(完整word)四边形综合题(含答案),推荐文档

1、四边形综合题?，点 D 是边 BC 上的一个动1. 已知 ?= 90，?= ?是等腰直角三角形，点 (不运动至点，点 E 在 BC 所在直线上，连结，且 ?= 45?，?)?， ?(1) 若点 E 是线段 BC 上一点，如图 1，作点 D 关于直线 AE 的对称点 F，连结?，?，?，? 求证： ? ?； 若 ?= 1，?= 2 ，求 CE 的长；(2) 如图2?=8， ?= 2 ，求 CE 的长 . ( 直接写出答案即可 )，若5【答案】 解： (1) 点 D 与点 F 关于直线AE 的对称，?垂直平分DF ，?= ?， ?= ?= 45 ，即 ?= 90 ， ?+ ?= 90 ， ?= 9

2、0 ， ?+ ?= 90 ， ?= ?，在 ?与?中，?= ? ?= ?，?= ? ?(?)； 由 可得： ? ?， ?= ?= 45?= 1， ?= ?= ?+ ?=90 ，?垂直平分 DF ，?= ?= 2 ，22?= ?- ? = 3；(2)?= 3 或 54理由：如图所示，当点E 在 BC 延长线上时，作点D 关于直线 AE 的对称点 F，连结，?，?， ?根据 ?，可得 ?=8?= 5 ，第1页，共 14页在等腰直角三角形ABC 中， ?= 2 ，?=2，?=2，52?= ?+ 5 = ?，28222，在 ?中， ?+ (5 )= (?+ 5)解得 ?= 3；如图所示， 当点 E 在

3、线段 BC 上时，作点 D 关于直线 AE的对称点 F ，连结，?，?，?根据 ?，可得 ?= ?= 2，52?= ?- 5 = ?，又 ?= ?- ?= 2 - ?，22+ (2-222，在 ?中，( )?) = (?-)55解得 ?=54【解析】 (1) 根据轴对称的性质，得到?= ?，?=?= 45 ，再根据同角的余角相等，得到?= ?，即可判定 ?(?)； 由 可得： ? ?，据此得出 ?=1 ，进而得到 ?= 45 ，?= ?= ?= ?+ ?= 90?= 2，运用勾股定理求得CE 即可；，再根据 ?=(2) 分两种情况进行讨论：当点E 在 BC 延长线上时，作点 D 关于直线 AE

4、 的对称点 F ，连结；当点 E 在线段 BC 上时，作点 D 关于直线 AE 的对称点 F，连结?，?，?分别根据全等三角形的性质以及勾股定理，求得CE 的长即可?，?， ?.本题属于三角形综合题， 主要考查了全等三角形的性质以判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及对称轴的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法，解题时注意分类思想的运用2. 如图 ，在矩形 ABCD 中， ?=3 ，?= 3，在 BC 边上取两点 E、?(点 E 在点F 的左边 )，以 EF 为边所作等边 ?，顶点 P 恰好在 AD 上，直线 PE、 PF 分别交直线 AC 于点 G、 H(1) 求?的边

5、长；(2) 若?的边 EF 在线段 CB 上移动，试猜想： PH 与 BE 有何数量关系？并证明你猜想的结论；(3) 若?的边 EF 在射线 CB 上移动 (分别如图 和图 所示，? 1， ?不与 A重合 ) ， (2) 中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论第2页，共 14页【答案】 解： (1) 过 P 作 ?于 ?(如图 1) ，四边形 ABCD 是矩形，? ?= 90 ，即，又 ?/?，?= ?= 3，?是等边三角形， ?= 60 ，在 ?中， ?= 30 ，设 ?= 2?，?= ?， ?= 3 ，根据勾股定理得：解得： ?= 1 ，故 ?= 2 ，?的边长为 2；(2)?

6、-?= 1 ，理由如下：在 ?中， ?= 3 ，?= 3，由勾股定理得?= 23，1?= 2 ?， ?= 30 ?/?， ?= 60， ?= 60 ， ?= 30 = ?，?= ?，?是等腰三角形，作 ?于 ?(如图 2)?中， ?= 60 ，1?= 2 ?= 1 ，222，(2?)= ? + (3)?- ?= ?- ?= ?= 1 (3) 结论不成立，当 1 ? 2时， ?= 1 - ?，当 2 ? 3时， ?= ?- 1【解析】 (1) 过 P 作?，垂足为Q，由四边形ABCD 为矩形，得到?为直角，且?/?，得到 ?= ?，又 ?为等边三角形， 根据“三线合一”得到 ?为30 ，在 ?中

7、，设出 QF 为 x，则 ?= 2?，由 PQ 的长，根据勾股定理列出关于x 的方程，求出 x 的值，即可得到 PF 的长，即为等边三角形的边长；(2)?- ?= 1 ，过 E 作 ER 垂直于 AD，如图所示，首先证明?为等腰三角形，在根据矩形的对边平行得到一对内错角相等，可得 ?= 60，在 ? ?中，?=第3页，共 14页由PE求出PR30 ，根据直角三角形中， 30角所对的直角边等于斜边的一半，由 ?= ?，则 ?- ?= ?- ?= ?- ?= ?，即可得到两线段的关系；(3) 当若 ?的边 EF 在射线 CB 上移动时 (2) 中的结论不成立，由 (2) 的解题思路可知当 1 ?

