初中数学练习题

1、专题七新定义阅读理解题(2019 重庆 A 卷)道德经中的“道生一, 一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征，在数的学习过程中，我们 会对其中一些具有某种特性数进行研究如学习自然数时，我们研究了奇数、 偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数“纯数”.定义：对于自然数 n，在计算 n + (n + 1) + (n + 2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数 n 为“纯数”.例如：32 是“纯数”，因为计算32 + 33 + 34 时，各数位都不产生进位;23 不是“纯数”，因为计算 23 十 24 + 25 时，个位产生了进位.判断 2 019 和 2 020 是否是“纯

2、数”？请说明理由；(2)求出不大于 100 的“纯数”的个数.【分析】(1)根据纯数的定义逐一判断2 019 和 2 020 即可；(2)判断不大于 100 的“纯数”的个数，可先从个位数字入手，确定个位数字的特点，再确定十位数字的特点，即可得到对应的“纯数”.【自主解答】1 . ( 2018 重庆 A 卷)对任意一个四位数 n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称 n 为“极数”.(1) 请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99 的倍数，请说明理由；(2)如果一个正整数 a 是另一个正整数 b 的平方，则称正整数 a 是完全平方数，m若四位数 m

3、 为“极数”，记 D(m) =33.求满足 D(m)是完全平方数的所有m.2 . ( 2020 原创)若在一个两位正整数 N 的个位数字与十位数字之间添上数字2,组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N 的“中 2 数”，记作 F(N)，如 34的“中 2 数”为 F(34) = 324 ;若将一个两位正整数M 加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为M 的“尾 2 数”，记作 P(M)，如 34 的“尾 2 数”为 P(34) = 36.(1) 判断 Q(T)是否为整数，并说明理由；(2) 对于一个两位正整数 M，若 P(M)的各位数之和是 M 的各位数之和的一半，求对于任意一个两位正整数T

4、，令 Q(T)=F(T)M 的值.3. ( 2017 重庆 A 卷)对于任意一个三位数n,如果 n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后，可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与 111 的商记为 F(n)，例如 n = 123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位和个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为 213 + 321 + 132 = 666，二 F(123) = 6.(1)计算：F(243)，F(617);，其中 s = 100 x + 32，t = 150

5、+ y(1 x 9， 1 y 9，若 s，t 都是“相异数”F (s)x, y 都是正整数)，规定：k =F (t )，当 F(s) + F(t) = 18 时，求 k 的最人值.4 . ( 2020 原创)事实：我们知道若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3 整除，反之也成立.定义：对于一个两位数m 和一个三位数 n,它们各个数位上的数字都不为0，将数 m 任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n 任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这样方式产生的所有新的两位数的和我们称之为“二三联合”，用 F(m，n)表示例如数 12 与 345 的

6、“二三联合”为 F(12，345) = 13 + 14 + 15 + 23 + 24 + 25 = 114.(1)填空：F（11，369）; F（16，123）;（2）若一个两位数 s = 21x + y，一个三位数 t = 121x + y+ 199（其中 1 x 4，1y 5，且 x，y 均为整数)，交换三位数 t 的百位数字和个位数字得到新数 当 t 与的个位数字的 3 倍的和能被 11 整除，称这样的两个数 s 和 t 为“珊瑚数 对”，求所有“珊瑚数对”中的“二三联合”的最大值.5. ( 2019 九龙坡区模拟)数学不仅是一门科学，也是一种文化，即数学文化.数学文化包括数学史、数学美

7、和数学应用等多方面.古时候，在某个王国里有 一位聪明的大臣，他发明了国际象棋献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了 对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣一个要求.大臣说：“就在这 个棋盘上放一些米粒吧，第1 格放 1 粒米，第 2 格放 2 粒米，第 3 格放 4 粒米，然后是 8 粒、16 粒、32 粒？一直到第 64 格.” “你真傻！就要这么一点米粒？” 国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！ ”国王的国库里有 这么多米吗？题中问题就是求1 + 21+ 22+ 23+ ?+ 263是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.设 S = 1 + 21+ 22+ 23+

8、?+ 263，则 2S = 2(1 + 21+ 22+ 23+ 24+ ?+ 263) = 2 + 22+3463 641234631232 + 2 + ?十 2 十 2 .2S S = 2(1 十 2 十 2 + 2 + 2 + ?十 2 ) (1 + 2 + 2 + 2 十即：S = 264 1.事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的64 个格子需要 1 + 21十 22十 23+ ?十 263= (264 1)粒米.那么 264 1 到底多大呢？借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个20 位数：18 446 744 073 709 551 615 ,这是一个非常大的数，所以国

9、王是不能满足大臣的要求请用你学到的方法解决以下问题：(1)我国古代数学名著算法统宗中有一问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是一座7 层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有多少盏灯？计算：1 + 3 + 9 十 27 十？+ 3n;(3)某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知一列数：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，?，其中第一项是20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22,

10、?，依此类推求满足如下条件的所有正整数 N : 10vNV100，且这一列数前 N 项和为 2 的正整数幕.请直接写出所 有满足条件的软件激活码正整数 N 的值.参考答案【例 1 】解：当 n = 2 019 时，n + 1 = 2 020 , n + 2 = 2 021 , 9 + 0 + 1 = 10，需进位， 2 019 不是“纯数”；当 n = 2 020 时，n+ 1 = 2 021 , n 十 2 = 2 022 ,个位：0 十 1 + 2 = 3，不需要进位；十位：2 十 2 + 2 = 6，不需要进位；百位：0 十 0 + 0 = 0，不需要进位；千位：2 十 2 + 2 =

