202X届高考数学一轮复习第十五章坐标系与参数方程课件文

1、第十五章 坐标系与参数方程高考文数高考文数 (课标专用)考点一极坐标方程考点一极坐标方程五年高考A A组组 统一命题统一命题课标卷题组课标卷题组1.(2019课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程在极坐标系中,O为极点,点M(0,0)(00)在曲线C:=4sin 上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当0=时,求0及l的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.3解析解析本题主要考查了极坐标的概念和求极坐标方程的基本方法,考查了数学运算能力和数形结合的思想方法,主要体现了直观想象和数学运算的核心素养.(1)因为M(0,0)在C上,

2、当0=时,0=4sin=2.由已知得|OP|=|OA|cos=2.设Q(,)为l上除P的任意一点.在RtOPQ中,cos=|OP|=2.经检验,点P在曲线cos=2上.所以,l的极坐标方程为cos=2.(2)设P(,),在RtOAP中,|OP|=|OA|cos =4cos ,即=4cos .因为P在线段OM上,且APOM,故的取值范围是.所以,P点轨迹的极坐标方程为=4cos ,.333332,333,4 2 ,4 2 思路分析思路分析 (1)由极坐标的定义,通过解直角三角形建立l上动点横纵坐标,的等式求解;(2)在RtOAP中,解三角形求点P的轨迹方程,利用点P在线段OM上确定的取值范围.易

3、错警示易错警示 忽视了点P在线段OM上的条件,没有限制的取值范围而导致错解.2.(2019课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,),弧,所在圆的圆心分别是(1,0),(1,),曲线M1是弧,曲线M2是弧,曲线M3是弧.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=,求P的极坐标. 2,432,4ABBCCD1,2ABBCCD3解析解析本题考查极坐标的概念,求极坐标方程等知识点,通过极坐标的应用考查学生的运算求解能力,以求点的极坐标为背景考查数学运算的核心素养.(1)由题

4、设可得,弧,所在圆的极坐标方程分别为=2cos ,=2sin ,=-2cos .所以M1的极坐标方程为=2cos ,M2的极坐标方程为=2sin ,M3的极坐标方程为=-2cos .(2)设P(,),由题设及(1)知若0,则2cos =,解得=;若,则2sin =,解得=或=;若,则-2cos =,解得=.综上,P的极坐标为或或或.ABBCCD04344344364343323343563,63,323,353,63.(2018课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐

5、标方程为2+2cos -3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.解析解析(1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或

6、k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.2|2|1kk 43432|2|1kk434343方法技巧方法技巧极坐标方程与直角坐标方程的互化技巧:(1)巧用极坐标方程两边同乘或同时平方的技巧,将极坐标方程构造成含有cos ,sin ,2的形式,然后利用公式代入化简得到直角坐标方程.(2)巧借两角和、差公式转化成sin()或cos()

7、的结构形式,进而利用互化公式得到直角坐标方程.(3)将直角坐标方程中的x转化为cos ,将y转化为sin ,即可得到其极坐标方程.4.(2017课标全国,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos =4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.2,3解析解析(1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=.由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程为

8、=4cos (0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB的面积S=|OA|BsinAOB=4cos =22+.当=-时,S取得最大值2+.所以OAB面积的最大值为2+.4cos12sin33sin 232312335.(2017课标全国,22,10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos

9、+sin )-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.2,xtykt2,xmmyk 2解析解析(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).设P(x,y),由题设得消去k得x2-y2=4(y0).所以C的普通方程为x2-y2=4(y0).(2)C的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(00).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos .(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.cos ,1

10、sinxatyat 解析解析(1)消去参数t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2分)将x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0.(4分)(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组(6分)若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0,(8分)由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.所以a=1.(10分)222 sin10,4cos .a 易错警示易

11、错警示 对“互化”过程不熟悉,对参数和极坐标的几何意义理解不透彻是失分的主要原因.考点二参数方程考点二参数方程1.(2019课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos +sin +11=0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.2221,141txttyt3解析解析本题考查了参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化,通过整体运算消参数和利用三角函数求最值,考查了数学运算能力和转化的思想方法,核心素养体现了数学运算

12、.(1)因为-11,且x2+=+=1,所以C的直角坐标方程为x2+=1(x-1).l的直角坐标方程为2x+y+11=0.(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数,-).C上的点到l的距离为=.当=-时,4cos+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为.注:因为在教材中,参数方程与普通方程对应,极坐标方程与直角坐标方程对应,所以本题中的“求C和l的直角坐标方程”更改为“求C的普通方程和l的直角坐标方程”更合适.2211tt22y22211tt2224(1)tt24y3cos ,2sinxy|2cos2 3sin11|74cos11372337思路分析思路分析 (1)观察、分析参数方程的特

