202X届高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程9.1直线方程与圆的方程课件VIP

1、(2013天津文,5,5分)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=()A.-B.1C.2D.1212考点一直线及其方程考点一直线及其方程A A组自主命题组自主命题天津卷题组天津卷题组五年高考答案答案C由题意可知,点P(2,2)在圆上,设圆心为M(1,0),则kMP=2,由圆的切线的性质可得,过点P的切线的斜率为k=-,又因为切线与直线ax-y+1=0垂直,所以-a=-1,即a=2.故选C.1212评析评析本题主要考查圆的切线的性质及两条直线的位置关系,本题也可以利用直线ax-y+1=0与直线MP都垂直切线,得出直线MP与直线ax-y+1=

2、0平行,从而得出a=kMP=2,考查学生的运算求解能力.1.(2018天津,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.考点二圆的方程考点二圆的方程答案答案x2+y2-2x=0解析解析本题主要考查圆的方程.解法一:易知以(0,0),(1,1),(2,0)为顶点的三角形为等腰直角三角形,其外接圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.解法二:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由已知条件可得解得所以所求圆的方程为x2+y2-2x=0.2220,110,220,FDEFDF2,0,0,D

3、EF 方法总结方法总结常见的求圆的方程的方法:(1)利用圆的几何特征,求出圆心坐标和半径长,从而写出圆的标准方程.(2)利用待定系数法.若利用所给条件易求圆心的坐标和半径长,则常用标准方程求解;若所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点,则常用一般方程求解.2.(2016天津文,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为.54 55答案答案(x-2)2+y2=9解析解析设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a0),由题意可得解得所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.222|2 |4 5,55()( 5),aar22

4、,9,ar思路分析思路分析待定系数法是求解圆方程的常用方法,一般步骤为设出圆的方程;列出关于系数的方程组,并求出各系数的值;检验各值是否符合题意,并写出满足题意的圆的方程.有时也可利用圆的几何性质进行求解.评析评析本题主要考查点与圆的位置关系,点到直线的距离公式以及圆的方程的求法,考查方程思想方法的应用,圆心横坐标的取值范围是解决本题的关键.B B组统一命题、省组统一命题、省( (区、市区、市) )卷题组卷题组考点一直线及其方程考点一直线及其方程1.(2016课标,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.243343答案

5、答案A圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为=1,解得a=-.故选A.2|4 1|1aa43思路分析思路分析将圆的方程化成标准方程,从而得出圆心坐标,进而利用点到直线的距离公式列出关于a的方程,解方程即可求得a的值.2.(2016四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为()A.B.C.D.1332322答案答案C设P(x,y),|PM|=2|MF|,=2,又F,kOM=,由题易知kOM最大时y0,kOM=,当且仅当

6、x=p时取等号.|PMMF,02p22,123,123MMpxxpxyyy MMyxyxp2pxxp2ppxx22pp22思路分析思路分析设出P(x,y),由|PM|=2|MF|求出M点坐标,而kOM=,再用基本不等式即可解决.MMyx3.(2016四川,9,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)ln ,01,ln ,1xxx x答案答案A设l1是y=-lnx(0 x1)的切线,切点P2(x2,y2),l1:y-y

7、1=-(x-x1),l2:y-y2=(x-x2),-得xP=,易知A(0,y1+1),B(0,y2-1),l1l2,-=-1,x1x2=1,SPAB=|AB|xP|=|y1-y2+2|11x21x1212211yyxx11x21x12121212|2|11yyxx=,122121212(2)yyxxx x1221212( lnln2)xxxx1221212 ln()2x xxx12124xx122xx又0 x11,x1x2=1,x1+x22=2,0SPAB0)6.(2015课标,14,5分)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.216x24y答案答案+y2

8、=232x254解析解析由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线的方程为2x-y-3=0.令y=0,得x=,所以圆心坐标为,则半径r=4-=.故该圆的标准方程为+y2=.323,023252232x254思路分析思路分析先求出椭圆的顶点坐标,由圆心在x轴正半轴上和圆的性质确定圆心坐标,进而求得半径得出结果.解后反思解后反思由弦的中垂线经过圆心这一性质确定圆心坐标,进而求圆的标准方程,本题若用圆的一般方程求解运算量较大.7.(2015湖北,16,5分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且

9、|AB|=2.(1)圆C的标准方程为;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.答案答案(1)(x-1)2+(y-)2=2(2)-122解析解析(1)记AB的中点为D,在RtBDC中,易得圆C的半径r=BC=.因此圆心C的坐标为(1,),所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.(2)因为点B的坐标为(0,+1),C的坐标为(1,),所以直线BC的斜率为-1,所以所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为y=x+1,故切线在x轴上的截距为-1.22222228.(2018课标,20,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.

