变系数常微分方程的解法探讨

1、精选优质文档-倾情为你奉上目 录变系数常微分方程的解法探讨数学计算机学院数学与应用数学专业2013届 余小艳摘 要：求变系数常微分方程的解，迄今为止没有一种确定的方法. 本文通过寻找特解和变量代换等方法得到了一些新的求解一类二阶变系数线性微分方程通解的方法，并讨论了一阶变系数线性微分方程和三阶变系数线性微分方程化为常系数方程的几个充要条件. 又举例说明了这些方法的可行性，有效扩充了变系数微分方程可解范围. 关键词：变系数常微分方程；二阶变系数微分方程；通解；变量变换中图分类号：O175.1Discussion on the Solution of Ordinary Differential E

2、quation with Variable CoefficientAbstract: So far, there hasnt been an established method on how to solve Ordinary Differential Equation (ODE) with Variable Coefficients. This paper presents some methods of solving the second order linear ODE with variable coefficients by means of searching special

3、solution and variable transformation, etc. This paper also gives an introduction to the necessary and sufficient conditions of first order linear ODE and 3 rd order linear ODE with variable coefficient that can be translated into constant coefficients. Moreover, we give some examples to illustrate t

4、he feasibility of these methods. Hence, the results effectively extend the solvable for the variable coefficient differential equations. Key words: variable coefficients ordinary differential equations；second order differential equations with variable coefficients；general solutions；variable transfor

5、mation专心-专注-专业变系数常微分方程的解法探讨1 引言常微分方程已经成为数学领域中一项十分重要的学科,并且在求解问题,模型,指导实践中有着极为广泛的应用. 二阶变系数线性常微分方程是常微分方程中一类常见的方程，但迄今为止，二阶变系数常微分方程的通解问题在数学领域内并没有解决. 变系数线性微分方程在自然科学与工程技术中有着广泛的应用，因此，研究变系数线性微分方程的求解方法，具有重要的理论意义和应用价值. 众所周知，变系数一阶微分方程具有一般的解法，由于在理论研究和实际应用中出现有大量的二阶及三阶以上的高阶变系数线性微分方程，因此，近年来数学领域内对高阶变系数线性微分方程求解方程的研究，并

6、取得了一些成果. 本文在总结变系数一阶常微分方程解法的同时，着重就二阶及三阶变系数线性微分方程的求法进行了探讨，最后又给出了这些解法的应用及推广. 2一阶变系数常微分方程的解法探讨 2.1变系数一阶微分方程的几个可积类型对于一阶常微分方程我们常用解法有：分离变量法，变量替换法，积分因子法 ，常数变易法等.在此，主要讨论变系数一阶微分方程的几个可积类型. 为确定起见，在以下讨论中规定一般的变系数一阶微分方程的标准形式为：y'+P(x)y=Q(x) (2.1)定理2.12 设P,Q,FC',V(x)0,xI,为常数(0). 如果等式 V'+PV=kQV (2.2) 在I上成

7、立（k为常数），则方程 y'+Pxy=QxVxFyV (2.3)是可积的. 证明 令 y=u1V,则y'=1u1-1u'V+u1V' (2.4)将（2.2），（2.4）代入（2.3），得1u1-1Vu'+u1-PV+kQV+Pu1=QVFu,u'=QxV-1xu1-1Fu-ku. 属于可分离变量型，而V可由（2.4）解出，所以方程（2.2）是可积的. 推论2.1 设P,Q,FC,为常数（0），则方程y'+Pxy=Qx(e-Fdx)Fye-Fdx (2.5)是可积的.在定理2.1中，令k=0,则V=e-Fdz,即得推论2.1. 利用推论2.

8、1，可以用化归为可分离变量型的求解方法，统一处理有关类型的一阶方程.(1) 奇次方程 y' =fyx (2.6)是（2.5）式，当Px=-1x,=1,Qxx=1时的特例.由定理2.1知，可令y=xu,将（2.6）式化归为可分离变量型dufu-u=dxx来求解. (2) 线性一阶方程 y'+Pxy=Rx (2.7)是(2.5)式，当F=1,=0时的特例.由定理2.1，可令y=ue-Pdx,将（2.7）化归为du=Rxepdxdx来求解，其中Rx=Qxe-pdx. (3) Bernoulli 方程 y'+Pxy=Qxyn，n0,1. (2.8)这是（2.5）式，在Fu=un

