(完整word版)二次根式知识点+例题分析+难题拓展+测试,推荐文档

1、二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件， 如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例 1下列式子， 哪些是二次根式， 哪些不是二次根式：2、33、1、 x （ x>0）、0、42、x- 2 、1x y （x0， y 0）、xy分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0知识点二：取值范围1、二次根式有意义的条件： 由二次根式的意义可知， 当 a0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义

2、，只要使被开方数大于或等于零即可。2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0 时，没有意义。例 2当 x 是多少时，3x1 在实数范围内有意义？例 3当 x 是多少时，2x3 +1在实数范围内有意义？x1知识点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质， 和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多， 如若，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0

3、 ；若，则 a=0,b=0。-1- / 21例 4(1)已知 y=2x +x2 +5，求 x 的值 (2)若a1 +b1 =0，求 a2004+b2004 的值y知识点四：二次根式（）的性质1（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.例 1计算1（3 ）22（3 5 ）23（5 ）24（ 7 ）2262例 2 在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3（2）x4-4(3) 2x2-3知识点五：二次根式的性质2文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、

4、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数， 若是正数或 0，则等于 a 本身，即；若 a 是负数，则等于a 的相反数 -a, 即；2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。例1化简（1）9（2）( 4)2（3）25（4）( 3)2-2- / 21例 2 填空：当 a 0 时， a2=_；当 a<0 时，a2 =_， 并根据这一性质回答下列问题（ 1）若a2，则a可以是什么数？（2）若a2，则a 是什么数？ （3）a2>a，则 a=a=-a是什么数？例 3 当 x>2，化简(x2)2

5、-(1 2 x) 2 知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方， 而表示一个实数 a 的平方的算术平方根； 在中，而中 a 可以是正实数， 0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数， 即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的乘除1、 乘法a · b ab （a0，b0）反过来：ab =a · b （a0，b0）aaaab （a0，b>0）b （a0，b>0）2、除法b =反过来， b =（思考： b 的取值与 a 相同吗？为什么？不相同，因为b 在分

6、母，所以不能为0）例 1计算（1）4 5× 71（3） 9× 271（2）×9（4）×632例 2化简（1） 9 16（2） 16 81（3） 9x2 y2（4） 54例 3判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1） (4) (9)49412121212××××（2）25 =425 =4=8 32525 =42525-3- / 21例 4计算：（1） 12（ 2）3111642（3）4（4）38168例 5 化简：329 x5x（2）64b（1）（3）（ 4）649a264y2169y2例 6已知9x9x ，

7、且 x 为偶数，求（ 1+x）x2 5x 4 的值x6x6x2 13、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数 不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中 不含开得尽方的因数或因式（熟记 20 以内数的平方； 因数或因式间是乘积的关系， 当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是 2（或 2 的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式）例 1把下列二次根式化为最简二次根式 (1) 35; (2) x2 y4x4 y2 ; (3) 8x2 y3124、化简最简二次根式的方法：(1) 把被开方数 (或根号下的代数式 )化成积的形式，即

8、分解因式；(2) 化去根号内的分母（或分母中的根号） ，即分母有理化；(3) 将根号内能开得尽方的因数 (或因式 )开出来（此步需要特别注意的是： 开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）5. 有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：与；与；与；与说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。判断是否是同类二次根式时 务必将各个根式都化为最简二次根式。如8与 18知识点八：二次根式的加减1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，

9、二次根式部分不变） ，不能合并的直接抄下来。例 1计算（ 1）8 +18（2）16x +64x例 2计算-4- / 21112（2）（ 48 +20 ）+（ 12 -5 ）（1）3 48 -9+33例 3已知 4x2 2，求（ 2 x 9x2x ）-（ x21y）的值+y -4x-6y+10=0+yy3x-5x3x2、二次根式的混合运算：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减3、二次根式的比较：（1）若，则有；（ 2）若，则有（ 3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小例 4比较 3 12与4 5的大小【典型例题】1、概念与性质例 1、下列各式1） 1,2)5,3)x22

