第四章导热问题数值解1课堂

1、第 4 章热传导问题的数值解法热传导求解方法（1）理论分析;（2）实验方法;（3）数值计算复杂问题求解的（1）复杂的几何形状（2）复杂的边界条件，如不规则，非均匀，移动边界（3）物性参数非常数（4）。数值计算边界元法有限元法有限差分主要内容（1）数值解法的基本思想是什么？（2）建立温度场离散方程组的方法（3）如何求解离散方程？（4）如何保证求解过程的收敛性和稳定性？4.1导热问题数值求解的基本思想数值计算的基本思想将时间、空间坐标系中连续的物理量场（温度场），用有限离散点上数值的集合来代替，并通过求解离散点物理量组成的代数方程来求解，所得的解称为数值解。连续到离散如何获得离散点的解？t=f(x

2、)4.1导热问题数值求解的基本思想 数值计算的基本步骤否是否收敛？是解的分析改进初场求 解 代 数 方 程建立温度场的迭代初值建立节点物理量的代数方程确定节点（区域离散化）建立方程及定解条件有限差分法的基本思想将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续解；用有限小的差商近似代替无限小的微商（导数），网格节点上的差商代替方程中的导数；用节点的离散化代数方程（差分方程）近似代替微分方程；通过求解差分方程求取有限节点上的物理量。微商(导数)的离散形式差商微商形式（a）：aTTi+1TiTi-1Tnb差商形式：1）向后差分格式(b:TiTi-1)xxxx0 dTi » T( xi )

3、 - T( xi-1 )dxDx dTi = lim DTi dxDx®0 Dx三种节点差分格式微商形式（a）：aTTi+1TicTnTi-11）向后差分格式(b:TiTi-1)bxxx2）向前差分格式(c：TiTi+1)x0dTi » T( xi +1 ) - T( xi ) dxDxdTi» T( xi ) - T( xi-1 ) dxDxdTi= lim DTidxDx®0 DxaT三种节点差分格式Ti+1TicTnTi-13）中心差分格式(d)dbxxxx0aTTi-1Ti+1TicTndbxxxx0dTi» T( xi+1/ 2 )

4、- T( xi-1/ 2 ) dxDxdTi » T( xi +1 ) - T( xi -1 ) dx2Dx三种节点差分格式4）二阶微商的差分格式aTTiTi+1cTTi-1ndbxxxx0d2TddT i =(i )dx2dxdx( dT )-( dT )»dx x=xi +1/ 2dx x=x1-1/ 2DxT( xi+1 )-T( xi ) - T( xi )-T( xi-1 )»DxDxDx» T( xi+1 )- 2T( xi )+T( xi-1 )( Dx )24.2内节点离散方程的建立方法二维矩形域内，稳态、无内热源、常物性的导热问题yt0

5、xh1t fh3 t fh2t f1.建立方程和定解条件y物理模型二维矩形域内，稳态、无内热源、常物性的导热问题Wt0xh1tfH¶2t + ¶2t建立方程=0¶x2¶y2定解条件ìX方向：t (0, y ) = t ; -l ¶t(t)= h- tï02f¶xx= Hïx= Hí= h1 (t- t f )，- l= h3 (t)¶t¶tïY方向：- l- t fïî¶y¶yy =0y =Wy =0y =Wh 3tfh 2t

6、f2.区域离散化区域离散化（discretization）yyxx2.区域离散化 区域网格划分y 用一组平行于坐标轴的直线（网格线）将研究区域划分为若干份； 网格线的交点为节点(node)，物体内部的节点称为内节点，边界上的节点称为外节点； 相邻两节点之间的距离为步长(step length),即：Dx，Dyyxx 注： 网格可不均匀划分，这里讨论均分网格DyDxDxDy2.区域离散化节点编号每个节点均代表一个区域，如（m，n）节点代表图中虚线所示的单元体y(element) 或者容积(controlvolume)；由相邻两节点连线的中垂线构成；界面线：相邻单元的交界线。y单元体大小取决于节点

7、数xx(这里用m表示x方向的位置，n表示y方向的位置。)m,n+1m-1,nDy+1,nm,nmDyDxDxm,n-13.建立节点离散(代数)方程：¶ 2 t¶ 2 t+= 0¶x 2¶y 2常用方法：(1)(2)(3)(4)容积热平衡法Taylor（泰勒）级数展开法多项式拟合法容积法¶ 2 t¶ 2 t二阶导数的差分表达式+= 0¶x 2¶y 2x方向的二阶导数中心差分表达式- 2tm,n+ tm-1,n¶2t= tm+1,n¶x2Dx2m,n y方向的二阶导数中心差分表达式- 2tm,n+

8、tm,n-1¶2t= tm,n+1¶y2Dy2m,nx,y方向的二阶导数相加= tm+1,n - 2tm,n + tm-1,n- 2tm,n + tm,n-1¶2t + ¶2t+ tm,n+1= 0¶x2¶y2Dx2Dy2m,n = 1 (t4Dx = Dy+ t+ t+ tt)m+1,nm-1,nm,n+1m,n-1m,n（1）热平衡法基本思想：对每个有限大小的容积基于能量守恒，获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立恒和Fourier导热定律即可。方程，依据能量守能量守恒：流入体的总热流量体内热源生成热

9、流出体的总热流量体内能的增量即：F+ F= F+ Ftivo：W流入体的总热流量体内热源生成热流出体的总热流量体内能的增量ÞF i +F=F o + F tF i +( -F o)+ F v = Ftv即：从所有方向流入体的总热流量体内热源生成热体内能的增量稳态、无内热源时：从所有方向流入体的总热流量0n + s + we = 0注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用n + s + we= 0内部节点离散方程：对体每个界面线（图中虚线）应用傅立叶导热定律。F= -lA ¶t= -lDy ¶tw¶x¶xx= wx= wF= -( - lA &

