相似三角形证明技巧(整理)

1、本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形（1）三角形相似的条件：:：二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例：3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；a）己知一对等找另一角两角对应相等，两三角形相似>找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似、找

2、夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似b）己知两边对应成比±找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似C）己知一个直找另一角4两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理2d）有等腰关3找顶角对应相等判定定理1找底和腰对应成比例找底角对应相等判定定理1判定定理e）相似形的传递性若AsA,sA,则AiZ四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若

3、不能,再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而吏问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。/r例1、已矢口：如图，AABC中，CE，AB,BF，AC求证:让ACaFba（判断“横定”还是“竖定” 高，/ BAC的例2、如图，CD是RtAKBC的斜边AB上的平分线分别交BC、CD于点E、F, AC AE=AFAB吗？说明理由。分析方法:1）先将积式分析方法：1）先将积式例3、已知：如图， ABC中，/ ACB=90A

4、B的垂直平分线交AB于D,交BC延长线于F。求证：CD2=DEDFo（“横定”还是“竖定”五、过渡法（或叫代换法）1、等量过渡法（等线段代换法）例1:如图3,ZABC中，AD平分/BAC,AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E.求证：DE2二BECE.分析:（“横定”还是“竖定”？本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!2、等比过渡法（等比代换法）例2:如图4,在/ABC中，/BAC=90°AD±BC,E是AC的中点，AB的延长线于点F.DFAF3、等积过渡法（等积代换法）例3:如图5,在AABC中，/ACB=90°CD是斜边AB上的高，G是延长线上一点，过B作BEL

5、AG,垂足为E,交CD于点F.求证:CD2=DFDG.小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；不相似，不用急：等线等比来代替。”同类练习：如图，点D、E分别在边AB、AC上，且/ADE=/C求证：(1)AADEs/ACB;(1题图)(2)AD AB=AE AC.如图，ABC中，点DE在边BC上，且ADE是等边三角形，/BAC=120求证：（1厂ADBs/CEA;（2）DE2=BDCE;ABAC=ADBC.如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长D=/ECA.求证：ADEC=ACEB.如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F,求证:FC2=FG

6、EF.6.如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，连接AE交CD于F,过F作FM/BE交DE于M.求证：FM=CF.7 .如图，ABC中，AB=AC,点D为BC边中点，CE/AB,BE分别交AD、AC于点F、G,连接FC.求证：(1)BF=CF.(2)BF2=FGFE.8 .如图，/ABC=90°,AD=DB,DE±AB,求证：DC2=DEDF.9 .如图，四边形ABCD中，AB/CD,AB±BC,AC±BD。AD=BD,过E作EF/AB交AD于F.是说明：(1)AF=BE;(2)AF2=AEEC.10 .AABC中，/BAC=900,AD_LBC,

7、E为AC中点。求证：AB:AC=DF:AFo11 .已知，CE是RTAABC斜边AB上的高，在EC延长线上任取一点P连接AP作BGAP,垂足为G,交CE于点D.试证：CE2=EDEP六、证比例式和等积式的方法：可用口诀：遇等积，改等比，平横看竖看找关系；三点定形用相似，三点共线取平截；两端行线，转比例，等线等比来代替；各自找联系，可用射影和园幕.例1如图5在AABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DF，AB于一交4£的延长线于H,交BE于G求证：(1)FG/FA=FB/FH(2)FD是FG与FH的比例中项.例2如图6,CABCD中，E是BC上的一点，AE交BD于点F,己知BE

8、：EC=3：1,Safbe=18，求：(1)BF：FD(2)Safda如图7在AABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N.求：AN：AB的值；如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE，AC交ACFF,aFFG/AB交AE于G.求证：AG2=AFXFC如图在ABC中，D是BC边的中点，且AD=AC,DEBC,交AB于点E,EC交AD于点F.(1)求证：aABCs/FCD;(2)Safcd=5,BC=10,求DE的长.如图10过MBC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E.过点D作DM/FC交AB于点M.若S'aef：S四边形mdef=2：3