8、2时， ?= 1 - ?，当 2 ? 3 时， ?= ?- 1 此题综合考查了矩形的性质， 等腰三角形的判别与性质、 等边三角形的性质及直角三角形的性质 .学生作第三问时，应借助第二问的结论，结合图形，多次利用数学中等量代换的方法解决问题，这就要求学生在作几何题时注意合理运用各小题之间的联系3. 已知，正方形绕点 A 顺时针旋转，它的两边长分ABCD 中， ?= 45 ，?别交 CB、 ?(或它们的延长线 )于点 M、于点 H?，?(1) 如图 ，当 ?点A 旋转到 ?= ?时，请你直接写出AH 与 AB 的数量关系： _ ；(2) 如图 ，当 ?绕点 A 旋转到 ? ?时， (1) 中发现的

9、 AH 与 AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；(3) 如图 ，已知 ?= 45 ，?于点 H ，且?= 2，?= 3，求 AH 的长【答案】 ?= ?【解析】 解： (1) 如图 ?= ?，四边形 ABCD 是正方形，?= ?， ?= ?= 90 ，?= ?在 ?与 ?中， ?= ?，?= ? ?， ?= ?，?= ?，?， ?=12 ?= 22.5， ?+ ?= 45， ?=22.5 ， ?= ?在 ?与 ?中， ?= ?= 90 ，?= ? ?，?= ?；故答案为： ?= ?；(2) 数量关系成立.如图 ，延长 CB 至 E，使 ?= ?第4页，共 14页?是

10、正方形，?= ?， ?= ?= 90 ，?= ?在 ?和?中， ?= ?，?= ? ?，?= ?， ?= ，? ?= ?= 45，在 ?和?中， ?= ?，?= ?= ?= ?，? ，?= ?， ?、 AH 是 ?和 ?对应边上的高，?= ?；(3) 如图 分别沿 AM 、AN 翻折 ?和?，得到 ?和 ?，?= 2，?= 3， ?= ?= ?= 90 ，分别延长BM 和 DN 交于点 C，得正方形ABCD ，由 (2) 可知， ?= ?= ?= ?= ?，设 ?= ?，则 ?= ?- 2， ?= ?- 3，222，在 ?中，由勾股定理， 得?= ? + ?52 =(?-2) 2 + (?-3

11、) 2，解得 ?1= 6，?2 = -1(不符合题意，舍去 )?= 6 (1) 由三角形全等可以证明 ?= ?，(2) 延长 CB 至 E，使 ?= ?，证明 ? ?，能得到 ?= ?，(3) 分别沿AM、AN 翻折 ?和 ?，得到 ?和 ?，然后分别延长 BM 和DN交于点C，得正方形ABCE，设?= ?，则 ?= ?- 2， ?= ?- 3，在中，由勾股定理，解得x本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，翻折的性质，此题比较典型，具有一定的代表性，且证明过程类似，同时通过做此题培养了学生的猜想能力和类比推理能力4. 已知在四边形 ABCD 中，点 E、 F 分别是 BC、

12、 CD 边上的一点(1)如图1ABCD是正方形时，作出将?绕点A顺时针旋转90度后：当四边形的图形 ?；并判断点MBC三点是否在同一条直线上_(填是或否 ) ；、 、1ABCDEF、BE、(2)如图是正方形时， 且 ?= 45，请直接写出线段：当四边形DF 三者之间的数量关系_ ；(3)2是?的一半，问：(2) 中的数如图?= ?= 90，?：当 ?= ?，量关系是否还存在，并说明理由；(4)在(3)的条件下，将点E 平移到 BC 的延长线上，请在图 3 中补全图形，并写出EF、 BE、 DF 的关系第5页，共 14页【答案】 是； ?= ?+ ?【解析】 (1) 解：如图 1： ?= 90

13、根据旋转的性质，四边形 ABCD 是正方形， ?= 90 ，?、 B、 C 三点在一条直线上故答案为：是；(2) 由旋转的性质可得：?= ?，?= ?，?= ?四边形 ABCD 是正方形， ?= 45， ?+ ?= 45 ， ?= ?+ ?= 45 ， ?= ?，在 ?和?中，?= ? ?= ?，?= ? ?(?)，?= ?= ?+ ?= ?+ ?；故答案为： ?= ?+ ?；(3) 存在理由如下：延长CB 到 P 使 ?= ?， ?= ?= 90 ， ?= 90 ， ?= ?，在 ?和?中，?= ? ?= ?，?= ? ?(?)，?= ?， ?= ?，1 ?= 2 ?， ?+ ?= ?， ?