10、#182;t )= lDy ¶te¶x¶xx=ex=eF= - ( -lA ¶t )= lDx ¶tn¶y¶yy =ny =nF= - lA ¶t= -lDx ¶ts¶y¶yy = sy =s用差商代替微商（导数），则：= lDy tm -1,n - tm ,nF= -lDy ¶tw¶xDxx = w同理：= lDy tm+1,n - tm,nFDyeDx,n)= lDx tm,n+1 - tm,nFDynDy= lDx tm,n-1 - tm,nFyosDyDxx

11、Dx(m,n+1)(m-1,n)(m, n)(m+1(m,n-1)-tm -1,n - tm ,ntt m,=l+ n,Fmy D1nFw= lDyeDxDx-mtt m,mtt m,=l=l-1, n +1Fx D, nnFx DnsDynDy+ s+ we= 0 n-tmlD,nDx= Dyt= 1 ( t+ t+ t+ t)m ,n4m-1,nm+1,nm ,n+1m ,n-1(2)Taylor（泰勒）级数展开法函数的泰勒级数展开式为df (x)1 d 2 f (x)1 d 3 f (x)f (x + dx) = f (x)+dx +dx2 +dx3 + ××

12、5;dx2!dx23!dx3对相邻节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出温度对节点(m,n)的泰勒级数展开式Dy,n)DyyoDxxDx(m,n+1)(m-1,n)(m, n)(m+1(m,n-1)¾内节点离散方程1）对相邻节点写出温度t对内节点(m,n)的泰勒级数展开式¾用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m+1,n)的温度tm+1,nØ 用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n)的温度tm-1,n¶ttm-1,n = tm,n - ¶xDx +m,n¶2tDx2 -m,n2!¶3tDx3 +&quo

13、t;m,n3!¶x2¶x3¶t¶2ttm+1,n =tm,n + ¶xDx + ¶x2m,nDx2 + ¶3t2!¶x3m,nDx3 +"m,n3!x :(m,n)的相邻节点为(m+1,n), (m-1,n)y :(m,n)的相邻节点为(m,n+1), (m,n-1) +2Dx4 ¶4t¶x4tm+1,n + tm-1,n= 2tm,n+ × × ×m,n 若取上面式右边的前三项，再相加：-+¶2)D- 2tm,n + tm,n-1- 2t+ t

14、¶2t» tm,n+1¶2ttm+m-»1,nm,n1,n¶y2Dy2¶x2Dx2m,n m,n 22Dx3 ¶3tDx4 ¶4ttm-1,n = tm,n-6¶x3+ 24 ¶x4+ ×××m,nm,nm,n x¶¶xt222Dx3 ¶3tDx4 ¶4ttm+1,n = tm,n+6¶x3+ 24 ¶x4+ × × ×m,nm,nm,n x¶¶xt22）二

15、阶导数的中心差分¶2t- 2tm,n+ tmt n+1,-1 m+,=n¶x2Dx2m ,¶2t-m2t+ t= ,tmn1+nm,-+n1n,¶y2Dy2m ,3）由方程得到内节点(m,n)的离散代数方程- 2t+ t- 2t+ t¶ 2 t¶ 2 ttt+= 0 m +1,nm ,nm -1,n Dx 2+ m ,n+1m ,nm ,n-1Dy2= 0¶x 2¶y 2= 1 (t)+ t+ t+ ttm+1,nm-1,nm,n+1m,n-1m,n4截断误差：级数余项中的x的最低阶数为2 即中心差分格式具有二阶精

16、度。o (nD2x )o (Dy2 )（3）边界节点离散方程的建立¾第一类边界条件因已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，可直接求解，因此处理较简单。¾第二类边界条件和第三类边界条件必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。为了求解方便，这里将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或其表达式。用表示内热源强度。边界节点的类型：qwm,n+1(1) 平直边界上的节点(2) 外部角点(3)内部角点qwm,n-1yxm-1,n¾边界

17、节点离散方程的建立：(1)平直边界上的节点qw-tt m+,m,n+1lDy1- n,DyqmnDx t, n +1wDxm-n Dxm-mt ,t, nmt ,+ l+ l-1n2DyDDy2x+ D=0qywm , n2m,n-1Dx= Dy Þy4x2Dx Dx2mt n, =2t m-1 ,n+ lwq +m, t n1+,tm- 1 n+mn, lm-1,n从所有方向流入体的总热量体内热源生成热 0(2)外部角点l Dy tm-1,n - tm,n+ Dy qqwm,nDxw2Dx2Dx t- tq+ l m,n-1m,n+wDy22m,n-1Dx × Dy =

18、0+ m,n22Dx = DyÞyx2Dx Dx22tm,n = tm-1,n + tm,n-1 +lqw + m,n2lm-1,n(3)内部角点lDy tm-1,n - tm,nD1,n - tm,n+ Dy qy tæö+lm+çw ÷qwDxDx22èø+ lDxtm,n+1 - tm,nD1 - tm,n+ Dx qæx tö+lm,n-çw ÷DyDy22èø3DxDy = 0+ m,n4Dx = DyÞ1,nym,n-1xt= 1 (2t+ 2t+ t+ tm,n6m-1,nm,n+1m,n-1m+1,n+ 3Dx2 F + 2Dx22llqw )m,n+1m-1,nm,nm+qw的情况讨论：qw = const(1)第二