11、6，不需要进位； 2 020 是“纯数”.(2)当 n = 0 时，n 十 1 = 1，n 十 2 = 2，贝 U 0 + 1 十 2 = 3，不需要进位， 0 是“纯数”；当 n = 1 时，n + 1 = 2，n + 2 = 3，1 十 2 十 3 = 6，不需要进位， 1 是“纯数”；当 n =2 时，n + 1 = 3，n + 2 = 4，2 + 3 + 4 = 9，不需要进位，2 是“纯数”；当 n=3 时，n + 1 = 4， n + 2 = 5， 3 + 4 + 5 = 12，需要进位， 3 不是纯数，综上 可知，当这个自然数是一位自然数时，只能是0，1，2 ；当这个自然数是两位

12、自然数时，这个自然数可以是10，11， 12，20，21，22，30，31，32，共 9 个，当这个自然数是三位自然数时，100 是“纯数，不大于 100 的自然数中，“纯数”的个数为3 + 9 + 1 = 13.跟踪训练设任意一个“极数”为 xy(9 x)(9 y)(其中 1 x 9, 0 y 9，且 x, y 均为整数),则 xy(9 x)(9 y) = 1 OOOx + 100y + 10(9 x) + 9 y=1 OOOx + 100y + 90 10 x + 9 y=99(10 x + y+ 1).Tx, y 为整数， 10 x + y 十 1 为整数，任意一个“极数”是 99 的倍

13、数.设 m = xy(9 x)(9 y),99 (10 x + y + 1)由题意可知，D(m)= 3(10 x + y + 1),33Twxw9,0wyw9, 33w3(10 x+y+1)w300,/ D(m)是完全平方数， D(m)可取的值为 36 , 81 , 144 , 225 ,当 D(m) = 36 时，3(10 x + y + 1) = 36，贝 U x = 1, y = 1 , m = 1 188 ;当 D(m) = 81 时，3(10 x + y + 1) = 81，贝 U x = 2, y = 6, m = 2 673 ;当 D(m) = 144 时，3(10 x + y

14、+ 1) = 144，贝 U x = 4, y = 7, m = 4 752 ;当 D(m) = 225 时，3(10 x + y+ 1) = 225 ,贝 U x = 7, y = 4, m = 7 425.综上所述，满足D(m)为完全平方数的 m 的值为 1 188 , 2 673 , 4 752 , 7 425.2解：(1)Q(T)是整数理由如下：设两位正整数 T 为 ab，则 T = 10a + b, F(T) = a2b = 100a + 20 + b,P(T) = 10a + b + 2 , F(T) P(T) = 100a + 20 + b (10a + b + 2)=90a +

15、 18 = 9(10a + 2),a 为整数， 10a + 2 为整数，F (T) P (T) Q(T) =9是整数.(2)设 M = ab , 1 a 9, 0 b 8，且 M + 2 = 10(a + 1) + (b + 2 10)，1- a + 1 + b + 2 10 =2(a + b)，整理得 a + b = 14，- a = 6， b = 8，或 a = 5， b = 9， M 为 68 或 59.3 解：(1)F(243)= (423 + 342 + 234) + 111 = 9，F(617) = (167 + 716 + 671) + 111 = 14. s，t 都是相异数，

16、F(s) = (302 + 10 x + 230 + x + 100 x + 23)十 111 = x + 5，F(t) = (510 + y+ 100y + 51 + 105 + 10y) + 111 = y + 6， F(s) + F(t) = 18，x + 5 + y + 6 = x + y+ 11 = 18，二 x + y = 7, 1 x 9， 1 y 9，且 x， y 都是正整数, s是相异数，F (s)61 F (s)9F (s) k=-或k= -=1或k=F (t )122F (t )9F (t ) 214，5k 的最大值为 4.(1)F(11 , 369)= 13 + 16

17、+ 19 + 13 + 16 + 19 = 96 ;F(16 , 123) = 11 + 12 + 13 + 61 + 62 + 63 = 222.(2)已知 s = 21x + y = 20 x + (x + y), t = 121x + y+ 199 = 100(x + 2) + 20 x + (x + y 1), 1 x 4, 1 y 5，且 x, y 均为整数，t + 3(x + y) = 100(x + y 1) + 20 x + x + 2 + 3(x + y) = 124x + 103y 98, t 3(x + y)能被 11 整除，t + 3 (x + y)121x + 99y

18、 993x + 4y + 13x + 4y + 1 =11x+9y9+为满足条件的有或y = 6或y = 3y = 2F (s)6F (s)9F (s)二或或F (t )12F (t )9F (t )t是相异数，yM1, yM5,x = 1 x= 4 x = 5108x=1x = 2x= 3或或或x = 4x = 5x= 6或 或y = 3y = 2y = 110 55844 解:11111111整数，3x + 4y + 1是整数，1wxw4,1wyW5,8w3x+4y+1w33,当 3x + 4y + 1 = 11 时，x = 2, y = 1，此时 s = 43 , t = 442 ; 当

19、 3x + 4y + 1 = 22时，得 x = 3, y = 3，此时 s = 66 , t = 565 ;当 3x + 4y + 1 = 33 时，x = 4 , y = 5，此时 s = 89 , t = 688.F(s , t)的最大值为 F(89 , 688) = 554.5 解：(1)设塔的顶层有 x 盏灯，依题意得：x+ 21x + 22x + 23x + 24x + 25x+ 26x= 381 ,解得：x = 3 ,答：塔的顶层共有3 盏灯.(2)设 S = 1 + 3 + 9 + 27 + ?+ 3n，贝 V 3S = 3(1 + 3 + 9 + 27 + ?+ 3n) = 3 + 9 + 273S