四川省眉山市2013届高三数学第一次诊断性考试试题文(含解析)新人教A版

1、12013年四川省眉山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个备选项中只 有一项是符合题目要求的.21. （ 5 分）（2013?眉山一模）若集合 A=x|x 0, B=x|xV4，贝 U AAB=（）A.x|-2Vxv0B. x|0Vxv2C. x|-2VxV2D. x|x-2考点：交集及其运算.专题：计算题.分析：求出集合 B 中一元二次不等式的解集，确定出集合B,找出两集合解集的公共部分，即可确定出两集合的交集.解答：解：由集合 B 中的不等式 xV4，变形得：（x+2） （x-2）V0,解得：-2vxv2

2、,集合 B=x| - 2vxv2，又 A=x|x 0,贝UAAB=x|0vxv2.故选 B点评：此题属于以一元二次不等式的解法为平台，考查了交集及其运算，是高考中常考的基本题型.2. （ 5 分）（2013?眉山一模）设 i 是虚数单位，则复数（1-i ）-:等于（）*1A. 0B. 1+iC. 4iD. - 4i考点：复数代数形式的乘除运算.专题：计算题.分析：直接把给出的复数的分式部分分子分母同时乘以（- i ）,整理后利用复数的加减运算 化简.解答：解：(1-i)- $= (1-i)i故选 B.点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共 轭复数，是基

3、础题.3. （ 5 分）（2007?陕西）某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、10 种、30 种、20 种，现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）A. 4B. 5C. 6D. 7考点： 分层抽样方法.分析: 先计算分层抽样的抽样比， 再求植物油类与果蔬类食品所需抽取的个数.：-=(1- i ) +2i=1+i2解答：解：共有食品 100 种，抽取容量为 20 的样本，各抽取 故抽取植物油类与果蔬类食5品种数之和为 2+4=6.故选 C.点评：本题考查基本的分层抽样，属

4、基本题.4. ( 5 分)( )（2013?眉山一模）若Sn是等差数列an的前 n 项和，且 S8- S3=20，贝yS1 的值为A. 44B. 22C.Ju3D. 88考点：等差数列的性质；等差数列的前n 项和.专题： 等差数列与等比数列.分析： 由于 S8S3=a4+as+a6+a7+a8，结合等差数列的性质 a4+a8=as+a7=2a6可求 a6，由等差数列11 （自| + j 1 ）的求和公式 S11=2=11a6,运算求得结果.解答：丿解: -S8S3=a4+a5+a6+a7+a8=20，由等差数列的性质可得，5a6=20,.a6=4.、11 （ ai +a 1 |）由等差数列的求

5、和公式可得S11-=11a6=44,2故选 A.点评： :本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质的简单应用，属于基础试题.5. （ 5 分）（2013?眉山一模）下列四种说法中，错误的个数是（）1集合 A=0, 1的子集有 3 个；2命题“若 x2=1,贝Ux=1 ”的否命题为：“若 x2=1，则XM1”.3命题“？x R,均有 x2-3X- 20”的否定是：“？x R,使得X2-3X- 20”的否定是： “？XR,使得X2-3X-2V0 :pVq为真命题，则 p、q 中只要有一个命题为真命题即可， pAq 为真命 题，则需两个命题都为真命题，由此能作出正确判断.解答：丿解:集合 A

6、=0, 1的子集有 4 个，故不正确；2命题“若X2=1，则X=1”的否命题为：“若X2M1,则XM1”，故不正确；3命题“？x R,均有X2-3X-20” 的否定是：“？x R,使得X2-3X- 2l可知：该程序的作用是计算分段函数已 , 的函数值.l- lf2 1 时，若y气，则 x=V2当 xwi时，若 y，则 x-仁丄,x 二不合.2 2 2故选 D.点评：本题主要考查了选择结构、流程图等基础知识，算法是新课程中的新增加的内容，也 必然是新1B.C工D.|冋2A.J= X-ly= iog3x否输入X疋的函数值，令-，利用此分段函数的解析式求出相应的 X 的即可.4高考中的一个热点，应高

7、度重视.57.( 5 分)(2013?眉山一模)把函数 f (x) =sin ( 2x+)的图象向右平移 个单位，得44到的函数的解析式为()考点：函数 y=Asin(3x+ )的图象变换.专题：三角函数的图像与性质.分析：根据函数 y=Asin(3x+?)的图象变换规律，得出结论.解答：解：把函数 f(x) =sin (2x+匹)的图象向右平移匹个单位，44得到的函数的解析式为y=sin2(x- ) +匹=sin (2x ) = - cos ( 2x+匹),4444故选 D.点评：本题主要考查函数 y=Asin(3x+?)的图象变换规律，属于基础题.&(5 分)(2013?眉山一模)