10、(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解析解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去)或k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),2(1),4yk xyx2224kk2244kk2244kk则解得或因

11、此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.00220005,(1)(1)16.2yxyxx 003,2xy0011,6.xy 方法总结方法总结有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应重视利用韦达定理进行整体运算的方法和技巧.一般地,求直线和圆的方程,常利用待定系数法.9.(2017课标,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解析解析本题考查直线与圆锥曲线的位置关系.(

12、1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2=4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为=-1,所以OAOB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.22,2xmyyx212y222y212()4y y11yx22yx44222(2)mm

13、APBP由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x-3)2+(y1210-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为,圆M的半径为,圆M的方程为+=.1291,42854294x212y8516解后反思解后反思直线与圆锥曲线的相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)

14、(y-y2)=0.C C组教师专用题组组教师专用题组考点一直线及其方程考点一直线及其方程1.(2014福建,6,5分)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案答案D由题意得已知圆的圆心为(0,3),直线x+y+1=0的斜率为-1,则所求直线的斜率为1.所以所求直线的方程为y=x+3,即x-y+3=0.故选D.2.(2014四川,9,5分)设mR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是()A.,

15、2B.,2C.,4D.2,45510510555答案答案B直线x+my=0过定点A(0,0),直线mx-y-m+3=0过定点B(1,3).当m=0时,过定点A的直线方程为x=0,过定点B的直线方程为y=3,两条直线互相垂直,此时P(0,3),|PA|+|PB|=4.当m0时,直线x+my=0的斜率为-,直线mx-y-m+3=0的斜率为m.-m=-1,两条直线互相垂直,即点P可视为以AB为直径的圆上的点.当点P与点A或点B重合时,|PA|+|PB|有最小值.当点P不与点A,点B重合时,PAB为直角三角形,且|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.由不等式性质知|PA|+|PB|2=2,|PA|

16、+|PB|,2.综合得|PA|+|PB|,2.1m1m1022|2PAPB5105105评析评析本题考查直线的方程、两直线垂直及不等式的性质,解答本题的关键是找到点P的轨迹.属中档题.3.(2013课标,12,5分)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a0)将ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是()A.(0,1)B.C.D.2 11,222 11,231 1,3 2答案答案B(1)当直线y=ax+b与AB、BC相交时,如图所示.图易求得xM=-,yN=.由已知条件得SMBN=1,a=.ba1aba121ba1aba12212bb点M在线段OA上,-1-

17、0,0ba.点N在线段BC上,01,b1.ba1aba由解得b.(2)当直线y=ax+b与AC、BC相交时,如图所示.图设MC=m,NC=n,22,120,120,bbbbbb1312则SMCN=mn=,mn=1.显然,0n,m=.121221n22又已知0m且mn.m且m1.设D到AC、BC的距离为t,则=,=,+=+=1.t=,=+=+m.而f(m)=m+的值域为,即2,t.b=1-CD=1-t,1-b.综合(1)、(2)可得1-b.2222tmDNMNtnDMMNtmtnDNMNDMMNmnmn1t1m1n1m1m2212mm且3 22,21t3 222312222132212思路分析思

18、路分析按直线与三角形的边相交的不同情况分别讨论.结合不同位置利用函数或不等式求解,怎样表示三角形的面积是解题关键.1.(2014湖北,17,5分)已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b-2)和常数满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=|MA|,则(1)b=;(2)=.考点二圆的方程考点二圆的方程答案答案(1)-(2)1212解析解析解法一:当M为(-1,0)时,|MA|=1,|MB|=|b+1|,|b+1|=.当M为(1,0)时,|MA|=3,|MB|=|b-1|,|b-1|=3.由消去得3|b+1|=|b-1|,b=-(b=-2舍去).将b=-代入得=.解法二:

19、设M(x,y),则满足x2+y2=1.|MB|=|MA|,=,两边平方得(x-b)2+y2=2(x+2)2+y2,即x2-2bx+b2+1-x2=2(x2+4x+4+1-x2),-2bx+b2+1=42x+52.故有=1或=.当=1时,b=-2(舍去);当=时,b=-,b=-,=.12121222()xby22(2)xy22224,15,0,bb 12121212122.(2014山东,14,5分)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为.3答案答案(x-2)2+(y-1)2=4解析解析因为圆心在直线x-2y=0上,且圆C与y轴相切,所以可

