苏教版必修四 平面向量向量的线性运算2 向量的数乘学案含答案

1、高中数学向量的数乘一、考点突破知识点课标要求题型说明向量的数乘1. 掌握向量数乘的运算及其几何意义；2. 理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理；3. 了解向量线性运算的性质及其几何意义选择题填空题1. 向量的数乘要注意向量的“形”的应用；2. 向量的共线定理是很重要的一维空间定理，要重点掌握二、重难点提示重点：向量数乘的运算及其几何意义。难点：两向量共线的含义及共线定理。一、向量的数乘的定义一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：（1）|a|a|；（2）当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当a0时，a0；当0时，a0。实数与向量a相乘，叫做向量的

2、数乘。【要点诠释】向量数乘的几何意义由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当|1时，表示a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上伸长为原来的|倍；当|1时，表示a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上缩小为原来的|倍。二、向量数乘的运算律（1）（a）（）a；（2）（）aaa；（3）（ab）ab。三、向量数乘的作图已知，作。当时，把按原来方向变成原来的倍；当时，把按原来向量的相反方向变成原来的倍。【要点诠释】注意数零及零向量：实数与向量求积有意义，结果是一个向量，不能进行加减运算，比如是没有意义的。式子时可以改写为，但一定不能改写成或者，两个向量不

3、定义除法运算。四、共线向量定理如果有一个实数，使ba（a0），那么b与a是共线向量；反之，如果b与a（a0）是共线向量，那么有且只有一个实数，使得ba。【要点诠释】准确理解共线向量定理共线向量定理为运用向量判定直线平行或三点共线等几何问题提供了理论依据。理解时应注意以下几点：（1）定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数，使ba（a0），则a与b共线；反之，若a与b共线（a0），则必存在一个实数，使ba。（2）定理中，之所以限定a0是由于若ab0，虽然仍然存在，可是不唯一，定理的正反两个方面不成立。（3）若a，b不共线，且ab，则必有0。【随堂练习】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点

4、，动点P满足，则P的轨迹一定通过ABC的_。 外心 内心 重心 垂心思路分析：根据向量的减法和数乘以及几何意义解决。答案：由得设，则以AE，AD为邻边构造平行四边形AEFD，则所以，所以共线。所以P的轨迹一定通过ABC的内心【重要提示】注意：为与同向的单位向量。在判断图形情况时注意向量的运算以及向量运算的几何图形的应用。例题1 （向量数乘的基本运算）设向量a3i2j，b2ij，求（ab）（ab）（2ba）。思路分析：去括号合并共线向量化简。答案：原式abab2ba（11）a（12）bab（3i2j） （2ij）（5）i（）ji5j。技巧点拨：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中

5、的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看做是向量的系数。例题2 （向量的表示）如图，在ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，3a，2b，求，。思路分析：由D，E为边AB的两个三等分点可知A，B，D，E四点共线，从而向量，均可以由向量表示，而向量可由向量，表示，从而问题可解。答案：3a，2b，2b3a，又D，E为边AB的两个三等分点，所以ba，所以3aba2ab，3a3a （2b3a）ab。技巧点拨：用已知向量表示未知向量的求解思路：（1）先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；（2）然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量；（3）求解过程体现了数学上的化归思想。如图所示，已知D，E分别为ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DMCD，延长BE到N使BEEN，求证：M，A，N三点共线。思路分析：本题利用三角形法则转化到可证两向量共线，从而解决点共线的几何问题。答案：在AMC中，D为MC的中点，2，又D是AB的中点，2，同理可证，共线且有公共点A，A，M，N三点共线。技巧点拨：1. 用已知向量表示相关向量时，