8、函数 1 . :-一的大致图象为()考点：函数的图象.专题：函数的性质及应用.分析：根据函数是偶函数，所以排除 A B.再由 x 1 时，f(x) 0，故排除 C,从而得出 结论.解答：解：Tf (- x) =f (x)，故函数是偶函数，所以排除 A, B.当 x 1 时，f(x) 0，故排除 C,综合以上可得应选 D,故选 D.点评：本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来， 并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键，属于基础题.9. ( 5 分)(2013?眉山一模)关于两条不同的直线m n 与两个不同的平面a、B，下列命题正确的是()A. 1m/a, n /B且a/B，贝

9、Um/nB.mL a, n 丄B且a丄B，贝Umnsin2xB.1cos2xC.cos (2x+)4D.A.-cos (2x+一 )46C. 1ml a ,n/ B且a / B,贝U mlnD.a, nl B且a丄B，贝Umn考点：空间中直线与直线之间的位置关系. 专题：计算题.分析：根据空间中面面平行及线面平行的性质，我们易判断 A 的对错，根据线线垂直的判定方法，我们易判断出 B 的真假；根据空间中直线与直线垂直的判断方法，我们可得到 C 的正误；根据线面平行及线面平行的性质，我们易得到 D 的对错，进而得到结论.解答：解：若m/a,n/B且a II 3，则 m 与 n 可能平行与可能异面

10、，故 A 错误；若ml a, n 丄3且a丄3，贝U mln,故 B 错误；当 nI 3且a I3时，存在直线 I?a,使 IIn,又由ml a,故mll，贝U mln, 故 C 正确；若 n 丄3且a丄3，则 n/a或 n?a,若m/ a，贝 U m 与 n 可能平行，也可能垂直， 也可能相交，故 D 错误；故选 C点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，熟练掌握空间中线与面之间位置关系的定义及判定方法是解答本题的关键.10. (5 分)(2013?眉山一模)若函数 y=f ( x) (x R 满足 f (x+1) =- f (x),且 x - 1,1时 f (x) =1 -

11、 x2，函数 g (x)1 r 才、，则函数 h (x) =f (x)- g (x)在区-(x0)2 的函数，进而根据 x - 1 , 1时，f (x) =1 - x2，函数 g (x) =i的-(K0)再作出函数 g (x) =i、的图象，可得函数 h (x) =f (x) - g (x)在区1 *可-5, 4内的零点的个数为 7 个.故选 A.75 -4 *3 *2 *1 f-1T-1/1 2 3 4 5-2-3_ *5点评：本题的考点是函数零点与方程根的关系，主要考查函数零点的定义，关键是正确作出函数图象，注意掌握周期函数的常见结论：若f (x+a) =-f (x),则周期为 2a.二填

12、空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 16 分，把答案填写在答题卡的相应位置 .11.(5 分)(2013?眉山一模)已知平面向量 a= (3, 1), b= (x, - 3), aO，贝 U x 等于-9.考点： 平行向量与共线向量；向量的减法及其几何意义.专题： 平面向量及应用.分析：1由向量平行的充要条件可得：3X(- 3)- x=0,解之即可.解答：解：Ta=(3,1),b =(x, -3),扫/b, 3X(- 3)- x=0,解得 x= - 9 故答案为：-9点评：本题考查向量平行的充要条件，属基础题.l+y312.(5 分)(2013?眉山一模)设 x, y 满足约束条件

13、K 1，则目标函数 z=3x - 2yx - yC3X.的最大值为9考点：简单线性规划.专题： ;不等式的解法及应用.分析：画出满足约束条件国后可得最优解.x+y3x-y-1 的可行域，并求出各角点坐标，代入目标函数，比较x - y3解答:解：满足约束条件小_4一 1 ,的可行域如下图所示:8x-応3X.T目标函数 z=3x - 2y故ZA=9,ZB=-1,故 z=3x - 2y 的最大值是 9故答案为：9点评：本题考查的知识点是简单线性规划，线性规划是高考必考内容，“角点法”是解答此类问题最常用最快捷的方法.13.（5 分）（2013?眉山一模）在面积为 S 的矩形 ABCD 内随机取一点

14、卩，则厶 PBC 的面积小 于的概率是 .4_2:几何概型.:计算题.:根据PBC 的面积小于$时，可得点P所在区域的面积为矩形面积的一半，从而可求相应概率.解答：解：设 P 到 BC 的距离为 h矩形 ABCD 勺面积为 S, PBC 的面积小于 2S 时，hw2BC42点 P 所在区域的面积为矩形面积的一半， PBC 的面积小于 2s 的概率是丄42故答案为：丄2点评：本题考查几何概型， 解题的关键是根据 PBC 的面积小于 S 时，确定点 P 所在区域的4面积为矩形面积的一半914.( 5 分)(2013?眉山一模)一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为考点： 1由三视图求面积、体积