9、,求AE：ED；求证：AEXFB二2AFXED例7己知如图11在正方形ABCD的边长为1,P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时，AADP与4QCP相似？例8己知如图12在梯形ABCD中，AD/BC,/A=90°,AB=7,AD=2,BC=3.试在边AB±确定点P的位置，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似.例9.如图，已知ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，CF/BA,BF交AD于P点，交AC于E点。求证：BP=PEPFo例10.如图，己知：在ABC中，/BAC=900,ADBC,E是AC的中点，ED交AB的延长线于FoAS_D

10、F求证：。八、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：（一）、作平行线例L如图，ABC的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD=AE,DE延长线与BC延长线相交于F,求证：BFBDCFCE例2.如图, ABC 中，ABVAC,在 AB、AC 上分别截取 BD=CE , DE,BC的延长线相交于点F,证明:AB DF=ACEFc例3、如图4-5, B为AC的中点，E为BD的中点，贝U AF ：AE=例4、如图4-7,已知平行四边形ABCD中

11、，对角线AC、BD交于0点，E为AB延长线上一点，0E交BC 于 F,若 AB=a , BC=b , BE=c,求 BF 的长.ABC中，在AC上截取AD,在CB延长线上截取BE,使 AD=BE,求证：DF ?AC=BC ?FE如图4ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E,交AB F F,求证：AE： ED=2AF ：FBo、作延长线例7.如图，Rt ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点,AE的延长线交BC于F, FG AB于G,求证：FG2=CF?BF例8 .如图4-L已知平行四功ABCD中，E是AB的中点,AF -AD3连E、F交AC于G.求AG ： AC的值.(三

12、)、作中线例 10 : 已知：如图， ABC 中，AB = AC, BD _L AC 于 D .求证： B(?二 2CD AC .中考综合题型1.已知:如图，在ABC中， AB AC, A 36 ,BD是角平分线,试利用三角形相似的关系说明AD2 DC2.如图,矩形ABCD中，AD 3厘米，AB a厘米(a 3).动点M , N同时从B点出发，分别沿B A, BC运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN , CD于P, Q .当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒(1 )若a 4厘米，t 1秒，则PM厘米;(2)若a5厘米，求时间t,使/PNBPAD,并求出它

13、们的相似比;3.如图，己知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是lcm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t(s),解答下列问题：(1)当=2时，判断BPQ的形状，并说明理由；(2)设一BPQ的面积为S(end,求S与t的函数关系式；4.如图(10)所示：等边/ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线BiQ_LAC于Ci交AB的延长线于Bi.ACCDACiCiD请你探究：一一DB,必芮是否都成立？ACCD请你继续探究：若为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问

14、一一定成立吗?并证明你的判断.5.如图12,在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16,点D与点A关于y轴对称，AB:BC=4:3,点E、F分别是线段AD、AC上的动点(点E不与点A、D重合),且/CEF=/ACB.(1)求AC的长和点D的坐标；(2)说明AEF与-DCE相似；6 .如图，在RtaABC中，/B=90°,AB=1,BC=-,以点C为圆心，CB为半径的弧交2CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E.(1)求人£的长度;(2)分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F(F与C在AB两侧)，A连接AF、E

15、F,设EF交弧DE所在的圆于点G,连接AG,试猜想/EAG的大小，并说明理由.7 .如图，ABC与EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9,/BAC=/DEF=90°固定ABC,将aEFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、H点，如图(2).(1)问：始终与AGC相似的三角形有(2)设CG=X,BH=y,求y关于x的函数关系式(只要求根据2的情况说明理由)；9.(1)如图1,在ABC中，点D,E,Q分别在AB,AC,BC上，且DE/BC,AQ交DE于点P.求证

16、：DPPEBQQC(2)如图，在/ABC中，/BAO900正方形DEFG的四个顶点在/ABC的边上，连接AG,AF分别交DE于M,N两点.如图2,若AB=AC=1,直接写出MN的长;10.如图，在ABC中，D是BC边上一点，点.且满足AD=AB,/ADE=/C.(1)求证：/AED=/ADC,/DEC=/B；(2)求证：ab2=ae?ac.E是AC边上一12.如图，在-ABC中，/C=90°,AC=8,个动点(异于A、B两点)，过点P分别作为M、N.设AP-x.(IteAABC中,AB=当x=时，矩形PMCN的周长是14；BC=6.P是AB边上的一AC、BC边的垂线,垂足(第25题)

