自动控制原理第五章

1、第五章§5-1 引言§5-2频率特性§5-3 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制§5-4开环和闭环系统Bode图的绘制方法§5-5 系统稳定性分析§5-6控制系统的相对稳定性分析第五章 控制系统的频率响应分析教学目的：掌握利用频域法进行系统分析的一般方法 ，为后面的校正及信号与系统分析打下基础。掌握系统频率特性分析与系统幅角之间的关系，掌握Nyquist图和Bode图的绘制方法，根据系统的Nyquist图和Bode图分析系统的性质。本章的难点是Nyquist稳定性分析。主要内容：一、 引言二、 频率特性三、 开环系统的典型

2、环节分解和开环频率特性曲线的绘制四、 频率域稳定判据五、 稳定裕度六、 闭环系统的频域性能指标重点： 频率特性的基本概念，各种频域特性曲线的绘制，Nyquist稳定判据的应用，及相对稳定裕度的分析，理解三频段的概念与作用。难点：时域性能指标与频域性能指标之间的相互转换。闭环频域性能指标的理解与应用讲授方法及技巧：联系传递函数，微分方程等数学模型，将频率法和时域分析法、根轨迹法相比较，理解和掌握古典控制系统的完整体系。准确理解概念，把握各种图形表示法的相互联系。与时域法进行对比，以加深理解。§5-1 引言1.时域分析法（特点）思路：概括时域法与根轨迹法的优缺点，为频域法的引出奠定基础1

3、) 以传递函数和单位阶跃响应为分析基础构成的一整套解析法为主响应曲线图形分析法为辅的分析方法。它具有直观、明确的物理意义，但就是运算工作量较大，参数的全局特征不明显。2) 原始依据数学模型，得来不易，也同实际系统得真实情况有差异，存在较多的近似、假设和忽略，有时对于未知对象，还可能要用经验法估计。3) 对工程中普遍存在的高频噪声干扰的研究无能为力。4) 在定性分析上存在明显的不足。5) 属于以“点”为工作方式的分析方法。小结：这两种分析方法的不足：数学模型问题高频噪声问题2.根轨迹法（特点）1）根轨迹法弥补了时域分析法中参数全局变化时特征不明显的不足，在研究单一指定参数对整个系统的影响时很有用

4、；2）增加零极点（增加补偿器）时，是一种很好的辅助设计工具；3）以“线”和“面”为工作方式；4）为定性分析提供了一种非常好的想象空间和辅助思维界面。 “时域分析法+根轨迹法”，合起来共同构成s平面上的“点”、“线”、“面”全方位分析体系：用增加零极点的办法将根轨迹曲线“推拉”到希望的区域（面），对选定的根轨迹曲线按指定参数进行区间和范围的划分和必要的定性分析（线） ，用时域法对希望区间内的范围进行选点计算，得到关键点的定量分析（点）。对三者的分析结果进行综合，就形成了对系统的更深层次上的理解。这就是我们所设想的一个完美组合。但是，时域方法中的其它不足，如数学模型问题、高频噪声问题等仍然是无能为

5、力。3.频域分析法的特点：小结：频域分析法研究系统全面，而且它能够脱离时域分析法而自成体系。但同时域法结合后，更是如虎添翼。1）频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自动控制系统的另一种工程方法；2）频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动态模型的系统来说，很有用处。3）根据系统的频率性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可以简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，指出系统改进的方向。4）频域分析法不但可以用于线性系统，而且还能用于某些非线性系统。5）可以用开环频率特性来研究闭环系统。6）可以更方便更全面地研究系统结构和参数的变化问题。7）主要属于图解分析、设计法，但同解析法

6、有密切的关系，甚至是直接的关系。8）可以研究噪声问题。§5-2频率特性一、频率特性的基本概念频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。设线性系统的输入为一频率为的正弦信号，在稳态时，系统的输出具有和输入同频率的正弦函数，但其振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化，如图下图所示。思路：此处通过用MATLAB演示，一正弦波或余弦波输入时的稳态输出响应，让学生初步建立起直观概念 图接下来的思路是进行公式的推导与证明，这一部分书上有详细的推导过程，下面的教案中只给出结论。结论：1、 给稳定的系统输入一个正弦信号，其稳态输出是与输入同频率的