15、.专题：函数的性质及应用.分析： 11 1由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，底面是边长为2的正方形，棱柱的高也为 2，由此代入棱锥的体积公式，可得答案.解答：丿解 :由已知中的三视图可得该几何体是一个又正视图为底面的四棱锥 由于底面为边长为 2 的正方形，故 S=2X2=4而棱锥的高 h=2故 V=XSXh=X4X2=丄333故答案为：3点评： :7本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状及陵长是解答的关键.15. (5 分)(2013?眉山一模) 定义在区间a , b上的连续函数 y=f (x),如果？E a , b, 使得 f (b

16、)- f (a) =f ( ) (b- a),则称E为区间a , b上的中值点”.下列函数：f(x)=3x+2;f(x)=x2-x+1;f(x)=ln(x+1); f (J二 & 丄)32在区间0 , 1上“中值点”多于一个的函数序号为.(写出所有满足条件的函数的序号) 考点：导数的概念.专题：新定义；导数的概念及应用.分析：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间0 , 1上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间0 , 1的两个端点连线的斜率值. 分别画出四个函数的图象， 如图.由 此定义再结合函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案.解答：解：根据题意，“中值点”

17、的几何意义是在区间0 , 1上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间0 , 1的两个端点连线的斜率值如图.对于，根据题意，在区间0 , 1上的任何一点都是“中值点”，故正确；对于，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间0 , 1只存在一个“中值点”，故不正确；对于，f (X)=ln (x+1)在区间0,1只存在一个“中值点”，故不正确；10对于，根据对称性，函数- : - I 在区间0，1存在两个“中值点”，2故正确.故答案为：.三、解答题：本大题共6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.(12 分)(2013?眉山一模)在锐角 ABC 中，三个内角AB, C

18、所对的边依次为 a, b,c,设：i = (sin ( A), 1), i= (2sin ( +1), 1) , a=2；，且：i ? i=442(1 )若 b=2 二求 ABC 的面积；(2 )求 b+c 的最大值.考点：余弦定理；函数的值域；平面向量数量积的运算.专题：计算题；转化思想；解三角形.分析：(1)通过向量的数量积二倍角的余弦函数，求出 A 的二倍角的余弦值，然后求出 A.通过正弦定理求出 R,然后求出三角形的面积.(2)解法 1:由余弦定理 a2=b2+c2- 2bccosA，结合不等式求出 b+c 的最大值为4、国. 解法 2:由正弦定理得：，利用两角和与差的三角函数，根据角

19、的范围，sinB sinC求出 b+c 的最大值.解答：解：(1)2? i=2sin ( - A) sin ( +A)- 144=2sin（- A） cos （一 - A） - 11144=sin （-2A）-仁 cos2A -仁-_2 2 cos2A=丄，（3 分）2/ 0VAV,：0V2Av n ,2A=,A=丨 （ 4 分）233设厶 ABC 的外接圆半径为 R,由 a=2RsinA 得 2 二=2RX-, R=22由 b=2RsinB 得 sinB=二，又 bvaB=ll，（5 分）24/ sinC=sin（A+B） =sinAcosB+cosAsinB= ?+ 二？_i=，（6 分）

20、22 2 24ABC 的面积为 sJabsinC= ?2 7?2 -二=3+.（7 分）2242 2 2 2 2（2）解法 1：由 a =b+c - 2bccosA，得 b+c - bc=12，（9 分）（ b+c）1 2 3=3bc+120, Xi+X2 0, X2+X3 0, X3+X1 0, |xi| L (i=1 , 2, 3).求证：f (Xi) +f (X2) Va+f ( X3) 2T:利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质. :函数的性质及应用.:(1)整理得：f (X) =ax+，再对字母 a 进行分类讨论：当 aW0时，当 a 0 时，分别得出 f (X)的单调区间即可

21、；(2)由条件知：X1, X2, X3中至多一个负数.再分类讨论：(i)若 X1, X2, X3都为正数；(ii)若 X1,X2,X3中有一负数，最后综合得到f( X1) +f (X2) +f (X3) 2-1.:解：整理得：f (x) =ax+(1)当 a0 时，f(x)的减区间为(-#=, 0 )和(0，冷=),增区间为(-g,-冷=)V V V ( 6 分)(i)若 X1,X2,X3都为正数，由(1)可知|Xi|时，f (|Xi|)f(i=1 , 2, 3)_ f ( X1) +f (X2) +f (X3) 6i2 !( 9 分)(ii)若 X1, X2, X3中有一负数，不妨设X30 且 |x31 -f=,V 本题考查了函数的奇偶性，以及利用函数单调性进行求解最值，考查了学生的计算能 力，属于中档题.和(,5 分)yta(2)由条件知：X1, X2, X3中至多一个负数.)=2Vaf(X2)f(-X3):=-f(X3) (f(X f ( X2)+f(X3)0 f ( X1)+f(X2)+f(X3) f(X1)f综上，f(X1)+ f(X2)+f(X3) 21.)为奇函数)( 12分) *X 2X3=2 ：( 11分)1621.(15 分)(2013?眉山一模)已知函数 f (x) =lnx - kx+1 .(1)求函数