14、+ ?= ?，即： ?= ?，在 ?和?中，第6页，共 14页?= ?，?=?= ? ?(?)，?= ?，?= ?+ ?；(4) 如图 3，补全图形证明：在BC 上截取 ?= ?， ?= ?= 90 ， ?= 90 ， ?= ?，在 ?和?中，?= ? ?= ?，?= ? ?(?)，?= ?， ?= ?，1 ?= 2 ?，1 ?+ ?= 2 ?，1 ?+ ?= ?，21 ?= 2 ?= ?，在 ?和?中，?= ? ?= ?，?= ? ?(?)，?= ?，?= ?- ?= ?- ?(1)首先由旋转的性质，画出旋转后的图形，然后由 ?= ?= ?= 90 ，证得点 M、 B、C 三点共线；(2)首

15、先由旋转的性质可得： ?= ?， ?= ?，?=?，然后由 ?= 45，证得 ?= ?，继而证得 ?，继而证得结论；(3)首先延长 CB 到 P 使 ?= ?，证得 ? ?(?)，再证得 ? ?(?)，继而证得结论；(4) 首先在 BC 上截取 ?= ?，证得 ? ?(?)，再证得 ? ?(?)，即可得 ?= ?- ?= ?- ?此题属于四边形的综合题.考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质.注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意准确作出辅助线是解此题的关键5. 正方形 ABCD 中，点 E 是射线 AB 上一动点，点 F 是线段 BC 延长线上一动点，且?= ?，(1) 如图 1，连接 D

16、E 、 DF ，若正方形的边长为 4，?= 3 ，求 EF 的长？(2) 如图 2，连接 AC 交 EF 与 G，求证： ?= 2?+ 2?；第7页，共 14页(3) 如图 3，当点 E 在 AB 延长线上时， ?= ?仍保持不变， 试探索线段 AC、AE、CG 之间的数量关系，并说明理由【答案】 (1) 解： 正方形的边长为4，?= 3 ，?= 4 -3 = 1，?= ?，?= 3 ，?= ?+ ?= 7 ，22；?= ?+ ?= 52(2) 证明：如图2，作 ?/?交 AC 于 H，四边形 ABCD 是正方形， ?= 45 ，?= ?= 2?，?= ?，?= ?，又 ?/?，?= ?，即

17、?= 2?，?= ?+ ?= 2?+ 2?；(3)?= 2?- 2?证明：如图3，作 ?/?交 AC 的延长线于P，四边形 ABCD 是正方形， ?= 45，?= ?=，2?= ?，?= ?，又 ?/?，?= ?，即 ?= 2?，?= ?- ?= 2?- 2?【解析】 (1) 根据题意分别求出BE、 BF 的长，根据勾股定理计算即可；(2) 作 ?/?交 AC 于 H ，根据正方形的性质得到 ?= 45 ，根据勾股定理得到 ?=，根据平行线分线段成比例定理得到?= 2?，得到答案；2?(3) 作 ?/?交 AC 的延长线于 P，与 (2) 的方法类似，证明即可本题考查的是正方形的性质、平行线分

18、线段成比例定理以及全等三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键6. 如图，正方形 ABCD 边长为 6，菱形 EFGH 的三个顶点 E、G、 H 分别在正方形 ABCD 的边 AB、 CD 、DA 上，连接CF(1) 求证： ?= ?；(2) 当?= ?= 2时，求证：菱形 EFGH 为正方形；(3) 设?= 2，?= ?， ?的面积为 y，求 y 与 x 之第8页，共 14页间的函数解析式，并直接写出x 的取值范围；(4) 求 y 的最小值【答案】 (1) 证明：如图1，连接 GE，?/?， ?= ?，?/?， ?= ?， ?= ?；(2) 证明： 四边形 ABC

19、D 是正方形， ?= ?= 90 ，四边形 EFGH 是菱形，?= ?，在 ?和 ?中，?= ?，?= ? ?， ?= ?，又 ?+ ?= 90 ， ?+ ?= 90 ， ?= 90 ，菱形 EFGH 为正方形；(3) 解：作 ? ?，交 DC 的延长线于 M，在 ?和 ?中， ?= ? ?= ?，?= ? ?，?= ?= 2，?= ?，?= 6 - ?，11?= 2 ?= 2 2 (6 -?)= 6 - ?(0 ? 26)；(4) ?= -1 0，?随 x 的增大而减小，?= 2 6 时， y 的最小值是 6 - 26【解析】 (1)连接 GE，根据正方形的性质和平行线的性质得到?= ?，根

