基于Matlab小波工具箱的数字图像处理及小波分析

1、精选优质文档-倾情为你奉上基于Matlab小波工具箱的数字图像处理摘要：小波分析在图像处理中有非常重要的应用，包括图像压缩、去噪、分解和增强等。运用多分辨率分析可以将信号分解为多尺度信息，每个尺度下都有该分辨率下的“概貌”信息和细节。小波分析是傅里叶分析思想方法的发展与延拓，它不是时间-频率域上的分析，而是时间-尺度域变换，因此在图像处理上具有明显的优势。同时合适小波函数也就成为小波分析中最基本的问题。关键字：小波分析，多分辨分析，小波函数，图像处理一、 多分辨率分析多分辨分析，也称为多尺度分析，即在不同尺度下对事物进行分析1。我们都知道，人的眼睛观察物体时，如果距离物体比较远，也就是说尺度比

2、较大，则视野宽、分辨能力低，只能观察事物的概貌而看不清局部细节。若距离物体较近，那么视野就窄而分辨能力高，可以观察到事物的局部细节，却无法概览全貌。因此，若想要知道物体的整体轮廓又要看清其局部细节，就必须选择不同的距离对物体进行观察。同理，信号分析也是如此，在大尺度上分析信号的全貌，在小尺度上分析信号的细节，那么就需要把信号分解成某一尺度下的“概览”和该尺度下的细节。1.1信号的近似分解给定一个连续信号，我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似2。令 (1.1)显然，的整数位移相互之间是正交的，即 (1.2)这样，由的整数位移就构成了一组正交基。设空间由这一组正交基所构成，这样，在

3、空间中的投影（记作）可表为： (1.3)式中,是基的权函数，可以看作是在中的近似。，如图1.1(a)所示。是离散序列，如图1.1(b)所示。 (a) (b) 图1.1令 (1.4)是由作二进制伸缩及整数位移所产生的函数系列，显然，和是正交的。将作二倍的扩展后得，由作整数倍位移所产生的函数组当然也是两两正交的（对整数），它们也构成了一组正交基。 (1.5)我们称由这一组基形成的空间为，记信号在中的投影为，则 (1.6)式中为加权系数。如图1.2(a)所示。仍为离散序列，如图1.2(b)所示。 (a) (b) 图1.2若如此继续下去，在的基础上，我们可得到在不同尺度下通过作整数位移所得到一组组的正

4、交基，它们所构成的空间是。用这样的正交基对作近似，就可得到在中的投影。又有 (1.7) 再比较该图的1.1(a)和1.2(a)，显然图1.1(a)对的近似要优于图1.2(a)对的近似，也即分辨率高。当时，中的每一个函数都变得无限窄，即有 (1.8)而当，那么中的每一个函数都变成无穷宽，对的近似误差也越大。低分辨率的基函数可由高一级分辨率的基函数所决定。从空间上来讲，低分辨率的空间应包含在高分辨率的空间中，但是，毕竟不等于，二者之间有误差。这一误差是由和的宽度不同而产生，因此，这一差别应是一些“细节”信号，我们记之为。这样有： (1.9)另设一基函数， (1.10)显然，的整数位移也是正交的，进

5、一步，其在不同尺度下的位移，即，也是正交的，同时，和的整数位移之间也是正交的，即 (1.11)又和之间有如下关系： (1.12) 及 (1.13)记张成的空间为，所张成的空间为，依次类推，张成的空间为。记在空间中的投影为，在中的投影为，它们均可表为相应基函数的线性组合，即 (1.14) (1.15)式中,是,尺度下的加权系数，它们均是离散序列。,分别如图1.3(a)和(b)所示，,分别如图(c)和(d)所示。 (a) (b) (c) (d)不难发现，与相加，即得，由空间表示，即是 (1.16)把上述概念加以推广，显然有 (1.17) 并且 (1.18)这样，给定不同的分辨率水平，我们可得到在该

6、分辨率水平上的近似和，由于是低通信号，因此反映了的低通成份，我们称其为的“概貌”。由于是由边缘得到的离散序列，所以也应是在尺度下的概貌，或称离散近似。同理，由于是带通信号，因此反映的是的高频成份，或称为的“细节”，而是的离散细节。1.2多分辨分析的定义Mallat给出了多分辩率分析的定义3：设是空间中的一个闭合子空间，如果它们满足如下六个性质，则说明，是一个多分辨率近似。这六个性质是：1平移不变性：，若则 (1.21)2单调性：，即 (1.22)3伸缩性：，若，则 (1.23)4：渐进完全性： (1.24)5逼近性： (1.25)6Riesz基存在性：存在一个函数，使得构成的Riesz基。1.