17、是否存在x的值，使得4PAM的面积、CBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？青说出你的判断,并加以说明.14.如图1,在RtAABC中，BAC90°AD_LBC于点D,弟边上一点人连接盥交AD于F,0E±B0交BC边于点E.(1)求证：/ABFsACOE；ACOF(3)也。头AC3力出占.-11而宿吉建后山_的估16如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C,/DME=/A=/B二a且DM交AC于F,ME交BC于G.(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对;(2)连结FG,如果a=45。，AB=4超AF=3,求FG的长.19.正方形ABCD边长为4,M、N分别是B

18、C、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，(1)证明：RtAABMsRtAMCN；(2)设BMX,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关系式；(3)当M点运动到什么位置时RtAABMsRtAAMN,求x的值.20.如图，ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G.求证：GECD1CEAD315.已知/ABC=90AB=2,BC=3,ADBC,P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足PCAB(如图8所示).(1)当八。=2,且点Q与点B重合时(如图9所示)，求线段PC的长；(2)在图8中，联结AP.当AD3,且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间

19、的距离为2APQQy,其中Saapq表示4APQ的面积，pbc表示/PBC的面积，求y关于X的函数解析式，并写出日变量的取值范围;17.如图L在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A的坐标为(8,0),直线BC经过点B(8,6),C(0,6),将四边形OABC绕点0按顺时针方向旋转度得到四边形0ABC，此时直线0A、直线BC分别与直线BC相交于点P、Q.(1)四边形OABC的形状是当90°时，竺的值是RO(2)如图2,当四边形0ABC的顶点B落在y轴正半轴时，求竺的值；BQ如图3,当四边形OABC的顶点B落在直线严上时，求/kOPB的面积.18.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=

20、1,点P在线段AB上运动，设AP=X,现将纸片折叠，使点D与边的交点),点P重合，得折痕EF(点E、F为折痕与矩形再将纸片还原。(1)当X=0时，折痕EF的长为#.当点E与点A重合时，折痕EF的长为#(2)请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长;相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析、相似三角形(1)三角形相似的条件：:：二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形,从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1)先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为

21、这个条件最简单;2)再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例;3)若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例;a)已知一对等找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似j,找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似己知两边对应成比r找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似C）己知一个直找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理2d）有等腰关v找顶角对应相等找底角对应相等判定定理1判定定理1找底和腰对应成比例判定定理3e）相似形的传递性若is/2,sZ3.

22、,WJAi-s四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”：若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”°有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题例1、己知：如图,AABC中，CE，AB,BF，AC.求证:让AC复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。AFBA（判断“横定”

23、还是“竖定”？）例2、如图，CD是RtaABC的斜边AB上的高，/BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F,ACAE=AFAB吗？说明理由。分析方法：1）先将积式（“横定”还是“竖定”？）例3、己知：如图，ABC中，/ACB=900,AB的垂直平分线交AB于D,交BC延长线于F。求证：CD"=DEDFo分析方法：1）先将积式过渡”其主要类型有三种，下面（“横定”还是“竖定”？）五、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用分情况说明.3、等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线

24、上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。例1:如图3,ZABC中，AD平分/BAC,AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E.求证：DE2二BECE.分析：4、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结

25、论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。例2:如图4,在/ABC中，/BAO90°,AD±BC,E是AC的中点,AB的延长线于点F.求证：ACDFAF3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。例3:如图5,在AABC中，/ACB=90°CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE，AG,垂足为E,交CD于点F.

26、求证：CD2=DFDG.小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；不相似，不用急：等线等比来代替。”同类练习：如图，点D、E分别在边AB、AC上，且/ADE=/C求证：（1LADEs/ACB;（2）ADAB=AEAC.（1题图）（2题图）如图，ABC中，点DE在边BC上，且aADE是等边三角形，/BAC=120求证：（1/ADBs/CEA;（2） DE2=BDCE;（3） ABAC=ADBC.3.如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点，/D=/ECA.求证：ADEOACEB.（此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决）4.如