10、, 4) 4,5)(1)2 ,6)1a,7)a22a 1 ，53其中是二次根式的是 _（填序号）例 2、求下列二次根式中字母的取值范围x 51x ；（ 2） (x - 2)2（1）3例 3、 在根式 1)a2b2 ;2)x ;3)x2xy;4)27abc ，5最简二次根式是（）A1) 2) B3) 4)C 1) 3)D 1) 4)y18x8x11,求代数式 xy2xy2的值。例 4、已知：2yxyx例 5、已知数 a，b，若(a b)2=ba，则 ( )A. a>bB. a<bC. a bD. a b-5- / 212、二次根式的化简与计算例 1. 将根号外的 a 移到根号内，得(

11、)A.；B.；C.；D.1例 2. 把（ ab） ab 化成最简二次根式例 3、计算：例 4、先化简，再求值：11b5151a bba(a b) ，其中 a=，b=22例 5、如图，实数 a 、 b 在数轴上的位置，化简：a2b2(ab)23、比较数值（1）、根式变形法当 a0, b0 时，如果 ab ，则ab ；如果 ab ，则ab 。例1、 比较 3 5 与5 3 的大小。（ 2）、平方法-6- / 21当 a0, b0 时，如果 a2b2 ，则 ab ；如果 a2b2 ，则 ab 。例 2、比较 3 2与2 3的大小。（ 3）、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。例 3、比

12、较2与1的大小。3211（ 4）、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。例 4、比较1514 与1413 的大小。（ 5）、倒数法例 5、比较76与65 的大小。（6）、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质： a b 0a b ； a b 0a b例 6、比较21 与2 的大小。3134、规律性问题例 1.观察下列各式及其验证过程：， 验证：；验证 :.（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4 4 的变形结果，并进行验证；15（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n 2，且 n 是整数 )表示的等式，并给出验证过程 .例 3、已知 a>b>0，a

13、+b=6ab ，则ab 的值为（）abA2C21B 2D22例 4、甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形：甲：=；-7- / 21乙：=。其中（）A. 甲、乙都正确B. 甲、乙都不正确C. 只有甲正确D. 只有乙正确课堂练习：1.使式子x4 有意义的条件是。2.当 _时，x212x 有意义。3.若m1有意义，则 m的取值范围是。m14.当 x _ 时，1x2 是二次根式。5.在实数范围内分解因式： x49_, x222x2_ 。6.若 4x22x ，则 x 的取值范围是。7.已知x222x ，则 x 的取值范围是。8.化简：x22x1 x p 1 的结果是。9.当 1x p 5 时，x2x5

14、_。110.把 a1 的根号外的因式移到根号内等于。a11.使等式x1x1x1gx 1 成立的条件是。12.若 a b1 与 a2b4互为相反数，则a2005b_ 。13.在式子xx f0, 2,y1 y2,2xx p 0,33,x21, x y 中，二次根式有（）2A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个14.下列各式一定是二次根式的是（）A.7B.32mC.a21D.ab15.若 2 p a p3，则22a2等于（）a3A.5 2aB.1 2aC.2a5D.2a116.若 Aa244A（），则A.a24 B.a22 C.a22a222D.4-8- / 2117.若 a1 ，则1a3）化简后

15、为（A.a1a1B.1a1aC.a11aD.1aa118.能使等式xx成立的 x 的取值范围是（）x2x2A. x 2 B.x 0 C.x f 2 D.x 219.计算：2a1212a2的值是（）A. 0B.4a2C.24aD.24a 或 4a 221.若 xyy24 y40，求 xy 的值。22.当 a 取什么值时，代数式2a11取值最小，并求出这个最小值。24.已知 x23x 10 ，求x212 的值。x225.已知 a, b 为实数，且 1ab11 b 0 ，求 a2005b2006 的值。26.化简：1 . a3b5 a0,b02 .xy3 . a3a21xya二次根式的乘除1.当 a

