线面积分典型例题

1、线面积分典型例题一、对弧长的积分的概念、性质1、概念：其中：L：平面上的曲线弧段，：L上各小弧段的长度的最大值，：L上第i个小弧段的长度2、几何意义：表示L的弧长。3、性质：被积函数的满足L的方程，与L的方向无关，对积分路径的可加性4、计算公式（1），则（2），则（3），则例1 （08年期末考试，一、6，4分）设L为直线上点(0,0)到点（1，1）之间的一段，则曲线积分 。例2 （07年期末考试，二、2，3分）曲线L为从原点到点（1，1）的直线段，则曲线积分的值等于 。例3 （06年期末考试，一、4，3分）设平面曲线L为下半圆周，则曲线积分的值等于 。例4 （03年期末考试，五，8分）在曲线弧

2、L：上分布有质点，线密度，求它的质量。二、对坐标的曲线积分1、概念：，L为有向曲线2、物理意义：变力沿有向曲线L所做的功。3、性质：被积函数的满足L的方程，与L的方向有关（），对积分路径的可加性4、计算公式（1），则（2），则（3），则（4）两类线积分之间的关系为有向曲线L在（x，y）处的切向量的方向角5、格林公式及其应用（1）格林公式：，L是闭区域D的取正向的边界曲线。注意：（）公式成立的的条件：D为闭区域，L是D的取正向的边界曲线，函数在D上有一阶连续偏导数。 （）格林公式的适用范围：若不满足，可补充适当的有向弧段，使得L封闭；或补充适当的闭曲线挖去奇点，使之满足格林公式。（2）曲线积分与

3、路径无关的概念及定理定理：设区域G是一个单连通区域，函数在G内有一阶连续偏导数，则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）在G内恒成立。（3）为全微分式的概念，如何求使得？定理：设区域G是一个单连通区域，函数在G内有一阶连续偏导数，则曲线积分在G内为某一函数的全微分在G内恒成立，且 ，为G内一点例1 （08年期末考试，一、5，4分）设L为取逆时针方向的圆周，则曲线积分 。例2 （07年期末考试，六、7分）计算，其中L为从点（a，0）沿椭圆到点（a，0）的一段曲线。例3 （07年期末考试，十二、7分）设曲线积分与路径无关，其中连续可导，且，计算。例4 （06年期末考试，八、8

4、分）设上有连续的一阶导数，求曲线积分，L为从点。例5 （04年期末考试，二、3，3分）曲线积分与路径无关的充要条件是 。例6（04年期末考试，四、3，7分）设有连续导数，计算曲线积分，式中是第一象限中连接点A(5,0)， B(3,4)的任意光滑曲线。例7（03年期末考试，七、10分）设，具有一阶连续导数，且对在右半平面内的任意闭曲线L，曲线积分。求（1）（2）求函数使它的全微分等于。例8 （02年期末考试，七、10分）已知变力，问将质点从原点沿直线移到曲面的第一卦限部分上的哪一点做功最大？并求出最大功。例9（99研）求，其中a，b为正的常数，L为从点A(2a,0)沿曲线到点O(0,0)的弧。例

5、10（2000研）计算曲线积分，其中L是以点(1,0) 为中心，R(>1)为半径的圆周，取逆时针方向。例11 计算，L为曲线中从t0到t的一段。三、对面积的曲面积分1、概念：，为空间曲面2、几何意义：的面积；物理意义：面密度为的曲面的质量。3、性质：被积函数的满足的方程，对积分区域的可加性4、计算公式（1）若，（2）若，（3）若，例1 （08年期末考试，五，7分）计算，其中为。例2 （07年期末考试，一、3，3分）已知曲面的方程为，则 。例3 （06年期末考试，九、8分）计算曲面积分，其中为上半球面。例4设曲面是位于第一卦限部分，则曲面积分 。例5设曲面是，求曲面积分。例6 计算曲面积分

6、，其中是的边界曲面。四、对坐标的曲面积分1、概念：，为空间有向曲面2、物理意义：设稳定流动的不可压缩流体的流速场由给出，是速度场中的一片有向曲面，则在单位时间内流向指定侧的流量为3、性质：被积函数的满足的方程，对积分区域的可加性，指的是与相反的一侧。 当曲面为母线平行于z轴的柱面时，在xoy面的投影为一曲线段，因此投影面积为0，从而0.。其余两种情况类似。4、计算公式（1）“一投二代三定号”（2）利用两类面积分之间的联系注：第一类曲面积分可以自己选择合适的投影方向，该关系可简化第二类曲面积分的计算，实现投影转移。（3）Gauss公式：其中是封闭曲面，并取外侧，是所围成的封闭区域；P，Q，R在上有一阶连续偏导数。（）若P，Q，R在上有奇点，需选择适当的有向曲面挖去使之不成立的点。（）当曲面积分计算较复杂或计算量大，而较简单时，常利用Gauss公式计算曲面积分。例1 （08年期末考试，四，7分）计算，其中为半球面的上侧。例2 （07年期末考试，五、7分）计算，其中为旋转抛物面的上侧。例3 （06年期末考试，二、5，3分）设为球面的外侧，则曲面积分 。例4（04年期末考试，四、4，6分）计算曲面积分，是上半球