13、征,应通过平方运算消去参数t;直线l的极坐标方程只需直接利用互化公式即可求解;(2)由点到直线的距离公式,利用椭圆的参数方程转化为三角函数求最值.2.(2018课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.2cos ,4sinxy1cos ,2sinxtyt 解析解析(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.当cos 0时,l的直角坐标方程为y=tan x+2-tan ,当cos =0时,l的直角坐标方程为x=1.(2

14、)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由得t1+t2=-,故2cos +sin =0,于是直线l的斜率k=tan =-2.注:因为在教材中,参数方程与普通方程对应,极坐标方程与直角坐标方程对应,所以本题中的“直角坐标方程”更改为“普通方程”更合适.24x216y24(2cossin )1 3cos方法总结方法总结以角为参数的参数方程,一般利用三角函数的平方关系sin2+cos2=1化为普通方程;而弦的中点问题常用根与

15、系数的关系或“点差法”进行整体运算求解.3.(2018课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为(为参数),过点(0,-)且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点.(1)求的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.cos ,sinxy2解析解析本题考查参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系.(1)O的直角坐标方程为x2+y2=1.当=时,l与O交于两点.当时,记tan =k,则l的方程为y=kx-.l与O交于两点当且仅当1,解得k1,即或.综上,的取值范围是.(2)l的参数方程为.设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,222221

16、k,4 2 3,243,44cos ,2sinxtyt 3,44t为参数则tP=,且tA,tB满足t2-2tsin +1=0.于是tA+tB=2sin ,tP=sin .又点P的坐标(x,y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.2ABtt222cos ,2sin ,PPxtyt 2sin2 ,222cos222xy 3,44为参数思路分析思路分析(1)将O的参数方程化为普通方程分直线斜率存在与不存在两种情况讨论由点到直线的距离公式得到关于斜率的不等式得出斜率的取值范围,进而得到倾斜角的取值范围(2)利用中点坐标公式建立A、B、P坐标的关系,即可求P的轨迹方程.易错警示易错警示容易忽略直线斜率不存在

17、的情形,求倾斜角时要注意斜率是否存在.解后反思解后反思将参数方程化为普通方程的方法:(1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数的基本关系式消参.(2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解.4.(2017课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.3cos ,sinxy4 ,

18、1xatyt 17解析解析(1)解法一:曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0),.解法二:设交点坐标为(x,y),当a=-1时,直线l的参数方程为将代入得=1-sin ,29x22430,19xyxy3,0 xy21,2524.25xy 21 24,25 2514 ,1.xtyt 3cos ,sinxy14 ,1,xtyt 3cos14 即3cos +4sin =3,3+8sin cos =3,即2sin=0,由此可得sin=0或tan=,所以或故可得交点坐标为(3,0)或.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-

19、4=0,故C上的点(3cos ,sin )到l的距离为d=.当a-4时,d的最大值为,由题设得=,所以a=8;当a-4时,d的最大值为,212sin22224cos3sin222243cos1,sin07cos,2524sin,25 21 24,25 25|3cos4sin4|17a917a917a17117a 由题设得=,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.117a 175.(2015课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t0),其中0.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin ,C3:=2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标;(

20、2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.cos ,sinxtyt3解析解析(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.3222220,2 30,xyyxyx0,0 xy3,23.2xy3 3,22(2)曲线C1的极坐标方程为=(R,0),其中0.因此A的极坐标为(2sin ,),B的极坐标为(2cos ,).所以|AB|=|2sin -2cos |=4.当=时,|AB|取得最大值,最大值为4.33sin356思路分析思路分析 (1)将曲线C2与C3的极坐标方

21、程两边同乘,即可化为直角坐标方程,联立即可求出交点的坐标;(2)将C1的参数方程化为普通方程,再转化为极坐标方程,从而得出|AB|的表达式,然后求其最值即可.B B组组 自主命题自主命题省省( (区、市区、市) )卷题组卷题组考点一极坐标方程考点一极坐标方程1.(2015广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为(cos +sin )=-2,曲线C2的参数方程为(t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为 .2,2 2xtyt 答案答案(2,-4)解析解析曲线C1:cos +sin =-2的直角坐标

22、方程为x+y=-2,曲线C2:的普通方程为y2=8x,由解得则C1与C2交点的直角坐标为(2,-4).2,2 2xtyt 22,8xyyx 2,4,xy 评析评析本题考查直线的极坐标方程向直角坐标方程的转化,及抛物线的参数方程向普通方程的转化,考查基本运算能力、转化能力,属中档难度题.2.(2019江苏,21B,10分)选修44:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知两点A,B,直线l的方程为sin=3.(1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.3,42,24解析解析本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.(1)设极点为O.在OAB中,A,B,由余弦定理,得AB=

