高等数学题集第九章

1、三、典型例题解析例1 计算Ixds ，其中 L 是圆 x2y2a2 中 A(0, a) 到 B (a,a) 之间的一段劣弧L22（a 0) 解法 1将积分弧段分为AC 和 CB 两段弧来计算（如图9yA1 所示）：CxdsxdsxdsoxABACCBB而aaxdx2，xdsa2aAC0x2xdsaxdxa2图 91aCBaa2x222故Ixds (11)a 2 L2解法 2LAB 的参数方程为： x a cos, y a sin(42) ，于是I2a cos( a sin)2(a cos )2 da22d(11 ) a2 cos442错误解答设 C(a,0)，因为 AC : ya2x2， CB

2、 : ya2x2 ，则沿此两段弧均有dsadxxdsaaxdx(11 ) a2 x2，故有2x2a2AB0a22错解分析错误原因在于选x 作为参数时，y 表示为x 的单值函数时有两个表达式，故必须分为两段计算注在求对弧长的曲线积分时，若已知积分曲线的参数方程为L ： x(t)， y(t)且 t和 t分别对应点A 与点B 处的参数值， 在将曲线积分转化为定积分时，除了要求积分的下限小于上限，还要注意：当 t 从 连续变化到 时，相应的点 ( (t ), (t) 曲线上同时，若将非参数的积分曲线转化为参数形式时，参数方程不同，积分限也不同，计算的难易程度也不同，所以，一般要选取计算较为简单的参数方

3、程形式应在积分例 2计算(x y 1)ds ，其中 L 是顶点为 O(0,0), A(1,0) 及 B(0,1) 所成三角形的边界L解L 是分段光滑的闭曲线，如图9 2 所示，根据积分的可加y性，则有B(0,1)( xy1)dsoA(1,0) xL(xy1)ds(xy1)ds(x y 1)ds ，OAABBO由于OA: y 0 ，0x，于是图 921ds( dx) 2( dy ) 2 dx1202 dxdx ，dxdx故( xy101)dx3 ，1)ds(xOA02而 AB : y 1 x , 0 x 1，于是ds( dx)2( dy ) 2 dx12( 1)2 dx2dx dxdx故12 ，

4、( x y 1)ds x (1 x) 1 2 dxAB0同理可知 BO : x0 （ 0xd2(dy222，则y 1）， sd( )yd0 1yd ydyddy11 BO ( x y 1)ds 0 0 y 1dy2综上所述321L(x y 1)ds2222注 当 L 是分段光滑的闭曲线时，应该分成光滑曲线逐段计算例 3计算222y2ax ， a 0 xy ds ，其中 L 为圆周 xL分析积分曲线 L 关于 x 轴对称（如图9 3 所示），被积函数为关于y 的偶函数，由对称性得x2y2 ds 2x2y2 ds ,LL1其中 L1 : x2y2ax( y 0) 解法 1直接化为定积分L1 的参数

5、方程为yL1xaa, ya（ 0） ,a2cossinox22且Lds22a d图 93 x ( ) y ( ) d2于是x2y2dsaxds2a cosa d2a2 LL022解法 2L1 的极坐标方程为r ( )a cos (02) ，则yr ( )sin，xr ( )cos，22r ( ) acosdsr 2( dr )2 dad，xy，dx2y2 ds 2 2 a 2 cos d2a2 L0注 1在解法 1 中，参数 表示圆心角， 而在解法 2 中，参数 表示极坐标系下的极角，参数的意义不同，一般取值范围也不相同注 2若曲线在极坐标系下的方程为r r ( ) ，则 dsr 2r ( )

6、2 d ，可直接用此式注 3 当积分曲线 L 关于某个坐标轴对称时，可以考虑采用对称性来计算第一类曲线分一般地，有以下的结论 :（ 1）若曲线 L 关于 x 轴对称，记L1 是 L 的 y0 的部分，f (x, y) 在 L 上连续，则a f ( x, y)ds2 f (x, y)ds（若 f ( x, y) 是关于 y 的偶函数）LL1bf ( x, y)ds0 （若 f ( x, y) 是关于 y 的奇函数） L（ 2）若曲线 L 关于 y 轴对称， 记 L1 是 L 的 x0 的部分， f ( x, y) 在 L 上连续， 则a f ( x, y)ds2 f ( x, y)ds（若 f