7、正弦信号，其幅值是随而变的函数，相角也随而变的函数，我们把前者定义为幅频特性，后者定义为相频特性。2、 幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量，它也是的函数，称为频率特性。3、 实际中的频率特性是由传递函数求得的。将传递函数中的s用j代替后就得了系统的频率特性。所以说频率特性与是系统的一种数学模型。说明：习题类型:1已知系统与输入的正弦信号形式，求其稳态输出或稳态误差。2、已知系统结构形式，求系统的幅频特性与相频特性。3、详细习题可见多媒体课件，也可见习题部分。二、频率特性的表示法(一) 解析式表示1. 幅频-相频形式：2. 指数形式: 3. 三角函数形式: 4. 实频-虚频形式:

8、(二) 常用的图解形式工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：1幅相曲线（极坐标图），也称奈奎斯特(Nyquist)图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部 为纵坐标，以 为参变量的幅值与相位的图解表示法。2对数坐标图，也称伯德(Bode)图。它是由两张图组成，以 为横坐标，对数分度，分别以 和 为纵坐标的一种图示法。3对数幅相频率特性图，也称尼柯尔斯(Nichols)图。它是以相位 横坐标，以 为纵坐标，以 为参变量的一种图示法。注意：此处特别注意的中BODE图的横坐标的表示：其横坐标是以为标值，但是分度是以进行分度的。§ 5-3 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲

9、线的绘制讲授的思路：首先交待开环控制系统可进行典型环节的分解，在此基础之上讲授第一种典型环节的极坐标图与对数坐标图，（这一块儿用多媒体结合MATLAB讲效果较好）一般系统的绘图方法1. 将开环传递函数按典型环节分解 Gi(s)为除1/s、k外的其他典型环节典型环节最小相位系统j比例环节 k惯性环节 l一阶微分环节m振荡环节 ()；n二阶微分环节 ()；o积分环节1/s；p微分环节s；非最小相位系统j比例环节k惯性环节l一阶微分环节m振荡环节 ()；n二阶微分环节 ()；小结：（具体绘制步骤见课件或课本）1、 上面的典型环节中重点理解惯性环节、积分环节、振荡环节。2、 在绘制开环系统的频率特性的

10、时候，如绘制极坐标是按低频段、中频段、及高频段进行把握的，在绘制对数坐标曲线时是按渐近频率特性曲线来绘制的。3、 注意区分最小相位也非最小相位系统的绘制时和不同。§5-4开环和闭环系统Bode图的绘制方法1 环节曲线迭加法2 顺序斜率迭加法步骤：（1）将传递函数分解成典型环节并按转角频率从小到大排序，计算斜率累加值。（2）过（1，20lgK）点作低频渐进线，斜率为-20ndB/dec，n为积分因子的个数。（3）根据斜率累加值，每遇转角频率即改变渐进线斜率，作出幅频特性。（4）用描点连线的方法绘制相频特性一、最小相位系统和非最小相位系统1 系统的开环传递函数在右半s平面没有极点和零点，

11、该系统称为最小相位系统。如2 系统的开环传递函数在右半s平面有零点或极点，或系统含e-Ts，该系统称为非最小相位系统。3 具有相同幅值的两个系统，最小相位系统的相角最小如： ， （T2>T1>0） A1()=A2()= 4. 最小相位系统, 当时,相角为(n-m)(-900) 5. 非最小相位因(1)含e-Ts (2)小回环不稳定产生 6. 最小相位系统的幅值特性和相角特性有一一对应关系.二、闭环系统的频率特性（有以下三种方法）1. 单位反馈闭环系统的频率响应2. 等M圆（等幅值轨迹）3. 等N圆（等相角轨迹）§5-5 系统稳定性分析 判断系统稳定性的图解法判据一、 Ny