9、n0,1,=1,=n时的特例.由定理2.1知，可令y=ue-pdx,将（2.8）化归为可分离变量型duun=Qxe1-npdxdx来求解. 推论2.2 设P,Q,RC,Px0,xI.如果存在常数a,b,c(b0),使得Rce-Qdx+ae-QdxeQdxdx2=bP (2.9)成立，则Riccati方程y'=Pxy2+Qxy+Rx (2.10)是可积的. 证明 将（2.9）式变形为RbP=1e-Qdxc+Pedxdx2令 G=1e-Qdxc+Pedxdx它是Brinoulli方程G'=QG-PG2的通解.显然，GC',Gx0. 在定理2.1中，令=1,k=-1,Fu=u

10、2+b,应用定理2.1（此时定理中的P=-Q，Q=P，=2），知方程y'-Qy=PG2y2G2+b即（2.10）是可积的. 推论2.3 Q,fC,VC',Vx0,xI, 为常数0，则一阶微分方程 y'-V'Vy=QVf2yV+bfyV+c是可积的，其中a,b,c 为常数a0. 在定理2.1中，令Px=-V'V,Fu=af2u+bfu+c,即可得推论2.3.定理2.2 设P，Q，FC，fC'，f0，为常数0，则方程f'yy'+Pxfy=QxFfye-pdx. （2.11）是可积的. 证明 令u=fy，则（2.11）可变形为u'

11、;+Pxu=QxFue-pdx.由定理2.1推论2.1，知（2.11）是可积的. 推论2.4 设P，Q，FC， 为常数，0，则下列方程都是可积的. y'+Pylny=QyFue-pdx；y'+Py=1Qy1-Fye-pdx；y'+P=Qe-yFe2y+pdx.在（2.11）中，令fy分别等于lny，y，ey 即得结论. 2.2 应用举例例2.1 解方程 xy'+ay2-by+cx2b=0 (2.12)解 将（2.11）变形为y'-bxy=-x2b-1ay2x2b+c,e-pdx=ebxdx=xb. 由定理2.1，推论2.1知，可令y=uxb,y'

12、=xbu'+bxb-1u.(2.12)可化为u'=-xb-1au2+c，duau2+c=-xb-1dx.两边积分，得1acarctgacu=-xbb+c.(2.12)的通解为1acarctgacyxb=-xbb+c. 例2.2 解方程 y'=xy2-yx-20x3 (2.13)解 取a0,b=-20a2,c=0，容易验证条件（2.9）是满足的. -20x20x+axx1xdx2=bx ,由定理2.1，推论2.2知G=1ax2，故（2.13）可积. 令 y=uax2，u=ax2 y，,（2.13）变形为u'=1axu+5au-4a，duu+5au-4a=dxax

13、.两边积分，得u-4au+5a=Dx9，D为任意常数. u=5aDx9+4a1-Dx9，y=5aDx9+4aax2-aDx11.令a=c1，aD=c2，则y=4c1-5c2x9c1x2+c2x11，y=4-5c'x9x2+c'x11，c'为任意常数为（2.13）的通解. 3 二阶变系数线性微分方程的解法探讨3.1 用求特解的方法求二阶变系数线性微分方程的解众所周知，Ly=0的通解为y=c1y1x+c2y2x其中，Ly=p0xy''+p1xy'+p2xy,且y1x，y2x线性独立. 引理3.13 若y1x，y2x为Ly=0之解，则c1y1x+c2y

14、2x仍为Ly=0之解，且y1x/y2xc时，为Ly=0的通解. 引理3.2 若y*x为Ly=fx之一特解，则c1y1x+c2y2x+y*x为Ly=fx之通解. 关键性的问题是如何找Ly=0的两线性无关的解y1x，y2x和Ly=fx的特解y*x. 3.1.1 对变系数线性二阶微分方程 p0xy''+p1xy'+p2xy=0 特解的探索关于变系数线性二阶微分方程 p0xy''+p1xy'+p2xy=0 如何视查其特解，有如下的探索.（1）若 2p0x+p1x+p2x=0，则y=ex为其特解. 特殊地：当=1，即p0x+p1x+p2x=0时，y=ex为