16、0 ， b p 0 时， ab3_ 。2.若2m n 2 和33m 2 n2 都是最简二次根式，则 m_, n_ 。3.计算：23_;36 9_ 。4.计算：483273_ 。5.长方形的宽为3 ，面积为2 6 ，则长方形的长约为（精确到 0.01 ）。6.下列各式不是最简二次根式的是（）A.a21B.2x 1C.2bD.0.1y4-9- / 217.已知 xy f 0，化简二次根式 xy的正确结果为（）x2A.yB.yC.yD.y8.对于所有实数 a,b ，下列等式总能成立的是（）A.ab2a bB.a2b2a bC.a2b22a2b2D.2a ba b9.2 3 和32 的大小关系是（）A

17、.2 3 f32B.2 3 p3 2C.233 2 D. 不能确定10.对于二次根式x29 ，以下说法中不正确的是（）A. 它是一个非负数B.它是一个无理数C. 它是最简二次根式D.它的最小值为 311. 计算：1 . 23 22 .5 x3x33 .5 ab4 a3ba0,b04 . a3b6ab a f 0,b f 021.3二次根式的加减1.下列根式中，与3 是同类二次根式的是（）A.24B.12C.318D.22.下面说法正确的是（）A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B.8与80 是同类二次根式C.2 与1 不是同类二次根式D.同类二次根式是根指数为2 的根式503.与a3

18、b 不是同类二次根式的是（）-10- / 21A.abB.bC.1D.b2aaba34.下列根式中，是最简二次根式的是（）A.0.2bB.12a12bC.x2y2D.5ab25.若 1 p x p2 ，则44xx2x22x 1 化简的结果是（）A.2x 1B.2x1C. 3D. -36.若 18 x2 xx210，则 x 的值等于（）2xA. 4B.2C. 2D.47.若3 的整数部分为 x ，小数部分为 y ，则3xy 的值是（）A.3 33 B.3C.1 D.38.下列式子中正确的是（）A.527B.a2b2a bC. a x b xa b xD.68343 229.在 8, 12, 18

19、,20中，与2 是同类二次根式的是。10.若最简二次根式 a 1 2a5 与3b4a 是同类二次根式，则 a_, b _ 。11. 一个三角形的三边长分别为8cm, 12cm, 18cm ，则它的周长是cm 。12.若最简二次根式 34a21 与 2 6a21 是同类二次根式，则 a_。2313.已知 x32, y32 ，则 x3 yxy3_ 。14.已知 x3 ，则 x2x1 _ 。315.200020013 2g3 2_ 。16.计算：.11248.48 54231212 31533 1333. 7437432. 122223 5 12 13 12 1 3-11- / 2117. 计算及化

20、简：122aba b2 ab.1.aaababaa.xyyxyxxy . a 2 ab baabbax yyxyxxya bab babab18. 已知： x32, y32 ，求x3xy2x2 y3的值。3232x4 y 2x3 y219. 已知： a1110 ，求 a21的值。aa2x 3 yx291 的值。20. 已知3 20，求 xxy1-12- / 21一、选择题（每题2 分，共20 分）1.下列各式中一定是二次根式的是（）A.7B. 32mC. x21D.3ab2.如果52x是二次根式，那么x 应满足的条件是（）A. x5B. x5C. x 5D. x 522223.当 x=3 时，

21、在实数范围内没有意义的是（）A.x 3B.3 xC. x23D.3 x24.化简二次根式(3)26得（）A.36B.36C. 18D. 65.等式 (a 1)(1a)a 1 ?1a 成立的条件是（）A. a1B. a1C. 1<a1D.1a 16.下列各式计算正确的是（）A.83?23 163B.53?52 56C.43?22 86D.43?22 857.若 A(a29)4，则A 等于（）A.a23B. (a23)2C. (a29) 2D. a298.化简25 1 等于（）4A.5 1B.101C. 5D. 11012222-13- / 219. 等式xx 成立的条件是（）1x1 xA.