12、quist稳定判据的基本原理利用开环Nyquist图判断闭环稳定性(一) 映射原理 设复变函数 1. s平面上的点与 F(s)平面上的点有对应关系 s平面 F(s)平面 F(s)的零点 原点 F(s)的极点 无限远点 s平面上的其他点 原点外的有限点 当动点s1在s平面的封闭曲线C 上沿顺时针方向绕行取值时,在F(s)平面上将映射出一条绕原点的闭合轨迹 。2. 讨论 s平面与F(s)平面的映射关系(1) 围线C中只含零点时(2) 围线C中只含极点时(3) 围线C中既含零点, 也含极点时结论：设C中含Z个零点, P个极点, 则围线逆时针包围原点的次数N=P-Z -映射原理(二) 特征函数F(s)

13、与G(s)H(s)的关系 设开环传递函数为G(s)H(s)=, 则闭环传递函数为 , 系统特征方程为F(s)=1+G(s)H(s)=0= F(s)的零点为(s)的极点，F(s)的极点为G(s)H(s)的极点 G(s)H(s)=F(s)-1 曲线绕F(s)平面的原点运动相当于绕G(s)H(s)平面的(-1,j0)点运动(三) Nyquist轨线 由虚轴和右半s平面上半径为无穷大的半圆构成的闭合曲线. 包围整个右半s平面。二、 Nyquist稳定判据(一) 第一种情况 G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上没有极点时,Nyquist稳定判据为:(1) P=0时,若从-的Nyquist曲线不包围(-

14、1,j0)点,即N=0,则Z=0,闭环系统稳定, 否则不稳定(2) P0时,若从-的Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点N次,则Z=N+P=0系统稳定, 否则不稳定(3) Nyquist曲线通过(-1,j0)点时,临界稳定(二) 第二种情况 当G(s)H(s)在s平面的虚轴或原点处有极点时，需修正Nyquist轨线 无限小半圆上的动点s可表示为： s=j（0，-90°<<90°） 映射到G(s)H(s)平面上,则为 G(s)H(s)= 讨论: 1型系统 G(s)H(s)= 2型系统 G(s)H(s)= 虚轴上有开环极点时,可仿此处理（此处可见课本195页

15、） Nyquist稳定判据二: 当系统的开环传递函数中有位于原点及虚轴上的极点时,系统G(j)H(j)Nyquist曲线在从-+变化时逆时针包围(-1,j0)点的次数N等于开环右极点数P,则闭环系统稳定,否则不稳定。（三）条件稳定系统 系统稳定性随某一K值的变化而变化，在某一K值范围内稳定（四）采用逆极坐标的Nyquist稳定判据 从-+变化时，1/G(j)H(j)的Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点N次。N为位于右半s平面的1/G(s)H(s)的极点数，即G(s)H(s)的零点数。注意： Nyquist稳定判据不适用于含延迟环节的系统。§ 5-6控制系统的相对稳定性分析（

16、一） 相对稳定性的表述 Nyquist曲线接近（-1，j0）点的程度可反映系统相对稳定的裕度。（二） 相角裕量和幅值裕量Kg的定义1 相角裕量 |G(j)H(j)|=1 =c 幅值交界频率 = 180°+ （c） >0，系统稳定 <0，系统不稳定2 幅值裕量Kg G(j)H(j) = -180° =g 相位交界频率 Kg = 或 Kg（db）= 20lgKg = -20lg|G(jg)H(jg)| Kg >1 或 Kg（db）>0 , 系统稳定 Kg <1 或 Kg（db）<0 , 系统不稳定 工程上要求: = 30°- 60&

17、#176;, Kg>6db 。也可只对提要求。（三） 系统的Nyquist图和Bode图的对应关系 Nyquist图 Bode图 单位圆 0db线 实轴负方向 -180°线四Bode的稳定性分析（一） Bode图上稳定裕量的分析 g >c ，>0 , Kg>0 , 稳定（二） Bode定理及应用(1) 线性最小相位系统的幅频特性与相频特性是一一对应的.(2) 某一频率上的相位移,主要决定于同一频率上的对数幅频特性的斜率, 大致为: ±n·20db/dec对应±n·90°相位移。应用中注意的问题: 为使合适, 应使c 处斜率为-20db/dec