23、.(2)因为直线l的方程为sin=3,则直线l过点,倾斜角为.又B,所以点B到直线l的距离为(3-)sin=2.3,42,2223( 2)2 32cos24 543 2,2342,2223423.(2018江苏,21C,10分)选修44:坐标系与参数方程在极坐标系中,直线l的方程为sin=2,曲线C的方程为=4cos ,求直线l被曲线C截得的弦长.6解析解析本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.因为曲线C的极坐标方程为=4cos ,所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆,因为直线l的极坐标方程为sin=2,所以直线l过点(4,0),倾斜角为,设A(4,0),则A为直线

24、l与圆C的一个交点.设另一个交点为B,则OAB=.666连接OB,因为OA为直径,所以OBA=,所以AB=4cos=2.因此,直线l被曲线C截得的弦长为2.2633一题多解一题多解把直线和曲线的极坐标方程化成直角坐标方程得到l:x-y-4=0,C:x2+y2-4x=0,则C:(x-2)2+y2=4,半径R=2,圆心C(2,0)到l的距离d=1,因此,直线l被曲线C截得的弦长为2=2.32222Rd3考点二参数方程考点二参数方程(2016江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的

25、长.11,232xtyt cos ,2sinxy解析解析由题意知椭圆C的普通方程为x2+=1.将直线l的参数方程代入x2+=1,得+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.所以AB=|t1-t2|=.24y11,232xtyt 24y2112t2324t167167评析评析本小题主要考查直线和椭圆的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.C C组组 教师专用题组教师专用题组考点一极坐标方程考点一极坐标方程1.(2015湖南,12,5分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为=2s

26、in ,则曲线C的直角坐标方程为 .答案答案 x2+y2-2y=0解析解析由=2sin ,得2=2sin ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.2.(2015课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为=(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.4解析解析(1)因为x=cos ,y=sin ,所以C1的极坐标方程为cos =-2,C2的极坐标方程为2-2cos -4sin +4=0.(5分)(2)将=代

27、入2-2cos -4sin +4=0,得2-3+4=0,解得1=2,2=.故1-2=,即|MN|=.由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为.(10分)422222123.(2013课标,23,10分)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02).45cos ,55sinxtyt解析解析(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将代入x2+y2-8x-10y+16=0得

28、2-8cos -10sin +16=0.所以C1的极坐标方程为2-8cos -10sin +16=0.(2)C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为,.45cos ,55sinxtytcos ,sinxy2222810160,20,xyxyxyy1,1xy0,2.xy2,42,2思路分析思路分析 (1)利用sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程;再利用互化公式得到C1的极坐标方程;(2)先求出C2的直角坐标方程,再将两圆方程联立求出其交点坐标,最后利用互化公式求出交点的极坐标.4.(2011课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1

29、的参数方程为(为参数),M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.2cos ,22sinxyOPOM3解析解析(1)设P(x,y),则由条件知M.由于M点在C1上,所以即从而C2的参数方程为(为参数).(2)曲线C1的极坐标方程为=4sin ,曲线C2的极坐标方程为=8sin .射线=与C1的交点A的极径为1=4sin,射线=与C2的交点B的极径为2=8sin.所以|AB|=|2-1|=2.,2 2x y2cos ,222sin .2xy

30、4cos ,44sin .xy4cos ,44sinxy33333评析评析本题考查曲线的参数方程、极坐标方程及极径的几何意义,属中等难度题.考点二参数方程考点二参数方程1.(2016课标全国,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.cos ,sinxtyt10解析解析(1)由x=cos ,y=sin 可得圆C的极坐标方程为2+12cos +11=0.(3分)(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方

31、程为=(R).设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得2+12cos +11=0.(6分)于是1+2=-12cos ,12=11.|AB|=|1-2|=.(8分)由|AB|=得cos2=,tan =.所以l的斜率为或-.(10分)21212()4 2144cos44 1038153153153方法总结方法总结 利用整体运算的技巧可以大大提高解题效率.思路分析思路分析 (1)利用互化公式求出C的极坐标方程;(2)先把直线的参数方程化为极坐标方程,代入圆的极坐标方程,建立关于的一元二次方程,再利用根与系数的关系及弦长公式即可解决问题.2.(2016课标全国,23,10

32、分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.3cos ,sinxy42解析解析(1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos ,sin ).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值,d()=.(8分)当且仅当=2k+(kZ)时,d()取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.