27、图，AD为/ABC中/BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线。求证：FD2=FCFBo（此题四点共线，应积极寻找条件，等线替代，转化为证三角形相似。）5 .如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F,求证：FC2=FGEF.（此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。）6 .如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，连接AE交CD于F,过F作FM/BE交DE于M.求证：FM=CF.（注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式，也可应用于线段相等的证明。此题用等比替代可以解决。）7 .如图，ABC中，AB=AC,点D为BC边中点，CEAB,BE

28、分别交AD、AC于点F、G,连接FC.求证：（1）BF=CF.(2)BF2=FGFE.（练习题图）±AB,8 .如图，/ABC=90°,AD=DB,DE求证：DC2=DEDF.9 .如图，ABCD为直角梯形，AB/CD,AB±BC,AC±BDoAD=BD,过E作EF/AB交AD于F.是说明：（1）AF=BE;（2）AF2=AEEC.10 .AABC中，/BAO90°,AD，BC,E为AC中点。求证：AB:AC=DF:AFo11 .已知，CE是RT-ABC斜边AB上的高，在EC延长线上任取一点P连接AP,作BGAP,垂足为G,交CE于点D.试证：

29、CE2=EDEP（注：此题要用到等积替代，将CE2用射影定理替代，再化成比例式。六、证比例式和等积式的方法:交BE于G求证：(1)FG/FA=FB/FH(2)FD是FG与FH的比例中项.通常是借证三角形相似.找相似对线段比例式或等积式的证明:常用三点定形法”等线段替换法、中间比过渡法、面积法等若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时,应将线段比三角形来证转移”（必要时需添辅助线），使其分别构成两个相似明.可用口诀：遇等积，改等比,横看竖看找关系;三点定形用相似，三点共线取平截;平行线，转比例，等线等比来代替;两端各自找联系，可用射影和园幕.例1如图5在4ABC中,AD、BE分别是BC、AC边

30、上的高，DF，AB于F,交AG的延长线于H ,或横着找三点，或竖着找三点）,若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找等比代换例2如图6, MBCD中,E是BC上的一点，AE交BD于点F,已知BE： EC=3 ： 1 ,Safbe= 18，求： BF： FD(2) S AFDA1说明：证明线段成比例或等积式,三角形用三点定形法（在比例式中，平截比2说明：线段BF、FD三点共线应用平截比定理.由平行四边形得出两线段平行且相等，再由定理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等于相似比的平方，求出三角形的面积.例3如图7在aABC中，AD是

31、BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N.求：AN：AB的值；3说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡.当已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡.例4如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点，BEAC交AC于F,过F作FG/AB交AE于G.求证：AG-=AF化4说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用三点定形法确定要证明的两个三角形相似.、本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！例5如图在aABC中，D是BC边的中点，且AD=AC,DE_LBC,交AB于点E,EC交AD于点F.(1)求证：AB

32、Cs/FCD;(2)若Safcd=5,BC=10，求DE的长.5说明：要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似.再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长.例6如图10过MBC的顶点C任作一直线与边AB及中线AA分别交于点F和名.过点D作DM/FC交AB于点M.若Smef：S四边形mdef=2：3,求AE：ED；求证：AEXFB=2AFXED6说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到两线段的比.注意平截比定理的应用.己知如图11在正方形ABCD的边长为1,P是CD边的中点，Q在线段BC上

33、，当BQ为何值时，aADP与AOCP相似？7说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系.然后再确定顶点P所在的位置.本题是开放性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解.例8己知如图12在梯形ABCD中，AD/BC,/A=90°,AB=7,AD=2,BC=3.试在边AB上确定点P的位置，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似.8说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系然后再确定顶点P所在的位置.本题有多个位置，应注意计算，严防漏解.例H.如图，已知ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，CF/BA,BF交AD于P点，交AC于E点。求证：BP2=PE

34、PFo11分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC,D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC,由线段垂直平分线的性质知PB=PC,只需证明PECs/PCF,问题就能解决了。本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!例12.如图，己知：在ABC中，/BAC=900,AD±BC,E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。求证：肚曲。12分析：比例式左边AB,AC在AABC中，右边DF、AF在4ADF中，这两个三角形不相似，因此本题第一，从“已知”入手，通过推理论证, 的支撑，一直追溯回到“已知”；

35、,使之成为清晰的思维过程。需经过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。七、确定证明的切入点。儿何证明题的证明方法主要有三个方面。得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”第三，从“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”八、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：（一）、作平行线例1.如图，ABC的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD=AE,DE延长线与BC延长线相交于F,求证：CFH例2.

