解三角形应用举例

1、备考方向要明了考 什 么怎 么 考能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.考查正、余弦定理在解决与角度、方向、距离及测量等问题有关的实际问题中的应用2.考查方式既有选择题、填空题，也有解答题，属中、低档题.归纳·知识整合1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2实际应用中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫

2、做方位角方位角的范围是(0°，360°)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度例：(1)北偏东m°：(2)南偏西n°：坡角坡面与水平面的夹角设坡角为，坡度为i，则itan 坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比探究1.仰角、俯角、方位角有什么区别？提示：三者的参照不同仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的2如何用方位角、方向角确定一点的位置？提示：利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置自测·牛刀小试1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为

3、，则与的关系为()A>BC90° D180°解析：选B根据仰角和俯角的定义可知.2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10° B北偏西10°C南偏东80° D南偏西80°解析：选D由条件及图可知，AB40°，又BCD60°，所以CBD30°，所以DBA10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.3.如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、

4、B间距离的是()A，a，bB，aCa，b，D，b解析：选A选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似4(教材习题改编)海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，BAC60°，ABC75°，则B，C间的距离是_海里解析：由正弦定理，知.解得BC5海里答案：55(教材习题改编)如图，某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为35 m，在地面上有一点A，测得A，C间的距离为91 m，从A观测电视发射塔CD的视角(CAD)为45°，则这座电视发射塔的高度CD为_m.解析：AB84，tanCAB.由

5、tan(45°CAB)得CD169.答案：169测量距离问题例1隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C、D两点，同时，测得ACB75°，BCD45°，ADC30°，ADB45°(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离自主解答如图，在ACD中，ACD120°，CADADC30°，所以ACCD.在BCD中，BCD45°，BDC75°，CBD60°，由正弦定理知BC.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22AC·BC·cosACB()222&

6、#215;××cos 75°325，所以AB km，所以A，B两目标之间的距离为 km.若将本例中A、B两点放到河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45°，CAB105°后，求A、B两点间的距离解：由正弦定理，得，故AB50 m.即A、B两点间的距离为50 m求距离问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.1如图所示，某

7、河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得CAB75°，CBA45°，且AB100 m求该河段的宽度解：CAB75°，CBA45°，ACB180°CABCBA60°.由正弦定理得，BC.如图，过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度在RtBDC中，BCDCBA45°，sinBCD，BDBCsin 45°·sin 45°× m，该河段的宽度为 m.测量高度问题例2某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40

8、 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高自主解答如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD40，此时DBF45°.过点B作BECD于E，则AEB30°.在BCD中，CD40，BCD30°，DBC135°，由正弦定理，得，则BD20.BDE180°135°30°15°.在RtBED中，BEDB sin 15°20×10(1)在RtABE中，AEB30°，则ABBEtan 30°(3)故塔高为(3) m.处理高度问题的注意事项(1)在

9、处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合2如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB20 m，求山高CD.解：如图，设CDx m，则AE(x20) m，tan 60°，则BDx m.在AEC

10、中，x20x，解得x10(3) m，故山高CD为10(3) m.测量角度问题例3如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间自主解答设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t海里，BD10 t海里，在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22AB·ACcos A(1)2222(1)&

11、#183;2·cos 120°6.解得BC.又，sinABC，ABC45°，B点在C点的正东方向上，CBD90°30°120°，在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30°，缉私船沿北偏东60°的方向行驶又在BCD中，CBD120°，BCD30°，D30°，BDBC，即10t.t小时15分钟缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意

12、图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用3如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值解：如题中图所示，在ABC中，AB40，AC20，BAC120°，由余弦定理知，BC2AB2AC22AB·AC·cos 120°2 800BC20.由正弦定理得，sinACB·sinBAC.由BAC120°，

13、知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30°，得cos cos(ACB30°)cosACBcos 30°sinACBsin 30°.1个步骤解三角形应用题的一般步骤2种情形解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解2个注意点解三角形应用题应注意的问题(1)画出示意图后要注

14、意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量. 创新交汇数形结合思想在解三角形中的应用三角函数在实际生活中有着相当广泛的应用，三角函数的应用题是以解三角形、正(余)弦定理、正(余)弦函数等知识为核心，以测量、航海、筑路、天文等为代表的实际应用题是高考应用题的热点题型求解此类问题时，应仔细审题，提炼题目信息，画出示意图，利用数形结合的思想并借助正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函数、不等式等知识求解典例(2013·广州模拟)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以

15、内的海域被设为警戒水域点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A的北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A的北偏东(45°)(其中sin ，0°90°)且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶判断它是否会进入警戒水域，并说明理由解如图所示，AB40，AC10，BAC，sin .因为090°，所以cos .BC10.所以船的行驶速度为15海里/时(2)法一：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B，C的坐