33、(10分)23x3|3cossin4|22 sin23623 1,2 2解析解析(1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos ,sin ).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值,d()=.(8分)当且仅当=2k+(kZ)时,d()取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.(10分)23x3|3cossin4|22 sin23623 1,2 2思路分析思路分析 求圆上一动点到直线上点的距离的最小值时,利用圆的参数方程化为三角函数的最值问题,能极大提高解题效率.3.(2015陕西,23,10

34、分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为=2sin .(1)写出C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.13,232xtyt3解析解析(1)由=2sin ,得2=2sin ,从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)设P,又C(0,),则|PC|=,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3,0).3333133,22tt322133322tt212t 4.(2014课标,23,10分)已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).(1)写出曲

35、线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.24x29y2,22xtyt解析解析(1)曲线C的参数方程为(为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离d=|4cos +3sin -6|,则|PA|=|5sin(+)-6|,其中为锐角,且tan =.当sin(+)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(+)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.2cos ,3sinxy55sin30d2 554322 552 555.(2014课标,23,10分)

36、在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为=2cos ,.(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.0,23解析解析(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0y1).可得C的参数方程为(t为参数,0t).(2)设D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同.tan t=,t=.故D的直角坐标为,即.1cos ,sinxtyt 331cos,sin3333,226

37、.(2013课标,23,10分)已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=与t=2(02),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.2cos ,2sinxtyt解析解析(1)依题意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2).M的轨迹的参数方程为(为参数,02).(2)M点到坐标原点的距离d=(02).当=时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.coscos2 ,sinsin2xy22xy22cos思路分析思路分析 (1)根据题意写出

38、P,Q两点的坐标,再利用中点坐标公式得PQ中点M的坐标,从而得出M的轨迹的参数方程;(2)利用两点间的距离公式得到M到坐标原点的距离,再验证当=时,d=0,即可得M的轨迹过坐标原点.7.(2012课标全国,23,10分)已知曲线C1的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.(1)求点A,B,C,D的直角坐标;(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.2cos ,3sinxy2,3解析解析(1)由已知可得A,B

39、2cos+,2sin+ ,C2cos+,2sin+ ,D2cos+,2sin+ ,即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).(2)设P(2cos ,3sin ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2+36sin2+16=32+20sin2.因为0sin21,所以S的取值范围是32,52.2cos,2sin333232333323323333评析评析本题考查了曲线的参数方程和极坐标方程.考查了函数的思想方法.正确“互化”是解题的关键.难点是建立函数S=f().考点一极坐标方程考点一极坐标方程三年模拟A A组组 20172019 20172019

40、年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组1.(2018河南安阳二模,22)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+y=5,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为=4sin .(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程;(2)射线OP:=与圆C的交点为O,A,与直线l的交点为B,求线段AB的长.336解析解析(1)因为x=cos ,y=sin ,直线l:x+y=5,所以直线l的极坐标方程为cos +sin =5,(2分)化简得2sin=5.(3分)由=4sin ,得2=4sin ,所以x2+y2=4y,即x2+y2-4y=0,故圆C的直角坐标方程为x2+y2

41、-4y=0.(5分)(2)由题意得A=4sin=2,(7分)B=5,(9分)所以|AB|=|A-B|=3.(10分)33336365 32sin662.(2019湖北黄冈模拟二,22)极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点为极点,以x轴正半轴为极轴,曲线C1的极坐标方程为=4cos ,曲线C2的参数方程为(t为参数,02,|PQ|的最小值即为圆心(-2,1)到直线3x-4y-10=0的距离减去圆的半径,(8分)|PQ|的最小值为4-2=2.(10分)22cos ,12sinxy 22| 2 34 1 10|3( 4) 205思路分析思路分析 (1)由消去能求出曲线C的普通方程,由直

42、线的极坐标方程能求出直线l的直角坐标方程.(2)曲线C是圆心为(-2,1),半径为2的圆,l:3x-4y-10=0,圆心到直线l的距离为4,判断出直线与圆相离,所以|PQ|的最小值即为圆心(-2,1)到直线3x-4y-10=0的距离减去圆的半径,由此求出结果.22cos ,12sinxy 2.(2018广东肇庆二模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,0),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是+=4cos +4sin .(1)当=时,直接写出C1的普通方程和极坐标方程,直接写出C2的直角坐标方程;(2)已知点P,且曲线C1和C2交于A,

