2013年考研数学真题解析数三

1、361友情提供，： 数学网络课堂系列数学2013 年入学统一数学三试题一、选择题:18 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指置上.1、当 x ® 0 时，用o(x) 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（A） x ×o(x2 ) = o(x3)（B） o(x) × o(x2 ) = o(x3)（C） o(x2 ) + o(x2 ) = o(x2 )（D） o(x) + o(x2 ) = o(x2 )x2、函数 f的可去间断点的个数为（ ）（A）0（B）1（C）2（D）3

2、3、设 D 是圆域 D = (x, y) x2 + y2 £ 1位于第k 象限的部分，记kIk = òò ( y - x)dxdy(k = 1, 2, 3, 4) ，则（ ）Dk（A） I1 > 0（B） I2 > 0（C） I3 > 0（D） I4 > 04、设an为正项数列，下列选项正确的是（）¥ån=1（A）若a > an-1(-1)a，则收敛nn+1n¥（B）若å(-1)n-1 a 收敛，则a > ann+1nn=1¥å n（C）若a 收敛，则存在常数 p &g

3、t; 1，使lim na 存在nn®¥n=1¥å n（D）若存在常数 p > 1，使lim na 存在，则a 收敛nn®¥n=15、设A、B、C 均为n 阶矩阵，若 AB=C，且 B 可逆，则（ ）（A）矩阵C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价1361友情提供，： 数学网络课堂系列数学（B）矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价æ 1a1 öæ 200 ö6、矩阵ç ab

4、a ÷ 与ç 0b0 ÷ 相似的充分必要条件是（ ）ç÷ç÷ç 11 ÷ç 00 ÷a0èøèø（A） a = 0, b = 2（B） a = 0, b 为任意常数（C） a = 2, b = 0（D） a = 2, b 为任意常数是随量，且 x N (0,1) ， x N(0, 22 ) ， x N(5,32 )，7、设3123Pj = P-2 £ xj £ 2( j = 1, 2,3) ，则（）（A） P1 > P2

5、 > P3（C） P3 > P1 > P2（B） P2 > P1 > P3（D） P1 > P3 > P28、设随量 X 和Y 相互，则 X 和Y 的概率分布分别为则 PX + Y = 2 = （）112181612（A）（B）（C）（D）二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将写在答题纸指置上.n9、设曲线 y = f (x) 与 y = x2 - x 在点(1, 0) 处有公共切线，则lim nf () =.n + 2n®¥2Y-101P1/31/31/3X012P1/21/41/8361友情提供，： 数学网

6、络课堂系列数学10、设函数 z = z(x, y) 由方程(z + y)x = xy 确定，则 ¶z=.¶x (1,2)+¥ ln x 11、dx =.ò(1+ x)2112、微分方程 y ¢ - y¢ + 1 y = 0 的通解为 y =.413、设 A = (aij ) 是 3 阶非零矩阵，A 为 A 的行列式， Aij 为aij 的代数式，若aij + Aij= 0(i, j = 1, 2, 3) ，则A =.量 X 服从标准正态分布 N (0,1) ，则 E(Xe2X ) =.14、设随三、解答题：1523 小题,共 94 分

7、.请将解答写在答题纸指证明过程或演算步骤.置上.解答应写出文字说明、15、（本题满分 10 分）当 x ® 0 时，1- cos与axn 为等价无穷小，求n 和a 的值.16、（本题满分 10 分）1设 D 是由曲线 y = x3 ，直线 x = a (a > 0) 及 x 轴所围成的平面图形，Vx ，Vy 分别是 D 绕 x轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy = 10Vx ，求a 的值.17、（本题满分 10 分）设平面区域D 由直线 x = 3y ， y = 3x ， x + y = 8 围成，求 òò x2dxdyD18、（本题满分 10 分）

8、Q设生产某的固定成本为 6000 元，可变成本为 20 元/件，价格函数为 P = 60 -（ P1000是单价，：元； Q 是销量，：件），已知产销平衡，求：（）该商品的边际利润；（）当 P = 50 时的边际利润，并解释其（）使得利润最大的定价 P . 19、（本题满分 10 分）意义；设函数 f (x) 在0, +¥) 上可导， f (0) = 0 且 lim f (x) = 2 .证明：x®+¥3361友情提供，： 数学网络课堂系列数学（）存在a > 0 ，使得 f (a) = 1 ；（）对（）中的a ，存在x Î (0, a) ，使得 f

9、 ¢(x ) = 1 .a（20）（本题满分 11 分）设 A = æ1a öæ 0， B =1 ö，当a, b 为何值时，存在矩阵C 使得 AC - CA = B ，并求所ç10 ÷ç 1b ÷èøèø有矩阵 C.（21）（本题满分 11 分）æ a1 ö，记a = ç a÷ ，) = 2(a x + a x +设二次型 f (ç2 ÷31 12 2ç a ÷è 3 

10、8;æ b1 öb = ç b÷ç2 ÷ç b ÷è 3 ø（）证明二次型 f 对应的矩阵为2aaT + bb T ；（）若a , b 正交且均为向量，证明 f 在正交变换下的标准形为2 y2 + y212（22）（本题满分 11 分）ì3x2 ,0 < x < 1,其他设( X ,Y ) 是二维随量，X 的边缘概率密度为 f X (x) = íî，在给定 X = x0,ì3y20 < y < x,其他x) = ï,(0 < x < 1) 的条件下， Y 的条件概率密度为 f( yíïîx30,Y X （）求( X ,Y ) 的概率密度 f (x, y) ；（）求Y 的边缘概率密度 fY ( y) ；（）求 P( X > 2Y ) .（23）（本题满分