7、3空间分解前文已指出是中的正交归一基，是中的正交归一基，按此基函数逐级进行分解。1子空间是在中的投影，即 (1.26)又 (1.27)则 (1.28)由于是时间的函数，又具有低通性质，因此称是在中的“分段平滑”逼近，称为在中的“离散”逼近，它们都是在分辨率时的“概貌”。2子空间根据多分辨分析的定义，若，则，是中的正交归一基。根据式(1.28)可得： (1.29)3子空间因，则，也可构成中的正交归一基。依次类推，将是中的正交归一基。我们称为小波函数。这样，我们可依次将在中作类似在各空间中的分解。由式(1.15)可得： (1.30)是在子空间上的投影，由于是带通函数，所以是的在的连续细节逼近，是在

8、中的离散细节。又根据式(1.9)可知，在中的投影等于分别在和中的投影的差，它也是在和这两个分辨率水平上的逼近之差，因此，和均被称为的“细节”。4对子空间，将上述的结论加以推广，有如下的结论： (1.31) (1.32) (1.33) (1.34) (1.35)二、 Mallat算法2.1 Mallat分解根据上述，我们可知：在空间中近似可表示为4： (2.1)其在空间中的细节可表示为： (2.2)两尺度方程的一般形式为： (2.3)令，是多分辨率分析中的离散逼近系数，则经过推到，会有如下递推关系： (2.4) (2.5)如果令 (2.6) 再令 即对隔2抽1生成。Mallat分解示意图：图2.

9、1 Mallat分解示意图2.2 Mallat重构分解重构公式： (2.7)其重构物理示意图如下所示：图2.2 Mallat重构示意图三、 常用小波函数介绍在小波分析理论在数学和工程领域中一个很重要的问题就是小波基的选择，选择一个最优的小波基，可以使图像处理更加优化。在小波分析理论中有很多种的小波函数，下面介绍一些常用的小波基函数：3.1 Haar小波Haar小波是Haar于1990年提出的一种正交小波，它是小波理论分析发展过程中最早用到的的小波。Haar小波是由一组互相正交归一的函数集，即Haar函数衍生产生的，是具有紧支撑的正交小波函数，其定义如下5： (3.1)Haar小波是一个最简单的

10、时域不连续的小波，它类似一个阶梯函数，由于它的紧支撑性和正交性，使得Haar小波的应用很普遍。图3-1所示为Haar波的函数图像。图3-1 Haar小波函数图像由于Haar小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但也有自己的优点：计算简单； 在的多分辨率系统中Haar小波构成一组最简单的正交归一的小波族。因为不但与正交，而且与自己的整数位移正交。 的傅里叶变换是： (3.2)3.2Mexican hat(墨西哥草帽)小波 Mexican Hat小波又被称Marr小波。Marr小波函数就是高斯函数的二阶导数，其表达式为： (3.3) (3.4)因为它的形状像墨西哥帽的截面，所以也

11、称为墨西哥帽函数。墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并且满足 (3.5)由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。 其波形如图3-2所示。Marr小波的时域、频域都有很好的局部特性，但由于它的正交性尺度函数不存在，所以不具有正交性，主要用于信号处理和边缘检测。图3-2 Mexicat小波函数图像3.3Morlet小波 Morlet小波是高斯下的单频率复正弦函数： (3.5)式中，j表示虚数，w常数。其波形如图3-3所示。虽然Morlet小波有解析表达式，但其不具有正交性的同时也不存在紧支集。Morlet小波的特点是能够提取信号中的幅值和相应信息，广泛应用于地球物理信号处理中。图3-

12、3 Morlet小波函数图像3.4Daubechies(dbN)小波 Daubechies小波是法国学者Daubechies所创造，Daubechies小波的研究是基于对尺度取为2的整数幂条件下的小波变换。Daubechies小波无明确的解析方程(除N1外)，不具有对称性，可以由尺度函数求出。但的传递函数的模的平方有显式表达式。假设，其中，为二项式的系数，则有 (3.6)其中 Daubechies小波是紧支集正交小波，它的出现使离散小波分析成为可能。Daubechies系列的小波简写为dbN，其中N表示阶数，图3-4所示为db2小波的形状。(a)db2小波函数 （b）db2的尺度函数图3-4