7、( x, y) 是关于 x 的偶函数） LL1bf ( x, y)ds0 （若 f ( x, y) 是关于 x 的奇函数）L例4计 算x2 yzds 其 中为 折 线 段 ABCD ， 这 里zB(0,0,2)D (1,2,3)A(0,0,0)， B(0,0,2),C(1,0,2), D(1,2,3) AB, BC, CDC(1,0,2)分析求本题曲线积分的关键是求三条线段的参数方程在空间中过点(x1 , y1, z1 ) ， ( x2 , y2 , z2 ) 的直线的对A(0,0,0)yx称式方程为图 94xx1yy1zz1，x2x1 y2y1z2z1令该比例式等于 t ，可得直线的参数方程

8、解如图 9 4 所示，222yzdsx2x yzdsABx yzdsBCxyzdsCD线段 AB 的参数方程为x0, y0, z2t(0t1)，则dsdx 2dy 2(dz 2()()dtdtdt020222 dt2dt ，故x2 yzds10 0 2t 2dt 0 AB0线段 BC 的参数方程为 x t, y0, z 2(0 t 1) ，则ds120202 dtdt ,故x2 yzds1t 2 0 2 dt 0 ，BC0线段 CD 的参数方程为x1, y2t , z2t (0t1) ，则ds022212 dt5dt ，故2121t2)dt8x yzds01 2t (2 t)5dt 2 5 (

9、2t5，CD03所以22228x y z d sA Bx y z d sx y z d sxy5 z d sB CC D3例 5计算x2 ds ， 为球面 x2 y2 z2 a 2 (a 0) 与平面 x y z 0 的交线分析此题为对空间曲线弧的曲线积分，一般地，若的参数方程为x(t) ，y(t ) ，z(t ) （t）且在t上具有连续导数，则有f ( x, y, z)dsf (t ),(t ),(t)(t ) 2(t) 2(t) 2 dt 解法 1先将曲线用参数方程表示，由于是球面z2222x y z 0 的交线，如图 9 5xyza 与经过球心的平面所示，因此是空间一个半径为a 的圆周，

10、 它在 xOy 平面上的投影为oyx椭 圆 ， 其 方 程 可 以 从 两 个 曲 面 方 程 中 消 去 z 而 得 到 ， 即 以2z (x y) 代入 x2y2z2a2 有 x2xy y2a，将其化为参图 952数方程，令3a2xa，即有xcost ，即 xa cost ，2ysin t2232ya sin ta cost ，代入 x2y2z2a 2（或 x yz 0 中）26得asinacos的参数方程为ztt ，从而26x2aaaa3a cos t ， ysin tcost ， zsin tcos t (0 t 2 ) 2626则dsx (t)2 y (t) 2 z (t) 2 dt

11、a2sin 2 t( cos tsin t )2(sin tcos t )2 dt adt ,32662所以22222232223x ds03acos tadta0cos tdta33解法 2利用对称性由于积分曲线方程中的变量x, y, z 具有轮换对称性，即三个变量轮换位置，方程不变，故有222x dsy dsz ds ，因此x21(x2y221a2a223dsz )ds3ds2 aa333注这里通过巧妙地利用轮换对称性，使计算大大简化，一般来讲，对于曲线的方程，若其坐标的位置完全平等（即将x, y, z 轮换位置，曲线方程的形式不变），则可以考虑轮换对称性另外， 对曲线积分，若被积函数出现

12、积分曲线方程的形式，则将积分曲线方程代入被积函数中通常可以将积分化简例 6设一段曲线yln x (0x1xx2 ) 上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量分析首先求出线密度(x, y)，然后再利用公式M( x, y) ds即可L解依题意曲线的线密度为x2 ，故所求质量为ML x2ds ，其中L : y ln x(0x1xx2 ) 则 L 的参数方程为xx(0 x1xx2 ) ，yln x故ds1dy2112 dx1 1x dx ，dx2dxxx所以Mx21x2 dx1(1x2 )2 xx21(1x22 ) 2(1x12 )2 x2x33333x11例 7求八分之一球面x2y2z