43、B两点,求|PA|PB|的值.cos ,1sinxtyt 721,2解析解析(1)曲线C1的参数方程为(t为参数,0),消去参数t,得C1的普通方程为xsin -ycos +cos =0.(1分)=,C1的普通方程为x=0,(2分)曲线C1的极坐标方程为cos =0.(3分)曲线C2的极坐标方程是+=4cos +4sin ,即2+7=4cos +4sin ,C2的直角坐标方程为x2+y2+7=4x+4y,即(x-2)2+(y-2)2=1.(5分)(2)将(t为参数)代入(x-2)2+(y-2)2=1中,化简得t2-2(sin +2cos )t+4=0,(7分)设A,B对应的参数分别为t1,t2

44、,则t1t2=4,(8分)|PA|PB|=|t1t2|=4.(10分)cos ,1sinxtyt 27cos ,1sinxtyt 技巧点拨技巧点拨 对于距离的乘积问题,注意运用直线的参数方程中参数的几何意义及根与系数的关系解决.3.(2018广东茂名二模,22)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=,直线l的参数方程为(t为参数,00),直线l与曲线C交于M、N两点.(1)求曲线C的直角坐标方程和点A的极坐标;(2)若=3,求实数m的值.1,2xtyt PNPM解析解析(1)曲线C的直角坐标方程为y2=mx(m0),直线l的普通方程

45、为y=x-1,直线l与y轴交于A(0,-1),A的极坐标为.(5分)(2)直线l的参数方程可化为(t为参数),代入抛物线的方程得t2-(4+m)t+8+2m=0,设M,N对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=4+m,t1t2=8+2m,=3,t1=3t2,m=或m=-4(舍),m的值为.(10分)31,221,2222xtyt 2222PNPM22244 22 ,382 ,tmtm4343B B组组 2017201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组(时间:50分钟分值:80分)解答题(共80分)1.(2018河南洛阳二模,22)在直角坐标系xOy中,以O为极点,

46、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为sin =4,曲线C2的极坐标方程为2-2cos -4sin +1=0,曲线C3的极坐标方程为=(R).(1)求C1与C2的直角坐标方程;(2)若C2与C1交于P点,C2与C3交于A,B两点,求PAB的面积.4解析解析(1)曲线C1的极坐标方程为sin =4,曲线C1的直角坐标方程为y=4,(2分)曲线C2的极坐标方程为2-2cos -4sin +1=0,曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2x-4y+1=0,(3分)即(x-1)2+(y-2)2=4.(4分)(2)曲线C3的极坐标方程为=(R),曲线C3的直角坐标方程为y=x,(5分)

47、联立C1与C2的方程得得x2-2x+1=0,解得x1=x2=1,点P的坐标为(1,4),(6分)点P到C3的距离d=.(7分)设A(1,1),B(2,2).4224,(1)(2)4,yxy|14|23 22将=代入C2,得2-3+1=0,(8分)则1+2=3,12=1,(9分)|AB|=|1-2|=,SPAB=|AB|d=.(10分)42221212()4 141212143 223 72思路分析思路分析 第(2)问由曲线C3的极坐标方程求出曲线C3的直角坐标方程,联立C1与C2的方程得x2-2x+1=0,解得点P的坐标为(1,4),从而求得点P到C3的距离d=.设A(1,1),B(2,2).

48、将=代入C2,得2-3+1=0,求出|AB|,由此能求出PAB的面积.3 22422.(2018湖南岳阳二模,22)已知曲线C的极坐标方程是=2cos ,若以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,且取相同的单位长度建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数).(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程;(2)设点P(m,0),若直线l与曲线C交于A,B两点,且|PA|PB|=1,求非负实数m的值.3,212xtmyt解析解析(1)由x=cos ,y=sin ,x2+y2=2,曲线C的极坐标方程是=2cos ,即2=2cos ,(2分)得x2+y2=2x,即曲线C的直角坐标方

49、程为(x-1)2+y2=1,(3分)由直线l的参数方程(t为参数),可得其普通方程为x-y-m=0.(5分)(2)将(t为参数)代入圆(x-1)2+y2=1,可得t2+(m-1)t+m2-2m=0,(*)(6分)由=3(m-1)2-4(m2-2m)0,可得-1m3,(7分)由m为非负数,可得0m3.设t1,t2是方程(*)的两根,则t1t2=m2-2m,(8分)由|PA|PB|=1,可得|m2-2m|=1,3,212xtmyt33,212xtmyt3解得m=1或1,(9分)因为0m3,所以m=1或1+.(10分)223.(2019河南六市第二次联考,22)在直角坐标系xOy中,抛物线C的方程为y2=4x.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A、B两点,且|AB|=4,求l的倾斜角.2cos ,sinxtyt6解析解析(1)把代入y2=4x,得sin2-4cos =0.(4分)(2