13、db2的小波函数和尺度函数3.5 Meyer小波 Meyer小波的小波函数y（x）是在频域中进行定义的，Meyer小波是具有紧支撑的正交小波。 (3.7)其中为构造Meyer小波的辅助函数，其函数图像如图3-5所示。 (a) Meyer小波函数 （b）Meyer尺度函数图3-5 Meyer小波函数和尺度函数四、 小波分析在图像处理中的应用4.1 基于小波分析的图像压缩二维小波分析用于图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持图像的特征基本不变，且在传递过程中可以抗干扰。小波分析用于图像压缩具有明显的优点6。基于小波分析的图像压缩方法很多，比较成功的有小波

14、包、小波变换零树压缩、小波变换矢量量化压缩等。下面是一幅图像信号(即二维信号)，利用二维小波分析对图像进行压缩。一幅图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的。高分辨率（即高频）子图像上大部分点的数值都接近于0，越是高频，这种现象越明显。对一幅图像来说，表现一个图像最主要的部分是低频部分，所以最简单的压缩方法是利用小波分解，去掉图像的高频部分而只保留低频部分。利用MATLAB中的小波分析工具箱中某个小波函数对图像进行压缩处理，本实验利用二维小波函数“sym4“对图像进行压缩。图4-1 小波工具箱如图4-1所示，可以看出，第一次压缩提取的是原始图像中

15、小波分解第一层的低频信息，此时压缩效果较好，压缩比较小；第二次压缩是提取第一层分解低频部分的低频部分(即小波分解第二层的低频部分)，其压缩比较大，压缩效果在视觉上表现良好，基本上看不出与第一次有太大变化。但是第三次压缩和第四次压缩就有明显差异，看起来已经比较模糊了。这种最简单的压缩方法，只保留原始图像中低频信息，不经过其他处理即可获得较好的压缩效果。我们还可以继续对图像进行压缩，以提取其低频信息。从理论上说，可以获得任意压缩比的压缩图像。 (a)原始图像 (b)分解后低频和高频信息 (c)第一次压缩图像 (d)第二次压缩图像 (e)第三次压缩图像 (f)第四次压缩图像图4-2 利用二维小波“s

16、ym4“压缩的图像4.2基于小波分析的图像去噪处理噪声可以理解为妨碍人的视觉器官或系统传感器对所接收图像源进行理解或分析的各种因素。一般噪声是不可预测的随机信号，它只能用概率统计的方法去认识。噪声对图像处理十分重要，它影响图像处理的输入、采集、处理的各个环节以及输出结果的全过程。若输入伴有较大噪声，必然影响处理全过程及输出结果。因此一个良好的图像处理系统，不论是模拟处理还是计算机处理无不把减少最前一级的噪声作为主攻目标。去噪已成为图像处理中极其重要的步骤。对二维图像信号的去噪方法同样适用于一维信号，尤其是对于几何图像更适合。二维模型可以表述为： (4.1)其中，是噪声。二维信号用二维小波分析的

17、去噪步骤有3步：(1)二维信号的小波分解。选择一个小波和小波分解的层次N，然后计算信号s到第N层的分解。(2)对高频系数进行阈值量化。对于从1到N的每一层，选择一个阈值，并对这一层的高频系数进行软阈值量化处理。(3)二维小波的重构。根据小波分解的第N层的低频系数和经过修改的从第一层到第N层的各层高频系数计算二维信号的小波重构。下面给出一幅含有噪声的图像，利用小波分析“db2“函数对信号进行去噪处理。如图4-2所示。 (a)原始图像 (b)第一次去噪后的图像 (c)第二次去噪后的图像图4-3 利用小波函数”db2”对图像进行去噪从图中可以观察到第一次去噪已经滤去了大部分的高频噪声，但对比去噪图像

18、与原始图像相比可以看出，第一次去噪后的图像中还是含有不少的高频噪声；第二次去噪是在第一次去噪的基础上，再次滤去其中的高频噪声。五、总结通过对多分辨率分析和Mallat算法的学习以及常用小波的认识，了解到了小波分析在分析数学领域的地位以及其在数字图像处理和信号处理等方面重要性。可以利用MATLAB中的小波函数对图像进行压缩、去噪、增强以及锐化等处理。更为简单地就是利用MATLAB中小波处理工具箱，对图像进行增强、去噪等处理。小波的应用范围非常广泛，而每个领域都有自己特定的处理方式。小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。现在，它在科技信息领域取已经得了令人瞩目的成就。对性质随时间稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析，但在实际应用中，绝大多数信号是非稳定的，小波分析正是适用于非稳定信号的处理工具。图像处