圆锥曲线知识要点及结论个人总结

1、圆锥曲线知识要点及重要结论一、椭圆1定义 平面内到两定点 FF2的距离的和等于常数 2a(2|F2)的点P的轨迹叫做椭圆若2a = F,F2，点P的轨迹是线段FiF2若0 ： 2a ： F,F2，点P不存在2 22标准方程务 与=1(a b 0)，两焦点为 R (_c,0), F2(c,0). a b2 2=1(a b 0)，两焦点为 Fi(0,_c), F2(0,c).其中 a2"2 cla b3几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴.椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心椭圆的顶点有四个，长轴长为2a，短轴长为2b，椭圆的焦点在长轴上2 2若椭圆的标准方程为 务与=1(a b

2、0)，则- a空x空a, -b曲乞b ； a b2 2若椭圆的标准方程为=1(a b 0)，则-b辽x乞b,-a y乞a.a2b2二、双曲线1定义 平面内到两定点 F1, F2的距离之差的绝对值等于常数2a(0 ： 2a ： R F?)的点的轨迹叫做双曲线.若2|F1F2，点P的轨迹是两条射线.若2|F1F2，点P不存在.2 22 标准方程务£=1(a 0,b0)，两焦点为 F1(-c,0), F2(c,0).a b2 2令占二“ 0,b 0)，两焦点为 F1 (0c), F2(0, c).其中 c2 二 a2 b2. a b3几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对

3、称图形，对称中心是双曲线的中心双曲线的顶点有两个 A1, A2，实轴长为2a，虚轴长为2b，双曲线的焦点在实轴上2 2若双曲线的标准方程为J 壬-1(a0,b0)，则 x 乞-a或x a, y R ；a b若双曲线的标准方程为2 a2-牛=1(a0,b0)，则 y -a或 y a, x R .b24渐近线2 2双曲线x y2-.2ab22yx2.2ab双曲线=1( a 0, b 0)有两条渐近线y=1( a 0, b 0)有两条渐近线yaax和yx.即bb2 2x y =02 2ab22yx2.2ab但对于同双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线,组渐进线却对应无

4、数条双曲线 .2 2 2 2与双曲线 笃-与 "(a 0,b 0)共渐进线的双曲线可表示为笃-笃二a ba b直线与双曲线有两个交点的条件,定要“消元后的方程的二次项系数=0”和“ .0”同时成5等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线2 2 2 2等轴双曲线的标准方程为 笃一爲=1(a . 0)或爲-笃=1(a .0).a aa a等轴双曲线的渐近线方程为 y= x.6共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线2 2 2 2如：笃-Xr =1(a 0,b - 0)的共轭双曲线为 Xr =1(a 0,b - 0)，它们的焦点到 a bb a原点的距离相等，因而

5、在以原点为圆心,.a2 b2为半径的圆上且它们的渐近线都是x禾廿y = _ a三、抛物线 1定义 平面内与一个定点 F和一条定直线l(F不在I上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线定点F叫做抛物线的焦点，定直线 I叫做抛物线的准线2标准方程(1) y2=2px(p>0)，焦点为(#,0)，准线方程为x =号，抛物线张口向右. y2 - -2px(p 0)，焦点为(-号,0)，准线方程为x =号，抛物线张口向左x2 =2py(p 0)，焦点为 硝) ，准线方程为y = 一号，抛物线张口向上.X2 = -2 py(p 0)，焦点为 (0,诗) ，准线方程为y二号，抛物线张口向下. 其中p表示焦

6、点到准线的距离.3几何性质抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为=2px(p .0)或y = _2px(p 0),则对称轴是x轴，若方程为x2 =2py(p . 0)或x2 =_2py(p 0)，则对称轴是y轴.若抛物线方程为2y = 2 px( p . 0)，则 x _ 0, y R.若抛物线方程为2y - -2 px( p - 0)，则 x _ 0, y R.若抛物线方程为x = 2 py( p . 0)，则 y _ 0,x R .若抛物线方程为x = -2py(p 0)，则 y _ 0, x R.圆锥曲线的一些重要结论【几个重要结论】2 21已知椭圆 笃与 "(a b 0)