15、其特解. 当=-1，即p0x-p1x+p2x=0时，y=e-x为其特解. 例： xy''+21-xy'+x-2y=0, y=ex为其特解； xy''+1+xy'+y=0, y=e-x为其特解； xy''+1+xy'-6x+2y=0, y=e2x为其特解；（2）若y1xy2x-x,则y=x为其特解；（3）科西-尤拉方程a0x2y''+a1xy'+a2y=0，(a0,a1, a2为常数)令y=e去试探例： 解方程 x2y''+xy'-y=0 令 y=x,a得 -1+-1x=02-

16、1=0，=-1，1故有通解y=c1x-1+c2x. 3.1.2 确定 p0xy''+p1xy'+p2xy=0 的通解定理3.1 若方程 p0xy''+p1xy'+p2xy=0，已知一个特解y1x，则可用公式ux=1y12xe-p1xp0xdxdx确立其另一个特解：y2x=uxy1x,且y2x，y1x线性独立. 证明 令 y2=y1u, 则 y2'=y1'u+y1u，y2''=y1''u+2y1'u'+y1u''带入方程整理：p0y1''+p1y'

17、;+p2y1u+2p0y1'+p1y1u'+p0y1u''=0由 p0y1''+p1y'+p2y1=0有 2p0y1'+p1y1u'+p0y1u''=0u''u'=-p1p0-2y1'y1积分 lnu'=-p1p0dx-2lny u'=1y12e-p1p0dx从而 ux=1y12e-p1p0dxdx只要ux不是常数。则y1，y2线性独立. 3.1.3 用常数变易法确定 Ly=fx 的特解 y*x定理3.2 设 p0xy''+p1xy'+

18、p2xy=fx 的特解为y*=c1xy1+c2xy2其中 c1'xy1+c2'xy2=0，c1'xy1'+c2'xy2'=fxp0x y1x，y2x为对应奇次方程Ly=0之特解，且线性独立，当p0，p1，p2为常系数仍可用此法求解. 3.1.4 应用举例例3.1 求 x2y''-2xy'+2y=x3sinx 的通解解 p0x=x2，p1x=-2x，p2x=2p1x/p2x=-xy1=x 是其特解，由公式 y2=y11y12xe-p1xp0xdxdx 有y2=x1x2e2xdxdxx2y''-2xy'

19、+2y=x3sinx 的通解为 y=c1x+c2x2设 x2y''-2xy'+2y=x3sinx 的特解为y*x=c1xx+c2xx2由 c1'xx+c2'xx2 =0，c1'x+2xc2'x=xsinx解出c1x=xcosx-sinx，c2x=-cosx y*=-xsinx x2y''-2xy'+2y=x3sinx 的 通解为 y=c1x+c2x2-xsinx3.2 二阶变系数线性微分方程的积分因子解法43.2.1 关于二阶变系数线性微分方程的积分因子的一些结论定义3.1 对于一阶线性微分方程 y'+px

20、y=gx (3.1)若存在非零可微函数fx,使得方程（3.1）两端同乘fx后可化为fxy'=fx gx (3.2)则称 fx 为方程（3.1）的积分因子. 引理3.3 非零可微函数fx是方程（3.1）的积分因子的充分必要条件是fx=epxdx，此时，方程（3.1）的通解为y=e-pxdxgxepxdxdx+c定义3.2 对于二阶线性微分方程 y''+p1xy'+p2xy=gx (3.3) 若存在二阶非零可微函数 fx，方程（3.3）两端同乘 fx 后可化为 fxy''=fx gx (3.4)则称 fx 为方程（3.3）的积分因子. 定理3.3 二

21、阶非零可微函数fx是方程（3.3）的积分因子的充分必要条件是f'xfx=p1x2，f''xfx=p2x (3.5)此时可取fx=ep1x2dx，方程（3.3）的通解为 y=fxgxdxdx+C1x+C2fx. 证明 必要性 若方程（3.3）存在积分因子fx，则有 fxy''=fx gx. 即y''fx+2y'f'x+yf''x=y''fx+p1xy'fx+p2xyfx,因而，fx必满足（3.5）. 充分性 由式（3.5），p1x=2f'xfx, p2x=f''

22、xfx,带入方程 (3.3)，得 y''+2f'xfxy'+f''xfxy=gx，所以有y''fx+2yf'x+f''x= fx gx，即 fxy''=fx gx，故fx为方程（3.3）的积分因子. 定义3.3 若存在二阶非零可微函数f1x，f2x,方程（3.3）两端同乘f1xf2x后可化为f2xf1xy''=f1xf2xgx (3.6)称f1x为方程（3.3）的第一积分因子，f2x为方程（3.4）的第二积分因子. 类似引理，定理3.2的讨论可得出定理3.3. 定理3.4 若

