HF LAE:.加与赤所夹的角等于二面角P-AE-D的大小/ HPHF 2COS (HP, HF) = |.i ztt =,''阴？阴V21n M 1故：二面角 P- AE - D 的大小为arccos21(21)(本大题满分12分)已知函数f (x) = x3 + 3ax -1, g (x) = f(x) ax 5,其中f (x)是的导函数(I) 对满足一 1。 1的一切。的值，都有 g(x)0 ,求实数1的取值范围；(II) 设a = -m2,当实数秫在什么范围

30、内变化时，函数y = /(%)的图象与直线y = 3只有一个公共本小题主要考察函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识，以及推理能力、运输能力和综合应用数学知识的能力。满分12分。A?:( I )由题意 g(i) = 3 尤 2。尤 + 3。一 5令。(尤)=(3-x)a + 3x2 -5 , -l<a<l对一 1<QV1,恒有 g(i)<0,即伊(Q)<02.J 9( 1)<。pn/3x -x-2<0° l)vO3x2+x-8<02解得一一<x<l3g(x) <o故工4一 |> 1时，对满足一1<。< 1的一切。的值，都有(II) / (尤)=3子一3秫之当m = 0时，f(x) = x 3-l的图象与直线 y = 3只有一个公共点当时，列表：X(-8, m)-m(-g , m)m(m ,+8)f+00+f(x)极大极小? fi)极小=f (W) = -2m2 |m|-l<-l又?.?/(%)的值域是 R,且在(|m|,+oo)上单调递增.?当尤 时 时函数y = /(x)的图象与直线 y = 3只有一个公共点当xv |m|时，恒