7、的两焦点为Fj-cQEgO)，P(x0,y0)为椭圆上一a b点，则 PFiZg 心 +£十+抒 +£(1-¥)c X。2cx° acx°2a)ms丿 丿cx0cx0因为 一a 乞 x0 乞 a， -c 0 _ c,0 ： a -c 0a c，aa所以 PF-cx° +a .同理，PF2 =2a PF=a 绝.aa2 2已知双曲线 务-占-1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1c,0), F2(c,0) ,P(x0,y0)为a b双曲线上一点，则PF1，PF2 =也aaa2 22椭圆 J 七=1(a b 0)的两焦点为Fi,F2，

8、P为椭圆上一点，若 F1PF2 7，则 a bF1PF2的面积为b2 sin ： 2 丄b tan1 cos：2解：根据椭圆的定义可得 PR + PF2 =2a2 2 2由余弦定理可得 4c2 =丁店2| =|PF1 +|PF2 2PF1PF2co鈕 2b21 cos：所以,=PFi F2的面积为PF1 PF2 sin a2b2 sin :1 cos：2:=b tan 由得 4a2 4c2 =2PFi|PF2（1+cosu）.从而 PFi|PF22 2双曲线 冷-爲-1(a 0,b 0)的两焦点为，P为其上一点，若.RPF2 f则a bb2 sin :1 - cos：2、匚=b2 cot .1

9、 F1PF2 的面积为 £ PF1 PF2 sin ：2 2xv3已知椭圆C：二 牙=1( a b 0)，M ,N是C上关于原点对称的两点，点P是椭圆a b上任意一点，当直线 PM , PN的斜率都存在，并记为 kpM , kPN时，那么kpM与kPN之积是 与点P位置无关的定值.解：设 P(x(p Vo), M (xyj，则 N(-y)kpM二X1 - Xo一1 Vo，从而 kpM kpN_ X1 _ X。% y。一 y1 一 y02 2y。一 *X1 - Xo-X1 - Xo2Xo2又因为P(Xo, Vo)，M (X1, V1)都在椭圆上，故 笃卫 ab2=1,2X1a两式相减得

10、,22Xo -X12a2-y1222斗仏=0,因而返 2bx0 -x-ib2与即kpM akPNb22 .a类似结论已知双曲线2x2a2*7 =1(a0,b0). M ,N是C上关于原点对称的两点，点b2p是双曲线上任意一点,当直线 PM , PN的斜率都存在，并记为 kPM , kPN时，那么kPM与kPN之积是与点p位置无关的定值【常用方法】1在求轨迹方程时，若条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以用定义求轨迹方 程，这是常用求轨迹的数学方法，称为定义法 2本章经常会碰到直线I与圆锥曲线C相交于两点的问题， 若已知I过定点P(x0,y0)，则可设I的方程为X = X。或y - y。

11、二k（x - X。）然后分两种情况进行研究， 一般处理方法是把直线方程代入曲线 C的方程中，整理得到关于 x或y的一元二次方程（要注意二次项系数是否 为零）.韦达定理 和判别式经常要用到！若|的条件不明显时，则可设|的方程为x二m或y = kx m .3本章还经常用到“点差法”：设直线|与圆锥曲线C交于点A（x1, y1）, B（x2,y2）,则代B两 点坐标都满足曲线 C的方程，然后把这两个结构相同的式子相减， 整理可以得到直线 AB的 斜率y2 一的表达式，也经常会出现 x1 x2, y1 y2，这样又可以与线段 AB的中点x2 _為P（ xo , yo ）联系起来！4若三点A（xi，yj

12、, B（x2，y2），P（x°,y。）满足以线段AB为直径的圆经过点 P或AP _ BP 时，常用处理方法有：2 2 2 根据勾股定理可得 AB =PA +|PB ； 根据AP的斜率与BP的斜率之积为-1，可得y。一 yi y。一 y2 = 一1 ；X。 Xi X。 X2 根据 pa PB =0, PA = （Xi x°,yi -y°）,PB =（X2 - 心，丫2 -y。）可得（Xi -x°）（x2 -x。） （yi -y°）（y2 -y。）=。.5求轨迹方程的方法常见的有：直接法、定义法、待定系数法、代入法（也叫相关点法）.圆锥曲线中有用的

