用特征根方程法求数列通项

1、页眉13 / 7当f(x)x时,典型例子：an1令此方程的两个根为特征方程法求解递推关系中的数列通项x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。aanb若x1x2,则有例题1:设f(x)(i)求函数的常数k的值;cand(1)若Xianixianix22x32x对由ai1,an解析：(i)设函数解彳导x0可知使f(x)af(x)b1an3an3是以qananf(x)的不动点;f(ani)(nf(x)的不动点为axb2，即cxcxd1*2，则有an1XiX2(其中q(2)对(1)(da)xb0,anxip(其中acx2中的二个不动点a,b(ab),求使f(x)_ak_x_a恒成

2、立f(x)bxb2)定义的数列an,求其通项公式an。f(x)xo,则xo2xo32xo2x3x03(2)由2x72x32x71k_x_a恒成立的常数k-o(3)xb831-为首项，-为公比的等比数列。482x32xan满足性质：对于nN,an11(x2)8x24由(2)可知1a.一J2an3an42an3'x42解:依定理作特征万程x，变形得2x2x402x3根，则有anan8(x3)ani2，所以数列ani3()n1,则8且ai其根为an91ni力)311；(8)3,求an的通项公式.i1,22.故特征方程有两个相异的an11an亘an2an-13匚3anan42an344anan

3、15an101an15an2即anlan11a5ana11又:数列a1anan12-是以£为首项,251，-为公比的等比数列5an1an2|(1)n155an5(5)n1例3.已知数列an满足：对于fl1、n15)(5)n4n2(5)n，N.N,都有an1an13an25(1)若a15,求an;(2)若a16,求an；解：作特征方程x13x25、.一2变形得x10x25Q特征方程有两个相同的特征根x5.(Da15,a1x.N,都有an5；(Dan一nN.一、数列的一阶特征方程（anPan1q型)在数列an中，a1已知，且n2时,anPan1p,q是常数），(1)1时，数列an为等差数

4、列；（2）当p0时，数列an为常数数歹U；(3)1,q0时，数列an为等比数列;(4)0,1,q0时，称xpxq是数列an的一阶特征方程，其根x叫做特征方程的特征根，这时数列an的通项公式为:an(a1x)pn1x；例1:已知数列an中,a12时，求an；（参考答案：an2722&n1)3二、数列的二阶特征方程（an2Panqan型)在数列an中，a1与a2已知，且an22pan1qan（p,q是常数），则称xpxq是数列an的二阶特征方程,其根x1,x2叫做特征方程的特征根。（1）当XiX2时，有angXC2X2;当XiX2时，有anai（n1）dx：1其中G,c2,d由a1,a2代

5、入an后确定。例2：在数列an中，a13,a27,且n3时，an3an14an20,求an；n12n1（参考答案：an（1）2）考虑一个简单的线性递推问题.设已知数列an的项满足a1b,an1cand其中c0,c1,求这个数列的通项公式采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法一一特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程X cxd,称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为x0,则当x0a1时，an为常数列,a1;当x0 a1时，an bn

6、x0,其中bn是以c为公比的等比数列，即bnb1cn 1,b1a1X0.证明：因为cd0,1,由特征万程得x0.作换元bn an1 cXo,则bn1an 1X0can dcdcanc(an Xo) cbn.当Xoa1时,b10 ,数列bn是以c为公比的等比数列，故bnb1cn 1;当Xoa1时,b10, bn为 0数列，故 an a1 ,n N.（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.bnan例1.已知数列an满足：an 1解：作方程X1x 2,则 X0 31-an 2,n N, a1 334,求an.当a14时,a1X0, b1a12311一.数列bn是以221，口 一为公比的等比数列.于是

