定积分在实际问题中的应用

1、第二节 定积分在实际问题中的应用Application of Definite Integral教学目的：熟练掌握求解平面图形的面积方法，并能灵活、恰当地选择积分变量 ；会求平行截容 教学重点 教学难点 教学方法 教学容：面面积已知的立体的体积，并能求解旋转体的体积；能够解决物理应用中变力作 功、液体压力方面的冋题定积分几何应用；定积分在物理中的应用求解平面图形的面积；求旋转体的体积运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积精讲:定积分的几何应用；多练:用定积分求平面图形的面积和立体的体积、定积分的几何应用1.平面图形的面积设函数yfi(x),yf2(x)均在区间a,b上连续，且fi(x)f2(

2、x),x a,b,现计算由y f1(x), yf2(x), x a,x b所围成的平面图形的面积.分析求解如下：(1) 如图6-3所示,该图形对应变量x的变化区间为a,b,且所求平面图形的面积S对区间a,b具有可加性.(2) 在区间a,b任取一小区间x,x dx,其所对应的小曲边梯形的面积，可用以dx为底，f1(x) f2(x)为高的小矩形的面积(图6-3)中阴影部分的面积)近似代替.即面积微元为dS f1(x) f2(x)dx(3) 所求图形的面积bSaf2(x)f2(x)dx1yAJy占B'1py /l（T）0a工Ax0£7kJ1bX图6-3【例1】求曲线y ex，直线x

3、 0,x1及y 0所围成的平面图形的面积.解 对应变量x的变化区间为0,1,在0,1任取一小区间x,x dx,其所对应小窄条 的面积用以dx为底，以f(x) g(x) ex 0 ex为高的矩形的面积近似代替,即面积微元dS exdx于是所求面积【例2】求曲线y2x积微元于是所求面积1Sexdx ex0x2及y 2 x2所围成的平面图形的面积2求出交点坐标为xdSdS(1,1)和(1,1),积分变量X的变化区间为1,1,面f(x) g(x)dx(22(12x2 xx2)dx)dx112(11(10 'x2)dxx2)dxx (y),x若平面图形是由连续曲线面积应如何表达呢？分析求解如下：

4、(1) 对应变量y的变化区间为c,d,且所求面积(2) 在y的变化区间c,d任取一小区间y,y(y)为长，以dy为宽的矩形面积近似代替(y),(y)(y),y c,y d所围成的，其用以(y)S对区间c,d具有可加性.dy,其所对应的小曲边梯形的面积可,即面积微元为于是所求面积【例3】此时(y)于是所求面积dS2y ,直线y(y) (y)dyd(y) (y)dy求曲线x2y解得交点坐标为(x 222, (y) y ,则面积微元dS 2所围成的平面图形的面积1,1)和(4,2),则对应变量y的变化区间为1,2,(y) (y)dy (y 2 y2)dyS dS1y2)dy132y 3y922【例4

5、】求由y x及yx所围成的平面图形的面积解 为了确定积分变量的变化围，首先求交点的坐标2y x由 y 得交点(0,0),(1,1).y x方法一选x为积分变量，则对应x的变化区间为0,1,此时(xdS f(x)g(x)dxf (x) x, g(x)2x)dx1S 0&x2 )dxx2面积微元方法二选y为积分变量，对应y的变化区间为0,1,此时(y)dS (y) (y)dy G y y)dyy则面积微元s 0(J知1y)dy1 21y2 13 2注：由此例可知，积分变量的选取不是唯一的 解问题的难易程度也会不同.16,但在有些问题中，积分变量选择的不同2x【例5】求椭圆a2占 1的面积b

6、解 椭圆关于x轴，y轴均对称，故所求面积为第一象限部分的面积的 4倍,即S 4S1a4 ° ydx利用椭圆的参数方程acostbsint应用定积分的换元法，dxasintdt,且当 x0 时，t Ux a 时，t °,于0S 4 bsint( acost)dt24ab 2sin2 tdt04ab PLdt0 2t 14ab si n2t2ab2 402.空间立体的体积(1)平行截面面积为已知的立体的体积设某空间立体垂直于一定轴的各个截面面积已知,则这个立体的体积可用微兀法求解不失一般性，不妨取定轴为x轴,垂直于x轴的各个截面面积为关于x的连续函数S(x),x的变化区间为a,

7、b.该立体体积 V对区间a,b具有可加性.取x为积分变量，在a,b任取一小区间x,x dx,其所对应的小薄片的体积用底面积为S(x),高为dx的柱体的体积近似代替,即体积微元为dV S( x) dx于是所求立体的体积bV S(x)a【例6】一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这个平面截圆柱体所得契形体的体积2 2 2解取该平面与底面圆的交线为x轴建立直角坐标系，则底面圆的方程为 x y R ,半圆的方程即为y . R2 x2 .在x轴的变化区间R, R任取一点x,过x作垂直于x轴的截面,截得一直角三角形，其 底长为y,高度为ytan ,故其面积1S(x) y y tan

8、21 2y tan21 2 2(R x )tan于是体积RS(x)dxR 1 + tanR2Jtan 21 tan2(R2(R2xx2)dxx2)dx3x )(2)旋转体的体积 类型1:求由连续曲线 一周而成立体的体积过任意一点x a, b作垂直于 S(x) f 2(x),于是所求旋转体的体积f(x),直线x a,x b及x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转轴的平面,截面是半径为f(x)的圆,其面积为ba S(x)dxb 2f 2(x)dxa2【例7】求由y x及x 1,y 积解 积分变量x轴的变化区间为0,1,此处f (x) 114 .x dx00所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成立体的体V 0