22、10. 当x0B. x<1C. 0x<1D. x0 且 x1a3 时，化简(2 a1)2( a3)2 的结果是（）A. 3a 2B.3a2C. 4 aD. a 4二、填空题（每题3 分，共24 分）11.如果1是二次根式，则x 的取值范围是。1x12.若 n<0 ，则代数式27m3n2=。13.化简 75=，0.0449 =， 5 =。810.25121514.计算 27541348 =。2715.已知 12a12 a8a6 ，则 a。188416.若 2m 与 2m3 是同类二次根式，则m =。6417.(a 2)22a 成立的条件是。18.若 n<m ，则 m22m

23、n n2=。三、解答题 (共 56 分 )19. 分别指出 x 取哪些实数时，式子有意义。 （每小题 3 分，共 6 分）（1） 12 ；（ 2） 2 x ；xx 1-14- / 2120. 计算（每小题 4 分，共 16 分）（ 1） 45 10811125 ；（2） 32( 633 1176)32352610（ 3） (4b a2a3b) (3a b9ab )（4）1121n2 (m>n)baamnm nm21. 已知 xy 5 ， x ? y3 ，计算yxxy的值。（5 分）22. 已知实数 a, b, c 满足a1 |b1|c24c40 ，求 a100b100c3 的值。（ 5

24、分）-15- / 2123. 若 a b 5 2 1， ab2 ，求代数式 (a 1)(b 1) 的值。（ 6 分）24. 已知 A1, B12, 求 11的值。（ 6 分）3223 2A 1B125. 已知 a11 10 ，求 a21aa2的值。（ 6 分）综合、运用、诊断一、填空题112 x 表示二次根式的条件是_12使 2xx1 有意义的x 的取值范围是 _13已知x 1 1xy4 ，则 xy 的平方根为 _14当 x= 2 时， 12xx 21 4x 4 x2 _二、选择题-16- / 2115下列各式中， x 的取值范围是x 2 的是 ( )Ax 2B1C1D1x22x2 x116若

25、 | x5 | 2y20 ，则 x y 的值是 ()A 7B 5C 3D 7三、解答题17计算下列各式：(1)(3.142;(2) (322;(3)2)12;(4) (32.)(0.)35218当 =2， = 1，= 1 时，求代数式bb 24ac 的值abc2a拓广、探究、思考19已知数a， b， c 在数轴上的位置如图所示：化简： a 2| a c |(c b) 2| b | 的结果是： _ 20已知 ABC的三边长a， b， c 均为整数，且 a 和 b 满足 a 2 b 26b 90. 试求 ABC的 c 边的长综合、运用、诊断一、填空题9定义运算“ ”的运算法则为： x yxy4,

26、则 (26)6=_10已知矩形的长为2 5cm ，宽为 10cm ，则面积为 _cm211比较大小： (1)32 _ 2 3 ；(2) 52 _ 43；(3) 22 _ 6 二、选择题12若 a2bab 成立，则 a， b 满足的条件是 ( )A a0 且 b 0B a 0 且 b 0C a 0 且 b 0D a，b 异号13把 4 23根号外的因式移进根号内，结果等于( )4A11B 11C44D2 11三、解答题-17- / 2114计算： (1)53xy36x_ ；(2)27a 29a 2b 2_；(3)12221_ ；(4)3 ( 312 )_31215若 ( xy 2) 2 与xy2

27、互为相反数，求 ( x y) x 的值拓广、探究、思考16化简： (1) (21)10 (21)11_；(2)(31)(31)_综合、运用、诊断一、填空题7化简二次根式： (1)26_(2)11_(3)4_838计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：(1)1_(2)22x_(3)_(4)5x235 y9已知 31.732, 则127_ ( 结果精确到 0 001)_；3二、选择题10已知 a31， b2，则 a 与 b 的关系为 () 31A a=bB ab=1C a= bD ab= 111下列各式中，最简二次根式是( )Ax1BaC x24D 5a2 byb三、解答题12计算： (1)ba3;(2)2y;(3)ababb12 xyaba3-18- / 2113当 x42 , y42 时，求x22xyy2 和 xy2 x2y 的值拓广、探究、思考14观察规律：11,1123, 并求值232,213223(1)1_； (2)1_； (3)1_ 72 21110nn115试探究a2、(a) 2 与 a 之间的关系综合、运用、诊断一、填空题12已知二次根式a b 4b 与3ab 是同类二次根式，( a b) a 的值是 _13 28ab3 与 6ba 无法合并，这种说法是 _ 的 ( 填“正确”或“错