高阶导数的计算

1、.高阶导数的计算一、高阶导数定义定义（二阶导数）若函数f 的导函数f ' 在点 x0 可导，则称f ' 在点 x0 的导数为f 在点 x0 的二阶导数，记作f ' ' ( x0 ) ，即limf ' ( x)f ' ( x0 )f '' (x0 ) ，x x0xx0此时称 f 在点 x0二阶可导。如果 f在区间 I 上每一点都二阶可导，则得到一个定义在I 上的二阶可导函数，记作f ' '( x) ，x I ，或记作 f ' ' ， y' ' ， d 2 y 。dx2函数 yf ( x

2、) 的二阶导数 f ' ' (x) 一般仍旧是 x 的函数。如果对它再求导数，如果导数存在的话，称之为函数yf (x) 的三阶导数，记为y' '' ， f ' ' '( x) ，或 d 33y 。dxn函数 yf ( x) 的 n 1 阶导数的导数称为函数 y f (x) 的 n 阶导数，记为 y (n ) ， f ( n) ，或 d y 。 dx n相应地， yf (x) 在 x0的 n 阶导数记为： y(n )， f ( n ) ( x0 ) ， d n yx x 。x x0dx n0二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数 。1

3、u v( n)u ( n )v(n ) 。2 (n)u(n )v(0)1( n 1)v(1)2( n2 )v(2 )(uv)C nuC n uNC nk u (nk) v( k)，（Leibniz公式）K0其中 u (0 )u ， v( 0)v 。注 将 Leibniz公式与二项式展开作一比较可见：(u v)nu n v0C n1u n 1v1C nk un k vkC nku ( n k ) v( k )C nn 1u (1) v( n 1) u( o) v(n )uo v n 。（这里u 0v01），在形式上二者有相似之处。.（ 6）几个初等函数的n 阶导数公式exnex ；sin xnx

4、n；cos xn；sincos x n22ln 1n1n 1n1 !x1 ；（ 4） (ln x)(n)( 1)n 1 (n 1)!x1x nxnnnx a12n 1 x a，（ 5） (x )( n)(1) (n 1)x n特别的，当1 时，有n1n1n!xaxn 1 .a（ 7）参数方程的高阶导数求导法则设 x t ， yt 均二阶可导，且 x txx t所确定的函数yf ( x) 的一、0 ，由参数方程yy t二阶导数：dyytdxx，td 2 yddy tdy tdtdx2ydxx tdtx tdxdxx t y ty t x t1x t y ty t x txt2xtx t3.这里一

5、定要 注意 ，在求由参数方程确定的函数的导数时，t 是中间变量，而符号 d 22y 表dx示对 x 求二次导数，因此d 2 ydy tx t y tx t y t.dx2dxx tx2t.例 1（ 1）已知 yaxb ，求 y（ 2）已知 ssint ，求 s 解：（1） ya ， y0（ 2） scost ， s2 sin t .例 2求函数 yex 的 n 阶导数解： yex ， yex 显然对任意正整数n ，有 y (n )ex 例 3求 ysin x 的 n 阶导数。解ycosxsin(1x) ，223ysin xsin(x) ， ycos xx) ，2sin(2y(4)sin xsi

6、n(4x) ， y(5)cosxsin(5x) ，sin( n22y( n)x) .2cos(n同理可得(cos x) (n)x) 。2求 n 节导数，通常的方法是求一阶导数、二阶导数、三阶导数、四阶导数 ，然后仔细观察得出规律，归纳出 n 阶导数的表达式，因此，求n 阶导数的关键在于从各阶导数中寻找共同的规律。例 4求函数 yln x 的 n 阶导数解： y1( 1)01，x1x1y(1x21)x2，y2(22!(4)(33!x31)x3 ， y1)x4一般地，对任意正整数n 有 y( n)(1) n 1( n1)!x n例 5求 n 次多项式 ya0 xna1 xn1an 的各阶导数 .解

7、 y na0 xn -1(n 1)a1 xn 2an-1yn(n -1) a0 xn -2(n 1)(n 2) a1xn 32an-2.y( n )a0n( n 1)(n 2) 2 1 a0n!y( n1)y( n2)0这就是说， n 次多项式的一切高于n 阶的导数都为 0.例 6已知 arctanxlnx 2y 2, 求 y.y解两端对 x 求导，得1( x )1(x 2y 2，)1( x) 2yx 2y 2yy 2yx y12 x2 y y ，x 2y 2y 2x 2y 22 x 2y 2整理得 ( yx) yyx，故yyx，yx上式两端再对x 求导，得y( y1)( yx )( y1)(