13、2R2 ( x0, y0, z0)的边界曲线的重心， 设曲线的密度1 解设曲线在 xOy, yOz, zOx 坐标平面内的弧段分别为L1 、 L2 、 L 3 ，曲线的重心坐标为x, y, z，则曲线的质量为Mds3 ds32R3R 由对称性可得重心坐标L1 L2L3L1421xds1xdsxdsxdsx y zM LLLML1L2L32131xds 0xds2xdsML1L3ML12MRRxdx2 R24R 0R2x2M3故所求重心坐标为4R,4R,4R333例 8( x2y 2 )dx(x 2y2 )dy ，其中 L 是曲线y计算L1LL2y 1 1x 从对应于 x0 时的点到 x2 时的

14、点的一段弧o12x分析由于曲线 L 是分段光滑的， 所以先分别计算在每段图9 6光滑曲线的对坐标的曲线积分如图 9 6，将积分分成两部分：(x 2y 2 )dx ( x 2y 2 )dy( x 2y 2 ) dx ( x 2y2 )dy( x 2y 2 )dx (x 2y 2 )dy LL1L2解法 1L1 的方程为 yx (0 x1) ，则有(x2y2 )dx (x 212 x2 dx2 y2 )dyL103L2 的方程为 y2 x (1 x2) ，则( x2y 2 )dx(x 2y2 )dyL 222(2 x)2 dx22(2 x)2 ( 1)dx x x1122dx22(2 x)13所以

15、(x 2y 2 ) dx (x 2y2 )dy4L3解法2以 y 为自变量，L1 的方程为 xy (0y1) ，则( x2y2 )dx ( x2y2 )dy( 2 y2 )dy2 y2 dy2 01L1103L2 的方程为x2y, 起始点对应的自变量值为1，终点对应的自变量值为0由于dxdy,x 2 dxx 2 dy0 ，L故有( x2y 2 )dx ( x2y 2 ) dy02 dy2 ，所以2yL213( x 2y 2 ) dx ( x2y 2 )dy4 L3注将对坐标的曲线积分直接化为对参数变量的定积分时应当注意：（ 1）当被积函数P, Q 的形式较为简单，将积分曲线L 的方程代入积分式

16、计算定积分比较容易时，可直接计算（ 2）参变量的选取视积分曲线具体形式而定， 积分下限与上限分别为积分路径的起点与终点所对应的参数值，这与对弧长的曲线积分不同；当积分曲线分段光滑时，应分段积分，并注意各自选择适宜的参数变量作为积分变量例9 计算ydx xdy,如图 97 所示， L 是从点 A( a,0)yL沿上半圆周 x2y2a2 到点 B( a,0) 的一段弧oA( a ,0)B(a,0)x分析 关于对坐标的曲线积分的计算，与对弧长的曲线积分相似， 也分三种，不同之处在于: 对坐标的曲线积分中的曲线为图 97有向的，因此化为定积分时，积分上、下限只与曲线的起点和终点有关，而与其大小无关解法

17、 1利用直角坐标计算记L1 为 x2y2a 2 上从点 C (0, a) 到点 B( a,0) 的一段劣弧则ydxa2x2 dxa2（定积分的几何意义） aLa2而0222 ，L xdy 2 L xdy 2 a aydya12所以L ydxxdy0 解法2利用曲线的参数方程计算L 的参数方程为: xa cos, yasin，在起点A( a,0) 处参数值取，在终点B(a,0) 处参数值相应取0，故从到 0则ydxxdy0a cos d (a sin) = a20a sin d (a cos )cos2 d0 L解法 3设 Py,Qx ，故 PQ1 ，由曲线积分与积分路径无关得yxL ydx x