9、(x2)2dxx2,则体积15 05【例8】连接坐标原点 O及点P(h,r)的直线，直线x h及x轴围成一个直角三角形 求将它绕x轴旋转一周而成的圆锥体的体积解 积分变量x的变化区间为0,h,此处yrf(x)为直线°p的方程y，于是体类型2:求由连续曲线x2dx2r2r2dx0(y),直线 y c,yd及y轴所围成的曲边梯形绕 y轴旋转一周而成的立体的体积 (c d ).(y)的圆，其面积为过任意一点 y c,d,作垂直于 y轴的平面，截面是半径为2S( y)(y),于是所求旋转体的体积dd -V c S(y)dy c (y)dy【例9】求由y x3, y 8及y轴所围成的曲边梯形绕

10、y轴旋转一周而成的立体的体积解 积分变量y的变化区间为0,8,此处x (y)3 y .于是体积80 (3y)dy8 ?y3dy0896053 I5y2x【例10】求椭圆a2 y_ b2解 若椭圆绕x轴旋转，积分变量y f(x) -4aa1分别绕X轴、y轴旋转而成椭球体的体积x的变化区间为a,a,此处x2 ,于是体积b aa2x2 dxaa2aa(a22x )dxa2xa 3 ab2a 3若椭圆绕y轴旋转，积分变量的变化区间为b,b,此处 x ( y)aJb2 y2 ,于b是体积2 a b2 y2 dy2a-2a-bb(b2b2yy2)dy1 33ya2b二、定积分在物理中的应用1. 变力所做的

11、功如果一个物体在恒力 F的作用下，沿力F的方向移动距离s,则力F对物体所做的功是 W F S.如果一个物体在变力F(x)的作用下作直线运动，不妨设其沿 Ox轴运动，那么当物体由Ox轴上的点a移动到点b时,变力F(x)对物体所做的功是多少 ？我们仍采用微元法，所做的功 W对区间a,b具有可加性.设变力F(x)是连续变化的，分 割区间a,b，任取一小区间x,x dx,由F(x)的连续性，物体在dx这一小段路径上移动时F(x)的变化很小，可近似看作不变的，则变力F(x)在小段路径上所做的功可近似看作恒力 做功问题，于是得到功的微元为dW F(x)dx将微元从a到b积分，得到整个区间上力所做的功bW

12、F(x)dxa【例11】将弹簧一段固定，令一段连一个小球，放在光滑面上，点O为小球的平衡位置 若将小球从点 O拉到点M(OM s),求克服弹性力所做的功,方向指向平衡位置解 由物理学知道，弹性力的大小和弹簧伸长或压缩的长度成正比 O,即F kx其中k是比例常数.若把小球从点 0(x 0)拉到点M(x s),克服弹性力F,所用力f的大小与F相等, 但方向相反，即f kx,它随小球位置x的变化而变化.dx,则力f所做的功的微元kxdx在x的变化区间0, s上任取一小段x,xdW于是功skW kxdx s02【例12】某空气压缩机，其活塞的面积为 S,在等温压缩的过程中，活塞由X：处压缩到X2处，求

13、压缩机在这段压缩过程中所消耗的功解由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强p与体积V的乘积为常数k,即pV k由已知,体积V是活塞面积S与任一点位置x的乘积，即V Sx,因此k kpV Sx于是气体作用于活塞上的力PS S-SSx x活塞作用力f-,则力xf所做的功的微元dWbdxx于是所求功X1±dxxx：k2X25米,底圆半径为3米,桶盛满了水试问要把桶的水全【例13】一圆柱形的贮水桶高为部吸出需做多少功解 取深度x为积分变量，则所求功 W对区间0,5具有可加性应用微元法，在0,5上 任取一小区间x,x dx,则所对应的小薄层的质量32 dx 9 dx .将这一薄层水吸出桶外

14、时，需提升的距离近似为 x,因此需做功的近似值，即功的微元为dW x 9 dx 9 xdx于是所求功5W90xdx92 x5225202将339.8 10 N /m ,得W225980063.46 10 J22. 液体压力现有面积为S的平板，水平置于密度为，深度为h的液体中，则平板一侧所受的压力F pS h S(p为水深为h处的压强值)若将平板垂直放于该液体中，对应不同的液体深度，压强值也不同，那么平板所受压力应 如何求解呢？设平板边缘曲线方程为 y f(x),(a x b)，则所求压力F对区间具有可加性，现用 微元法来求解.在a，b上任取一小区间x，x dx,其对应的小横条上各点液面深度均近

15、似看成X，且液体对它的压力近似看成长为f(x)、宽为dx的小矩形所受的压力，即压力微元为dFx f (x)dx于是所求压力Fbx f(x)dxa【例14】有一底面半径为1米,高为2米的圆柱形贮水桶，里面盛满水求水对桶壁的压力.解 积分变量x的变化区间为0,2，在其上任取一小区间x,x dx，高为dx的小圆柱面所受压力的近似值,即压力微兀为dFx 21dx 2xdx于是所求压力为22 x2F2xdx2 4020将9.8 103N /m3代入F 49.81033.92104N【例15】有一半径R 3米的圆形溢水洞，试求水位为3米时作用在闸板上的压力. 解 如果水位为3米,积分变量x的变化区间为0, R,在其上任取一小区间x,x dx, 所对应的小窄条上所受压力近似值，即压力微元dW x 2 ydxx 2 R2 x2 dx2 x R2 x2dx于是所求压力RF o2 x.R