23、存在二阶非零可微函数f1x，f2x满足2f1'xf1x+f2'xf2x=p1x，f1'xf1xf2'xf2x+f1''xf1x=p2x （3.7）则 f1xf2x 为方程（3.3）的积分因子.此时方程（3.3）的通解为y=1f2xf1xf2xgxdxdx+C1dx+C2f1x. 3.2.2 讨论如何求出 f1x，f2x记 G1x=f1'xf1x，G2x=f2'xf2x ，则 G1'=f1''xf1x-f1'xf1x2，于是 f1''xf1x=G1'x+G12x，带入（3.7）

24、式 p1x=2G1x+G2x，p2x=G1xG2x+G1'x+G12x，于是G2x=p1x-2G1x （3.8）G1'x=G12x-p1xG1x+p2x （3.9）若能从方程（3.9）中解出G1x，带入式（3.8）得到 G2x，则f1x=eG1xdx，f2x=eG2xdx. 3.2.3 应用举例例3.2 解方程 y''+2x2y'+x2+2xy=e-13x解 p1x=2x2，p2x=x4+2x，gx=e-13x取 fx=ex2dx=e13x3，因为 f'xfx=x2=p1x2，f''xfx=x2+2x=p2x,所以fx=e13x3

25、是原方程的积分因子，由定理3.2可知，方程 y''+2x2y'+x2+2xy=e-13x 的解为y=fxgxdxdx+C1x+C2fx=e-13x312x2C1x+C2. 3.3 二阶线性变系数常微分方程的常系数化解法为确定起见，在以下讨论中规定一般的二阶线性齐次常微分方程的标准形式为d2ydx2+Pxdydx+Qxyx=0 (3.10)3.3.1 利用自变量的变换实现常系数化令x=t，方程（3.10）化为d2ydx2+P1dydx+Q1y=0 P1=P-，Q1=p2，=ddt，=d2dt2 (3.11)可见方程（3.10）关于自变量代换保线性齐次性. 若变换能使方程（

26、3.10）常系数化，则在式（3.11）中同时有P1=P-=c1 （常数） (3.12)Q1=p2=c2 (常数) (2.13)从式（3.13）解得 =c2/Q 并代入（3.12）可得出. 结论1：若方程（3.10）的系数满足判别式1=c2QP+Q'2Q=c1 （常数），Q'=dQdx (3.14)则作变换t=Qc2dx=-1x (3.15)方程（3.10）可常系数化为d2ydt2+c1dydt+c2y=0 (3.16)注意：(1) 1=常数，方程（3.10）可常系数化，变换系数x=t仅通过式（3.15）由Q确定.若1常数，方程虽不能经自变量代换常系数化，但变换式（3.15）可使

27、Q1化为常数. (2) 若Q已为常数，从式（3.14）可知，由于p常数（若P也是常数，则式（3.10）已为常系数方程），p1=1常数，即经自变量的代换不能使式（3.10）常系数化. (3) 通常选取c2使式（3.15）最简单. 3.3.2 利用未知函数的齐次线性变换实现常系数化5 令yx=hxzx (3.17) 其中hx为x的已知函数，zx为新的未知函数，方程（3.10）可化为d2zdx2+p2dzdx+Q2z=0 (3.18)p2=p+2h'h，Q2=Q+ph'h+h''h.h'=dhdx，h''=d2hdx2可见方程（3.10）可变换

28、为式（3.16）保线性齐次性. 若变换式（3.16）能使方程（3.10）常系数化，则在式（3.17）中同时有p2=p+2h'h=d1 (常数) (3.19) Q2=Q+ph'h+h''h=d2(常数) (2.20)从式（3.19）解得hx=e12d2-pdx (3.21)代入式（3.20）可得出结论2:若方程（3.10）的系数满足判别式2=Q-12dPdx-14p2=c(常数) (3.22)则经变换式（3.17），（3.11），方程（3.10）可常系数化为d2zdx2+d1dzdx+d2z=0 (3.23)d2=2-d124 (3.24)注意：(1) 2=常数，