18、dyAB ydxxdy 0 ，其中 AB : y0 解法 4利用格林公式设 Py,Qx ，则有PQ1，由于积分路径不封闭，需yx要作辅助线 BA: y0 ，记 BA 与 L 所围成的闭区域为D ，得ydxxdyydx xdyydxxdyLL BABA0dydxxdy0 DAB注 1 当积分曲线 L 关于某个坐标轴对称时，可以考虑采用对称性来计算第二类曲线分一般地，有以下的结论 :若曲线 L 关于 x 轴对称，记 L1 是 L 的 y0 的部分，f ( x, y) 在 L 上连续，则a f ( x, y)dx2 f (x, y)dx（若 f ( x, y) 是关于 y 的奇函数）LL1bf (

19、x, y)dx0 （若 f ( x, y) 是关于 y 的偶函数） L若曲线 L 关于 y 轴对称，记 L1 是 L 的 x0 的部分， f ( x, y) 在 L 上连续，则a f ( x, y) dy2 f ( x, y)dy（若 f ( x, y) 是关于 x 的奇函数）LL1bf ( x, y)dy0 （若 f ( x, y) 是关于 x 的偶函数）L注 2利用格林公式计算对坐标的曲线积分Pdx Qdy 时，应注意以下几点 :L（ 1）P ,Q 在区域G 内连续，闭区域D 的边界曲线L 应取正向yx（ 2）若L 为非封闭曲线，直接计算又较困难，可添加辅助线C 使C 为封闭曲线，然后使用

20、格林公式，若LC 的方向为负向，格林公式中二重积分前要加负号，并注意，同时注意补上的曲线要便于积分的计算LLCC（3）若 P ,Q 在 D 中某点 ( x0 , y0 ) 不连续，要通过添加辅助曲线C 挖去 (x0 , y0 ) 后再使yx用格林公式，并要注意 C 的方向的选取（ 4）在曲线积分中，可将L 的表达式代入被积表达式，但是使用格林公式将曲线积分化为二重积分后，在 D 内的点 (x, y) 已不再满足 L 的方程，不应再将L 的表达式代入二重积分的被积表达式例 10 计算 L ydx ( 3 sin yx)dy ，如图 9 8 所示， L 是依次连接 A( 1,0), B(2,1),

21、C(1,0) 的折线段分析若将直线AB 和BC的方程写出，代入积分式直接计算则比较麻烦，所以考虑用格林公式计算，但是L 不是封闭曲线，须添加辅助线段CA 使曲线封闭，并注意到封闭折线ABCA 的方向为负向， 应用格林公式时在二重积分前要添加负号解令 P(x, y)y ， Q(x, y) 3sin y x ，则QP1 1 2 ，且线段 CA : y0 ，xyx 由 1 变化到 -1 ，故有ydx( 3 sin yx)dyyLB (2,1)ABCAydx ( 3 sin yx)dyydx( 3 sin y x)dyCAA( 1,0) oC (1,0)x(2)dxdy1dx 2dxdy2 0D1D图

22、 98其中 D 为 ABCA 所围成的闭区域例 11计算xdyydx，其中 L 为椭圆周 4x2y21 ，取逆时针方向22Lxy分析此题可以直接计算，也可应用格林公式，但是应注意奇点解法 1直接计算， L 的参数方程为 : x1，ysin ， 从 0 到 2，则cos2xdyydx21cos21sin222dL x2y201cos2sin242 1222d0cos4sin2d (2tan)01 4tan 2注意到,32d(2tan )为反常积分，因此2为被积函数的无穷间断点，故1 4tan 220xdyydx2d (2tan )d (2tan )32d (2tan )2d (2tan ) ，L

23、x2y22223201 4tan2 14tan1 4tan21 4tan其中2d (2tan)；同理可得01 4tan 2arctan(2tan )02lim arctan(2tan ) arctan(2tan 0)( 2 )2d(2tan )3， 2222 14tand (2tan2)，2d (2tan2)31 4tan21 4tan22所以xdyydx2 L222xy2 2 2解法 2用格林公式令 P(x, y)y， Q( x, y)x，则当 ( x, y)(0,0) 时，PQy2x2，y2x2y2yx( x2y2 )2x2但积分曲线L 所围区域包含点(0,0) ， P( x, y), Q