13、结论1椭圆 笃 7 =1(a b 0)的参数方程是 x - ac°s a2 b2ly = bs 他1耳， PFF2 中，记 N FiPF2=g, NPFiF2 = B, NF1F2P =丫，则有一弈sin P +sin ；ce. a2线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离c（焦准距）b2P 二c过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为:= 1(a . b . 0)焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积2_/ aPF! =e(x+)=a+ex c2aPF2 二 e( x)二 a -exc2二 c I yp | = b tanF1PF23椭圆的的内外部2 2x y(1)点 P(xo,y

14、o)在椭圆2 -1(a b 0)的内部 ua b2 2x y(2)点 P(x°,y°)在椭圆2 =1(a b 0)的外部=a b2 222I a b22西西12.2ab4椭圆的切线方程(1)x y椭圆二 2 -1(a b 0)上一点P(x°,y°)处的切线方程是a b(2)x y过椭圆- 4 =1外一点P(x°,y°)所引两条切线的切点弦方程是a bxgx _ygy =1 r盲2 2)椭圆笃每=1(a b 0)与直线Ax By C = 0 b2=c .条件是A2a2B2b2-1(a0,b0)的离心率e = ca1 a2， PFH 中，

15、记 NF1PF2，/PRF2 =0 , NF1F2P，则有sin :sin - - sin2 2 2焦点在x轴的笃一厶訥0)与焦点在y轴的爲 a bb2x-2a=n (n0)共渐近线，它们离心率满足关系丄丄刊2 2 12准线到中心的距离为 ，焦点到对应准线的距离 (焦准距)pc过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：2焦半径公式 PF1 =|e(x )|=|a ex|，c2 b22PF2 =|e( x)鬥aex|，c两焦半径与焦距构成三角形的面积6双曲线的方程与渐近线方程的关系=b2 cotF1PF22 2(1 )若双曲线方程为話亡e渐近线方程:2 2心 yJx.a ba(2)若渐近线方程为x

16、 V 0=双曲线可设为a b2x2a2 2 2 2(3) 若双曲线与 笃一爲=1有公共渐近线，可设为笃-爲a ba bG 0，焦点在x轴上，：0，焦点在y轴上)(4) 焦点到渐近线的距离总是7双曲线的切线方程：x22(1)双曲线x2 " a22Xy2,2ab22Xy2 a_b2过双曲线(3)双曲线=1(a0,b -0)上一点P(xo,yo)处的切线方程是-1外一点P(xo,y。)所引两条切线的切点弦方程是2 2=1与直线Ax By 0相切的条件是A aXoX yoya2b2 =1.8抛物线y2= 2px的焦半径公式：抛物线y? = 2 px( p - 0)焦半径CF过焦点弦长CD=x

17、1x2二右 X2 P= 孕-sin «i22二(N -X2)(% -丫2)或AB = J(1+k2)(x2 +xj2-4x2 %斗 为-x21J1 +tan2。=| 屮一 y2、=kx + b2消去y得到ax + bx + c = 0 jF(x,y) =09直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB(弦端点Ay), B(x2, y2)，由方程丄 0,为直线的倾斜角，k为直线斜率，1% -X2 1= (x1 X2)2 -4X1X2210. 经过抛物线y=2px (p>0)(*)的焦点作一条直线l交抛物线于 A(xi ,yi)、B(X2, y2),则 l的方程为x= £ (通经所在

18、直线)，或y=k(x 卫)(*)2 2 (*)、(*)两式联立：消x得上y2 _ y _Pk = 0，得yiy2= p2 (定值)消y得方2 p2.2 2 2程 k2x2 - (k2 p 2 p)x 一p0，得 XiX2=丄(定值)44例题：若pi(xi ,yi), P2(X2, y2)是抛物线y2=2px (p>0)上不同的两点，贝“yiy2= p2”是"直 线PiP2过抛物线焦点F ”的充要条件.11. 以焦点弦 AB为直径的圆必与准线相切。 以焦半径为直径的圆必与y轴相切(请证明！) 过A、B作准线的垂线，焦点弦AB与准线形成的直角梯形 ABBA/的对角线的交 点是原点.2 T (2p,0 )是抛物线y=2px对称轴y=0上的特殊点，过此点的弦与抛物线交于P、Q,则有/ POQ=90°或说 OOQ =0。2 212.中点弦公式1. AB是椭圆 令=1的不平行于对称轴的弦，Mx0,y0)为AB的中点,a b则 kOM kABb2'2a，即 K AB_b2Xoa2yo2X 丿2.AB 是双曲线 一22 =1 (a > 0,b> 0)a bb2X