29、方程（3.10）可经未知函数的线性变换常系数化，从式（3.21）可知，hx仅由px确定.若2常数，方程（3.10）虽不能经未知函数的变换常系数化，但总可根据式（3.21）选择 hx，通过变换 y=hx 使式（3.18）的系数 p2 为常数. (2) 若原方程中P已为常数，从式（3.22）可知2一定不是常数，（若2为常数，则Q也是常数，原方程已是常系数方程）；即通过未知函数的线性变换不能使方程（3.10）常系数化. (3) 通过选取d1使hx得表达式（3.22）最简单（详见例题），d2由式（3.22）（3.24）确定. 3.3.3 应用举例例3.3 将Euler型方程常系数化x2d2ydx2+a

30、xdydx+by=0,a,b为常数解 将方程化为标准形式（3.10），P=a/x ，P=b/x2,利用判别式（3.14）1=c2QP+Q'2Q=c2ba-1=常数c1可以经自变量的代换常系数化，根据式（3.15）需作变换t=bc2dxx=lnx (取c2=b)当c2=b，c1=a-1,因此，原Euler方程常系数化为d2ydt2+a-1dydt+by=0例3.4 解 1+x22d2ydx2+2x1+x2dydx+y=0解 方程化为标准形式后P=2x1+x2 ，Q=11+x22根据式（3.14）检验判别式1=0，即 c1=0，方程可以常系数化，根据式（3.15）作变换t=1c21+x22

31、dx=tg-1x 或 x=tgt上列运算中已取c2=1.因此，方程常系数化为d2ydt2+y=0解之得y=acost+bsint, a,b为任意常数. 回到原来的变量xy=acostg-1x+bsintg-1x4 三阶变系数线性微分方程的解法探讨为确定起见，在以下讨论中规定一般的变系数三阶微分方程的标准形式为：y'''+pxy''+qxy'+rxy=0 (4.1)下面将给出方程（4.1）经自变量代换化为三阶常系数方程的充要条件. 为行文方便，先给出一个引理. 引理3.1 三阶线性方程（4.1）经自变量代换t=x (4.2)这里函数x在所论区间上具

32、有三阶连续导函数，且x0可化为方程d3ydt3+Atd2ydt2+Btdydt+rx'x-2y=0 (4.3)其中 At=x-23''x+px'x， （4.4） Bt=x-3'''x+px''x+qx'x (4.5)而 x 以t=x在所论区间上的反函数代人. 4.1方程（4.1）化为常系数方程的一种充要条件设在所论区间上，rx0. 由引理4.1立即可得下述引理4.2. 引理4.2 自变量代换（4.2）将方程（4.1）化为三阶常系数线性方程的必要条件是t=x=3Crxdx (4.6)(这里C为适当选取的非零函数，以使

33、代换最简单). 在此带换下，方程（4.1）化为d3ydt3+Atd2ydt2+Btdydt+1Cy=0, (4.7)其中 At=c-13r-43xr'x+pxrx， （4.8）Bt=13c-23r-53r''x+pxr'x+3qxrx-2r'2x3rx (4.9)而 x 以（4.6）之反函数代人. 定理4.16三级线性方程（4.1）经自变量代换（4.6）化为三阶常系数方程d3ydt3+A3Cd2ydt2+B3C2dydt+1Cy=0 (4.10)的充分必要条件是 px 连续可微且rx=e-pxdxC1-A3e-13pxdxdx-3 (4.11)qx=13

34、p'x+29p2x+B-29A2r23x (4.12)同时成立，其中C1是任意给定的常数. 证明 必要性 设在方程（4.7）中有At=AC-13，Bt=BC-23，则由（4.8）（4.9）两式分别得r'x+pxrx=Ar43x (4.13)r''x+pxr'x+3qxrx-2r'2x3rx=3Br53x (4.14)(4.13)是关于rx的贝努利（Bernoulli）方程，由此即知（4.11）式成立，再由（4.14）式解出qx，并注意到可由（4.13）式得到r''x+pxr'x=-p'xrx+43Ar13xr

35、9;x 及 r'xrx=-px+Ar13x则又有13p'x-49Ar13xr'xrx+29r'xrx2+Br43x =13p'x+29r'xrxr'xrx-2Ar13x+ Br43x =13p'x+29-px+Ar13x-px-Ar13x+ Br43x =13p'x+29p2x+B-29A2r23x. 充分性证明从略，定理4.1证毕. 推论4.1 方程（4.1）经代换（4.6）化为常系数方程d3ydt3+1cy=0的充分必要条件是rx=3e-pxdx0，qx=13p'x+29p2x此时，若取c=-3,则所用代换（4.6）也可表为t=e-13pxdxdx. (4.1