20、据菱形的性质和平行线的性质得到?= ?，解答即可；(2) 证明 ? ?，得到 ?= ?，证明 ?= 90 ，根据正方形的判定定理证明；(3) 作 ?，证明 ? ?，得到 ?= ?= 2，根据三角形的面积公式得到解析式；(4)根据一次函数的性质：当? 0时， y 随 x 的增大而减小解答即可本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数解析式的求法和一次函数的性质，正确作出辅助线、 灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键7.四边形ABCD为正方形，点E为射线AC上一点，连接DE，过点E作? ?，交射线 BC 于点 F，以 DE、 EF 为邻边作矩形DEFG ，连接

21、CG(1) 如图 1，当点 E 在线段 AC 上时第9页，共 14页 求证：矩形DEFG 是正方形； 求证： ?= ?+ ?；(2) 如图 2，当点 E 在线段 AC 的延长线上时，请你在图2 中画出相应图形，并直接写出 AC、 CE、 CG 之间的数量关系；(3) 直接写出 ?的度数【答案】 (1) 证明：作 ?于 ?，?于 Q， ?= ?，?= ?， ?+ ?= 45 ，?+ ?= 45， ?= ?，在 ?和?中， ?= ? ?= ?， ?= ? ?，?= ?，矩形 DEFG 是正方形； ?+ ?= 90 ，?+ ?= 90， ?= ?，在 ?和?中，?= ? ?= ?，?= ? ?，?=

22、 ?，?= ?+ ?= ?+ ?；(2)?+ ?= ?，证明：由 (1) 得，矩形 DEFG 是正方形，?= ?， ?= ?= 90 ， ?= ?，在 ?和?中，?= ? ?= ?，?= ? ?，?= ?，?+ ?= ?；(3) 如图 1，当点 E 为线段 AC 上时，第10 页，共 14页? ，?， ?= ?= 45 ?= ?+ ?=135；如图 2，当点 E 为线段 AC 的延长线上时， ?= ?- ?= 45 【解析】(1)作 ?于于 Q，证明 ?，得到 ?= ?，?，?根据正方形的判定定理证明即可； 根据三角形全等的判定定理证明? ?，得到 ?= ?，证明结论；(2) 根据题意画出图形

23、，与 (1) 的方法类似，证明 ? ?，得到 ?= ?，即可得到答案；(3) 根据全等三角形的性质和点E 的不同位置求出 ?的度数本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用8. 在?= ?P分别作?/?中，点为所在平面内一点，过点交AB 于点 ?， ?/?交 BC 于点 D，交 AC 于点 F(1) 当点 P 在 BC 边上 ( 如图 1) 时，请你探索线段?，?， ?，与之间的数量关?系，并给出证明；(2) 当点 P 在?内( 如图 2) 时，(1) 中的结论是否成立？若成立， 请给出证明； 若不成立，线段 ?

24、，?，?，?与之间又有怎样的数量关系(3) 当点 P 在?外( 如图 3) 时，线段 ?，?，?，?与之间又有怎样的数量关系【答案】 (1) 答： ?+ ?+ ?= ?证明如下： 点 P 在 BC 上，?= 0 ，?/?， ?/?，四边形 PFAE 是平行四边形，?= ?，?/?， ?= ?， ?= ?，?= ?，?+ ?= ?+ ?= ?，?= 0 ，?+ ?+ ?= ?；(2) 证明： ?= ?， ?= ?，?/?， ?= ?，第11 页，共 14页 ?= ?，?= ?+ ?，?/?， ?/?，四边形 PFAE 是平行四边形，?= ?，?+ ?+ ?= ?，?+ ?+ ?= ?；(3) 证

25、明：同 (2) 可证 ?= ?，?= ?， ?+ ?= ?， ?+ ?- ?= ?，?+ ?- ?= ?【解析】(1)先求出四边形 PFAE 是平行四边形， 根据平行四边形对边相等可得?= ?，再根据两直线平行，同位角相等可得?= ?，然后求出 ?= ?，利用等角对等边求出?= ?，然后求解即可；(2) 根据等边对等角可得 ?= ?，再根据两直线平行，同位角相等可得 ?= ?，然后求出 ?= ?，再根据等角对等边可得?= ?+ ?，然后求出四边形PFAE是平行四边形， 根据平行四边形对边相等可得?= ?，然后求出 ?+ ?+ ?= ?，等量代换即可得证；(3) 证明思路同 (2) 本题考查了平行四边形的判定与性质， 等腰三角形的性质， 熟记平行四边形的判定方法与性质，并准确识图理清图中边的关系是解题的关键，此类题目，关键在于后面小