36、如图，ABC中，AB<AC,在AB、AC上分别截取BD=CE,DE,BC的延长线相交于点F,证明：ABDF=ACEFO如图4-5,B为AC的中点，E为BD的中点，贝UAF：AE=如图4-7,已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于0点，E为AB延长线上一点，0E交BC于F,若AB=a,BC=b,BE=c,求BF的长.ABC中，在AC上截取AD,在CB延长线上截取BE,使AD=BE,求证：DF?AC=BC?FE本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!例6 :如图AABC中，AD为中线,CF为任一直线，CF交AD卜E,交AB卜F,求证：AE：ED=2AF：（3）若在运动过程中，存在某时刻使

37、梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求t （用表示）FBo（二）、作延长线例7.如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点,AE的延长线交BC于EFGAB于2G,求证：FG=CF?BFAF例8.如图4-1,已知平行四边ABCD中，E是AB的中点,-AD3.淬E、F分AC干G.求AG：AC的值.（三）、作中线例10：已知：如图，ABC中，AB二AC,BD，AC于D.求证:BC2-2CDAC.中考综合题型1.已知：如图,ABC 中,AB AC, A 36 ,BD是角平分线，试利用三角形相似的关系说明2AD2DCAC.说明（1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角

38、形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边.（2）要说明线段的乘积式abcd,或平方式必be,一般都是证明比例式，-d,或-cba再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.2.如图，矩形ABCD中，AD3厘米，ABa厘米（a3）动点M,N同时从B点出发，分别沿BA,BC运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB,分别交AN,CD于P,Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动设运动时间为t秒（1）若a4厘米，t1秒，则PM(2)若a5厘米，求时间t,使PNBsAPAD,并求出它们的相似比;(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求t (用

39、表示)本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!3.如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是lcm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t(s),解答下列问题:(1)当1二2时，判断BPQ的形状，并说明理由;(2)设-BPQ的面积为S(cml求S与t的函数关系式;4.如图(10)所示：等边，ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1QLAC于Ci交AB的延长线于Bi.AC请你探究：一一AB请你继续探究：若并证明你的判断.CDACiCiDDB,必芮是否都成立？AC

40、CDABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一一定成立吗?5.如图12,在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形,AB=16,点D与点A关于y轴对称，AB:BC=4:3,点E、F分别是线段AD、AC上的动点(点E不与点A、D重合),且/CEF=/ACB.(1)求AC的长和点D的坐标；(2)说明/AEF与-DCE相似;6.如图，在RtABC中，/B=90°,AB=1,BC=-,以点C为圆心，CB为半径的弧交2点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E.CA于点D；以(1)求人£的长度；(2)分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F

41、(F与C在AB两侧)，连接AF、EF,设EF交弧DE所在的圆于点G,连接AG,试猜想/EAG的大小，并说明理由.7 .(2011广东汕头，21,9分)如图(1),ABC与EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9,/BAC=/DEF=90°固定/ABC,将aEFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、H点,如图(2).(1)问：始终与/AGC相似的三角形有(2)设CG二x,BH二y,求y关于x的函数关系式(只要求根据2的情况说明理由)；8 .如图8,ABC,是一张

42、锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC,AB上，AD与HG的交点为M.(1)求证：如ADBC(2)求这个矩形EFGH的周长.9 .(1)如图L在ABC中，点D,E,Q分别在AB,AC,BC±,且DE/BC,AQ交DE于点P.求DPPE证：BQQC(2)如图，在/ABC中，/BAC=900正方形DEFG的四个顶点在ZABC的边上，连接AG,AF分别交DE于M,N两点.如图2,若AB=AO1,直接写出MN的长;10 .如图，在ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点.且满足AD=AB,/ADE=/C.(1)求证：/AED=/ADC,/DEC=/B；(2)求证：AB2=AE7AC.11 .学习图形的相似后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。类似地，你可以等到：“满足，或，两个直角三角形相似”。（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。己知：如图，试说明RtAKBCSRt',C.