7、3b1(1、n 13)bn11 , 1、n 1 二(二) ,233 111 ()2 23n 1,nN.例2.已知数列an满足递推关系:an 1(2an 3)i,nN,其中i为虚数单位.当a1取何值时，数列an是常数数歹U?bn0cn解：作方程x（2x3）i,则x0现在考虑一个分式递推问题（*）.例3.已知数列an满足性质：对于将这问题一般化，应用特征方程法求解,N,都有anpxqrxhpanqranh（1）当特征方程有两个相同的根r,1右a1，则anbn63i.要使5nN,an有下述结果an为常数，即则必须a163iXo-a-4,且a13,求an的通项公式.2an3.定理2.如果数列an满足下

8、列条件：已知a1的值且对（其中p、q、r、h均为常数，且phqr,r（称作特征根）时，若a1，则an,nN,其中bnai(n1)r0时，无穷数列an不存在.（2）当特征方程有两个相异的根a11a12(二)"证明：先证明定理的第（则dn1an1dn(p2（称作特征根）时，则1,nN，(其中a11）部分.作交换panqranhr)r2(hrdnhr是特征方程的根，：将该式代入式得dn当d12).dnp)an,nNan(pr)ranq-h0,a1U）,那么，可作特征方r,nN；,npr2cncnN.特别地，当存在n0N,使nN,其中(dn)(pr)qhr(dn)hdn(pr)rdn(hp)

9、q0.代入特征方程可整理得rph时,N.qr,这与已知条件phqr矛盾.故特征方程的根卫，于是r由式得bn0,nN,故andn,nN.当d10即a1时,由、两式可得dn0,N.此时可对式作如下变化:rdnhrdn1dn(Pr)Prdn是方程xpxqrx的两个相同的根可以求得Ph2r2r2r1,将此式代入式得bnbn当存在一,ndnN.则bbnb1(n1)N.其中b1dndnPN.故数列bn是以r一一1一为公差的等差数列.Prd1a1N,bn0时，andnbn,nN.n0N,使bn00时,an。dnobn0无意义.故此时，无穷数列an是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下:.特征方程有两个相异

10、的根1;其中必有一个特征根不等于a1，不妨令2a1.于是可作变换ancnan故cnPancn1由第（an(Pan(Pranq代入再整理得hJ)q2)q1hRn1）部分的证明过程知1r0,p2rP-,x二不是特征方程的根，故r0.所以由式可得:cn1r2ranqPqpih1r,n2h2r特征方程x心有两个相异根rxh、*22万程rxx(hP)0有两个相异根xqxh与方程rx2x（hp）q0又是同解方程.：1hq2h1,pxrP1rP2r将上两式代入式得cn 1p" aniP2 an2ircn, n 2rp1r当c10,即a11时，数列On是等比数列，公比为-.此时对于nN都有p2r根,

11、cncn由cn注:当c1(1尸an1且1anphqr时，典ran现在求解前述例2可知cn1,nq会退化为常数h3的分类递推问题（）.x4解:依定理作特征方程x，变形得2x3使用定理2的第（2）部分，则有a11a1(;当一ancn例4.2r2(5)n1已知数列an满足：对于n(1)若a15,求an;(2)若a12rN.2x2当c1所以an0时，an2x0即a11时,2cnpanran0,其根为上式也成立.,nN.一cn1一,n1N.（证毕）q可化归为较易解的递推关系，在此不再赘hi（1,25)n2.故特征方程有两个相异的1,nN.一,n1N,都有anN.即an(5)n(5)47,nN.13an2

12、5an33,求an;（3）若a16,求an;（4）当a1取哪些值时，无穷数列an不存在?“，-13x252一一八解：作特征万程x.变形得x10x250,x3特征方程有两个相同的特征根5.依定理2的第（1）部分解答.（1）a15,a1.对于nN,都有an5;1r.：bn(n1)apr(n1)11315令bn5.故数列an从第5项开始都不存在，当n<4,nN时，an5n17(3)a16,5,a1bnbna1(n1)PN.令bn0,则n7n.;对于nN,bn0.一anbn1n11-85n43,nN.（4）显然当a13时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，a15时,数列an是