8、 yx )( yx ) 2y yy xyxy yxyyx( y x ) 22 x y2 y，将yyx=x ) 2y代入上式，得( yx2yxyx2yyx( yx ) 22 xy2 x22 y 22 xy(xy ) 32 ( x 2y 2 ) .( yx ) 3注意在对隐函数求二阶导数时，要将y 的表达式代入y 中，注意，在y 的最后表达式中，切不能出现 y .xa cost2例 7求方程(0 t2) 所确定的函数的一阶导数dy 及二阶导数 d y 。yb sin tdxdx2解dybcostbcot t 。dxa sin taddyb2d 2 ydt( dx)acsc tb。dx2dxa si

9、n ta2 sin3 tdy例 8已知作直线运动物体的运动方程为s2sin(2 t) ，求在 t时物体运动速度和加速度。6.解 s2cos(2t) 24cos(2t) ，66s4sin(2 t) 28sin(2t) ，66所以有， v ts t23 , a ts t4 。二阶导数.1. 设 yef ( x) ，其中 f ( x) 为二阶可导函数，则 y（） .A、 e f ( x)；B、 e f (x ) f (x)f( x) ；C、 ef ( x)(f( )2f()；D 、 ef ( x)2.xx f (x)2、设 yf (ln x) ，其中 f (u) 为可微函数，则y（）.A、 f(ln

10、 x) ；B、12；xC、 1f (ln x)1f (ln x) ；D 、 1 f (ln x)f (ln x) .xx2x2xarctant2，则 d y（）.3. 设ln(1t 2 )ydx2A、22 ；B 、2(1t2) ；C、2；D2(1t 2 )t、(12)2 .1t4、设 yln(2 x 2x) ，则 y（）.A、x；B 、x； C、x； D 、x2 x 232 x 23 .(2 x2 ) 2(2 x2 ) 25. x2y21 ，其中 y 是 x 的函数，则 d 2 y_ .dx 26. 设 f ( x)ln1x2 ，则 f(0)_ .1x7、试求由方程 x 2y 24xy0所确定

11、的隐函数 y 的二阶导数 .8、设xt ln t ，求 dy ， d 2 y；yt ln tdx dx 210证明函数y2xx 2 满足关系式y 3 y' ' 10 ；11、已知函数f (x)ln(ln x) ，求 f (e2 ), f (e2 ).12、 yex cos x ，求 y。 y ( 5) 。解：高阶导数1、设 yx ln x ，则 y(10)（）.A、19；B、19；C、8!9；D、8!9 .xxxx2、 yx nex ，则 y( n) (0)_ .4设 yex cos x ，求 y( 5) 。5设 yx 2 sin x ，求 y( 80) 。6、 yln(1x)

12、 ，求各阶导数。.7、设 ysin kx 的 n 阶导数 .8、设 yx2e2 x ,求 y( 20) .二阶导数.1、C；2、D；5、13 ；6、3 ；y27、解： 方程两边同时对x 求导，得.2x2yy4 y4xy0(2x y) y x 2yx2yyy2x(12 y )(2xy)( x2 y)(2y ) 5y5xyy(2 xy) 2( 2xy) 25y5x x 2y20xy5y 25x22xy(2xy) 2(2 x y)35( 4xyy 2x2 )0 .( 2xy) 38、 解：dydyln t1t (ln t1)dtdxdx11t1dttd 2 yd t (ln t1) 1t (t2 l

13、n t )dx 2dtt1dx(t1) 3dt9、12、解：yex cos xex (sin x)ex (cos xsin x) ，yex (cos xsin x)ex (sin xcosx)ex ( 2sin x) ，y2( ex sin xex cos x)2ex (sin xcos x) 。y (5)(ex cos x) (5)(ex ) (5 )cos xC 15 (ex )( 4) (cos x)C 52 (ex ) (cos x).C 53 (ex ) (cos x) C54 (ex ) (cos x) (4 )ex (cos x)( 5)= ex cos x5ex (sin x)

14、10ex (cos x)10ex sin x5ex cos xex (sin x)= ex cos x5sin x10 cosx10 sin x5cos xsin x= ex (4sin x4cos x)= 4ex (sin xcos x)高阶导数1 C 2n!16yln( 1x) y1y12y1 21(1x)(1 x)3xy( 4)1 23(1x)4y( n)(1)n 1(n1)!(1x)n(ln(1x) ( n )(1) n 1(n1)n!(1x)7、解yk coskxk sinkx,2y( y )k 2cos kxk 2sin kx2k 2sinkx 2,222y( y )k3cos kx 22y(n)k nsinkxn, 即 (sin kx)(n