20、设圆心坐标为(2a,a),则(2a)2=a2+()2,解得a=1.又圆C与y轴的正半轴相切,所以a=1,故圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.3评析评析本题考查直线与圆的位置关系以及圆的标准方程的求法,考查学生运算求解的能力以及运用数形结合思想求解问题的能力.本题的易错点是忽视圆与y轴的正半轴相切.3.(2014陕西,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.答案答案x2+(y-1)2=1解析解析根据题意得点(1,0)关于直线y=x对称的点(0,1)为圆心,又半径r=1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.4.(2016江苏,

21、18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.TATPTQ解析解析圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0y00,解得t2,所以x03.所以线段AB

22、的中点M的轨迹C的方程为+y2=.4553232x94533x(3)由(2)知,曲线C:+y2=.如图,D,E,F(3,0),直线L过定点G(4,0).由得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.当直线L与曲线C相切时,判别式=0,解得k=.结合图形可以判断,当直线L与曲线C只有一个交点时,有kDGkkEG或k=kGH或k=kGI,即k.232x94533x5 2 5,3352 5,332239,24(4)xyyk x342 5 2 5,773 3,4 46.(2013课标,20,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P

23、的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.2322解析解析(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设得y2+2=r2,x2+3=r2.从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y0),由已知得=.又P在双曲线y2-x2=1上,从而得由得此时,圆P的半径r=.由得此时,圆P的半径r=.故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.00|2xy22002200| 1,1.xyyx0022001,1xyyx000,1.xy 30022001,1xyyx 000,1.xy3思路分析思路分析(1)利用垂径定理求出圆心P的轨迹方程;(2

24、)设出点P的坐标,由点到直线的距离公式找出点P的坐标满足的关系,再结合点P在双曲线y2-x2=1上,联立得方程组,解方程组得到圆的半径及圆心坐标,据此即可得圆P的方程.考点一直线及其方程考点一直线及其方程三年模拟A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组1.(2017天津和平模拟考试四,12)经过圆x2+2x+y2=0的圆心,且与直线x+y-2=0垂直的直线方程是.答案答案x-y+1=0解析解析将圆的方程化为标准方程,即(x+1)2+y2=1,可得圆心坐标为(-1,0).直线x+y-2=0的斜率为-1,与直线x+y-2=0垂直的直线的斜率为1.所

25、求直线方程为y-0=1(x+1),即x-y+1=0.2.(2019天津河西二模,12)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是.答案答案x+y-=02解析解析设所求的直线为l,由直线l垂直于直线y=x+1,可得直线l的斜率为-1,设直线l的方程为y=-x+b,即x+y-b=0,直线l与圆x2+y2=1相切,圆心到直线l的距离d=1,解得b=,当b=-时,可得切点坐标为,切点在第三象限;当b=时,可得切点坐标为,切点在第一象限,直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限,b=-不符合题意,b=,所求直线方程为x+y-=0.故答案为x+y-=0.|2b2222,22222,

26、222222考点二圆的方程考点二圆的方程1.(2019天津部分区一模,12)已知圆心在直线x-y-1=0上的圆与y轴的两个交点坐标分别为(0,4),(0,-2),则该圆的方程为.答案答案(x-2)2+(y-1)2=13解析解析由圆心在直线x-y-1=0上,可设圆心坐标为(a,a-1),圆与y轴的两个交点坐标分别为(0,4),(0,-2),a-1=,a=2,圆心坐标为(2,1),圆的半径为=,圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=13,故答案为(x-2)2+(y-1)2=13.42222(20)(14)13评析评析本题主要考查圆和直线相交的性质,求圆的标准方程的方法,属于基础题.2.(2019天津河西一模,12)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则C的方程为.答案答案(x-2)2+y2=10解析解析由A(5,1),B(1,3),得AB的中点坐标为(3,2),且kAB=-,AB的垂直平分线的斜率为2,AB的垂直平分线方程为y-2=2(x-3),即2x-y-4=0.令y=0,得x=2,所求圆的圆心坐标为(2,0),半径r=,所求圆的方程为(x-2)2+y2=10.3 11 51222(2 1)(03)103.(2017天津耀华中学二模,10)已知圆的方程为x2+y2-6x-