24、( x, y) 在该点不具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将奇点 (0,0) 去掉， 为此作半径足够小的圆C : x2y22 ，使 C位于 L 的内部，如图9 9 所示 C 的参数方程为xcos ， ysin，0,2 ，C 取逆时针方向于是xdyydxxdyydxxdyydx，L22L C22C22xyxyxy其中 C 表示 C 的负方向由格林公式则有yco x图 99xdyydx0 dxdy 0 ，L Cx2y2D其中 D 为 L 与 C 所围成的闭区域故xdyydxxdyydxxdyydxL x2y2Cx2y2C x2y22cosd (sin)sind (cos )022

25、22cossin2d20例 12利用格林公式计算Luds ，其中 u (x, y)x2y2 ， L 为圆周 x2y26x 取逆时n针方向，u 是 u 沿 L 的外法线方向导数n解由于 uu cos( ,)nn xxu cos( , )，其中 ,是在曲线 L 上点n y 2 xcos2 ycosy( x, y) 处的切线的方向角，故u2 y cos )ds 根据两类曲线积分之间的ds(2 x cosLn联系及格林公式，有u ds( 2 y cos2 xcos )ds( 2 y) dx 2xdy4dxdy L nLLD因为 L 为圆周 x2y26x ，所以 L 所围成的圆的面积9 ，因此u ds4

26、dxdy436LnD例 13验证在全平面上，ex (1sin y)dx(ex2sin y)cos ydy 是全微分，并求出它的一个原函数解令 P(x, y)ex (1sin y) ， Q( x, y)(ex2sin y)cos y ，则在全平面上有QPex cos y ，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上，xyex (1sin y)dx(ex2sin y)cos ydy是全微分下面用三种方法来求原函数：解法 1运用曲线积分公式，为了计算简单，如图9 10yM (x, y)所示，可取定点O(0,0) ，动点 A( x,0) 与 M ( x, y) ，于是原函数为u( x, y)( x, y

27、)2sin y)cos ydy ex (1 sin y)dx (exA( x,0) x(0,0)o取路径 : OAAM ，得图 910xex (1 0)dxy2sin y)cos ydy ex1 ex sin y sin 2 y u ( x, y)(ex00解法 2从定义出发，设原函数为u( x, y) ，则有u( ,y)ex(1sin ) ，两边对 x 积xP xy分（ y 此时看作参数） ，得u( x, y)ex (1 sin y)g ( y)（ * ）待定函数 g ( y) 作为对 x 积分时的任意常数，上式两边对y 求偏导， 又uQ(x,y) ，于是yex cos yg ( y)(ex

28、2sin y)cos y ，即 g ( y)2sin y cos y ，从而g( y) sin2 y C （ C 为任意常数），代入（ * ）式，得原函数u ( x, y) exex sin y sin 2 yC 解法 3凑微分ex (1 sin y)dx (ex2siny)cos ydyx(xsinxcos)2sinycosydye dxeydx eydydexd (ex sin y)d (sin 2 y)d (exex sin ysin 2 y) ，故原函数为u( x, y)exex sin ysin 2 y 注 1 当积分与路径无关时， 在选取路径时应使得计算简便注 2 u (x, y)

29、 不唯一，但它们之间相差一个常数例 14（ 98 研）确定常数，使在右半平面x0 上的向量A( x, y)2 xy( x4y2 ) ix2 (x4y2 )j为某二元函数 u (x, y) 的梯度，并求u( x, y) 分析平面单连通区域内向量场A( x, y)P(x, y)iQ( x, y) j 为某二元函数的梯度的充QP ，由此可确定. 然后，由曲线积分( x, y )要条件是P( x, y)dx Q( x, y) dy 与路径无关xy( x0 , y0 )即可求出u( x, y) 解由梯度定义 grad u ( x, y)u iu jA( x, y)P( x, y)i Q(x, y) j ，其中xyPu2xy(x4y2 ) , Qux2 ( x4y2 ) ，xy而Q4224213，2x( xy )x ( xy)4xxP2x( x4y2 ) 2 xy( x4y2 ) 1 2 y yA( x, y) 为 u( x, y) 的梯度即 PdxQdy 在 x0 时存在原函数u( x, y) ，故QP ，由此可xy得