(完整word版)行列式知识点,推荐文档

1、行列式一、二阶行列式概念： 形如 a11a12的式子称为二阶行列式；数学规定a11a12a11a22a12a21 ；a21a22a21a22a11a12a13二、三阶行列式： 形如 a21a22a23的式子称为三阶行列式。a31a32a33a11a12a13规定 a21a22a23a11a22a33 a12a23a31a13a21a32a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32a31a32a33a11a12a13a21a22a23a11 (a22a33a23a32 )a12 (a23a31a21a33 )a13 (a21a32a22a31 )a31a32a33a22a23a23

2、a21a21a22a22a23a21a23a21a22a11a32a33a12 a33a31a13a31a32a11 a32a33a12 a31a33 a13a31a32a11A11a12 A12a13 A13三、 n 阶行列式的定义a11a12La1n定义： n 阶行列式 Da21a22La2 n等于所有取自不同行、不同列的n 个元素的乘积MM OMan1an 2Lann1 p12 p2anpn 的代数和，其中 p pp 是 1， 2， ，n 的一个排列，每一项的符号由其逆序数a aL1 2na11a12La1n决定。 D0a22La2n1t 12L na11a22 L anna11a22

3、L ann 也可简记为 det aij，其中 aij 为行MMOM00Lann列式 D 的（ i，j 元）。a11a12La1na21a22La2n1t p1 p2L pna1p1 a2 p2L anpn根据定义，有 DMMOMp1 p2L pnan1an2Lann代数余子式和余子式的关系：M ij(1)ij AijAij ( 1)i j M ij四、行列式按行（列）展开1余子式在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的n阶行列式叫做1元素 aij 的余子式，记作 M ij 。代数余子式记Aij1 i jM ij ，叫做元素 aij 的代数余子式。确定某个

4、元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式； 而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置( 即第 i 行，第 j 列) 有关，其代数余子式的正负号是“( 1)i j”引理一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除（ i，j） (i, j ) 元外 aij 都为零，那么这行列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积，即D aijAij。a11a12La1n定理 n 阶行列式Da21a22La2 n 等于它的任意一行 （列）的各元素与其对应的代数余子式MMOMan1an2Lann的乘积之和，即 Dai1 Ai1ai 2 Ai 2 Lai

5、n Ain ， (i1,2,L ,n) 或 D a1 j A1 j a2 j A2 jLanj Anj ，( j 1,2,L , n) 。五、行列式的性质定义行列互换，行列式不变即a11a12a1na11a21an1a21a22a2na12a22an2 .an1an2anna1na2nanna11a12La1na11a21Lan1记 Da21a22La2 n， DTa12a22Lan 2T称为行列式 D 的转置行列式。MM OMMMOM，行列式 Dan1an 2anna1na2nLann性质 1行列式与它的转置行列式相等。DT D性质 2行列式的两行对换，其值变号。即2a11a12a1na11

6、a12a1nai1ai 2ainak1ak 2aknak1ak 2aknai1 ai 2ainan1an 2ann =- an1an 2ann .性质 3一个数乘行列式的一行（或列） ，等于用这个数乘此行列式即a11a12a1na11a12a1nkai1k ai2k aink ai1ai2ain .a n1a n2annan1 an2ann性质 4行列式中的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面;性质 5行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零即a11a12a1, n-1a1n00000.an1an2an,n-1ann性质 6如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例 ，那么行列

7、式为零即a11a12a1 na11 a12a1 nai 1ai 2ainai1 ai 2ainkka i1kai 2ka inaan1an2annai1ai 2ainn1an 2ann =0.性质 7若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和。a11a12L(a1ia1i )La1na11a12La1iLa1na11a12La1iLa1na21a22L(a2ia2 i )La2na21a22La2iL a2 na21a22La2iL a2 nDMMLLLLLL LLLLM Man1an2L(aniani )Lannan1an 2LaniLannan1an 2Lan

8、iLann性质 8把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行3列式的值不变。a11a12a1na11 a12a1nai1cak1ai 2ca k2aincaknai1ai 2ainak1ak2aknak1 ak2aknan1an2anna n1 an2ann .性质 9 行列式中按任一行展开，其值相等，按任一列展开也一样。六、几个特殊的行列式： 主对角行列式：主对角元素的乘积； 副对角行列式：副对角元素的乘积n (n1)(1)2； 上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积；a11a12a13a1 na11a22a23a2 na21a22形如a33a3n， a31a32a 33这样的行列式， 形状像个三角形， 故称为annan1 an2 an3ann“三角形”行列式推论 1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积。a11a12La1n即0a22La2 nt 12LnannDMOM1a11a22 L ann a11a22 LM00Lann推论 2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于1n n12乘以其副对角线上各元的乘积。1122n n1即1 2 Ln ，121 2 LnONnn七、行列式的计算：利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三