16、标分别是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC与x轴的交点为D.由题设，得x1y1AB40，x2ACcosCAD10·cos(45°)30，y2ACsinCAD10 ·sin(45°)20.所以过点B，C的直线l的斜率k2，直线l的方程为y2x40.又点E(0，55)到直线l的距离d37，所以船会进入警戒水域法二：如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在ABC中，由余弦定理，得cosABC.所以sinABC .在ABQ中，由正弦定理，得AQ40.由于AE5540AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QEAEAQ15.过点E作EPBC于点P，则EP

17、为点E到直线BC的距离在RtQPE中，PEQE·sinPQEQE·sinAQCQE·sin(45°ABC)15×37.所以船会进入警戒水域1对于问题(1)，知道两边夹一角，由余弦定理求得BC的长，除以行驶时间即可求得速度；对于问题(2)，延长BC交直线AE于点Q，然后在ABQ中，由正弦定理求得AQ的长、判断点Q的位置，最后在QPE中结合已知条件即可作出判断2解此类问题，首先根据题意合理画出示意图是解题关键；将条件归纳到某一三角形中是基本的策略；合理运用正、余弦定理并注意与平面几何相关知识结合有助于问题的解决某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘

18、正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解：(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里，则s.故当t时，smin10，此时v30，即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇

19、，则v2t2400900t22·20·30t·cos(90°30°)，故v2900.0v30，900900，即0，解得t.又t时，v30.故v30时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为()A.B2C.或2D3解析：选C如图所示，设此人从A出

20、发，则ABx，BC3，AC，ABC30°，由余弦定理得()2x2322x·3·cos 30°，整理得x23x60，解得x或2.2.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa km B.a kmC.a km D2a km解析：选B利用余弦定理解ABC.易知ACB120°，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cos 120°2a22a2×3a2，故ABa

21、.3一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m解析：选A设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60°，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022·h·100·cos 60°，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50

22、 m.4(2013·永州模拟)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A2 km B3 kmC3 km D2 km解析：选B如图，由条件知AB24×6.在ABS中，BAS30°，AB6，ABS180°75°105°，所以ASB45°.由正弦定理知，所以BSsin 30°3.5如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机

23、的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拨高度为(精确到0.1 km)()A11.4B6.6C6.5D5.6解析：选BAB1 000×1 000× m，BC·sin 30° m.航线离山顶h×sin 75°11.4 km.山高为1811.46.6 km.6.如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)()A2.7 m B

24、17.3 mC37.3 m D373 m解析：选C在ACE中，tan 30°.AE m.在AED中，tan 45°，AE m，CM10(2)37.3 m.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7.2012年10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x_.解析：由题知，CBA75°，BCA45°，BAC180°75°

25、45°60°，.x m.答案： m8某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m，则折断点与树干底部的距离是_ m.解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则ABO45°，AOB75°，所以OAB60°.由正弦定理知，解得AO m.答案：9(2013·铜川模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向

26、，则这只船的速度是_海里/小时解析：如图，依题意有BAC60°，BAD75°，所以CADCDA15°，从而CDCA10.在直角三角形ABC中，可得AB5，于是这只船的速度是10海里/小时答案：10三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量已知AB50 m，BC120 m，于A处测得水深AD80 m，于B处测得水深BE200 m，于C处测得水深CF110 m，求DEF的余弦值解：作DMAC交BE于N，交CF于M，DF10，DE130，EF150.在DEF中，由余弦定理得，cosD

27、EF.11为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，D是着火点，A、B分别是水枪位置，已知AB15 m，在A处看到着火点的仰角为60°，ABC30°，BAC105°，求两支水枪的喷射距离至少是多少？解：在ABC中，可知ACB45°，由正弦定理得，解得AC15 m.又CAD60°，AD30，CD15，sin 105°sin(45°60°).由正弦定理得，解得BC m.由勾股定理可得BD15 m，综上可知，两支水枪的喷射距离至少分别为30 m，15 m.12.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且

28、与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值解：(1)依题意，BAC120°，AB12，AC10×220，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB×AC×cos BAC1222022×12×20×cos 120°784.解得BC28.所以渔船甲的速度为14海里/小时(2)法一：在ABC中，因为AB12，BAC120°，BC28，BCA，由正弦定理，得.即sin .法二：在ABC中，因为AB12，AC20，BC28，BCA，由余弦定理，得cos ，即cos .因为为锐角，所以sin .1为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图所示)，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤解：需要测量的数据有：A点到M，N的俯角1，1；B点到M，N的俯角2，2；A，B间的距离d(如图所示)方案一第一步：计算AM.在ABM中，由正弦定理，得AM.第二步：