(完整word)行列式的计算技巧与方法总结,推荐文档

1、计算技巧及方法总结一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做1、二阶行列式a11a12a11a 22a12 a 21a21a222、三阶行列式a11a12a13a21a22a23 = a11a 22a33a12 a23 a31a13 a21a32 a13 a22 a31 a11a 23a32a12 a21a33 .a31a32a33123例 1 计算三阶行列式405106123解4051 0 625(1)34030(1)150426106104858.但是对于四阶或者以上的行列式， 不建议采用定义， 最常采用的是行列式的性质以及降价法来做 。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以

2、便计算。a11a12a1n计算 上三角形行列式0a22a2 na11a22ann00anna1100下三角形行列式a 21a220a11a22a nn .an1an2anna1100a21a220a11a22ann对角行列式an1an2ann二、用行列式的性质计算1、记住性质，这是计算行列式的前提将行列式 D 的行与列互换后得到的行列式,称为 D 的转置行列式 ,记为 DT 或 D ,即若a11a12a1na11a21an1Da21a22a2 n则 DTa12a22a n2,.an1an2anna1na2 nann性质 1行列式与它的转置行列式相等, 即 DDT .注 由性质 1 知道，行列式

3、中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有 .性质 2交换行列式的两行(列 ),行列式变号 .推论若行列式中有两行 (列 )的对应元素相同 ,则此行列式为零 .性质 3用数 k 乘行列式的某一行(列 ), 等于用数 k 乘此行列式 , 即a11a12a1na11a12a1nD1kai1kai 2kaink ai 1ai 2ainkD.an1an2annan1an2ann第 i 行 (列 )乘以 k ,记为 i k (或 Cik ).推论 1行列式的某一行 (列 )中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论 2行列式中若有两行(列 )元素成比例 ,则此行列式为零 .性

4、质 4若行列式的某一行(列 )的元素都是两数之和, 例如,a11a12a1nD bi 1ci1bi 2ci 2bincin .an1an2ann则a11a12a1na11a12a1nD bi1bi2binci1ci2cinD1 D2.an1an2annan1an2ann性质 5将行列式的某一行(列 )的所有元素都乘以数k 后加到另一行 (列 ) 对应位置的元素上 , 行列式不变 .注 : 以数 k 乘第 j 行加到第 i 行上 ,记作 rikr j; 以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上，记作ci kc j .2、利用“三角化”计算行列式计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来

5、计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是 :如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.0;0;,直至使123110例2若D101, 则DT201D .012312121011例 3（1） 011121（第一、二行互换） .210210121112（2） 011011（第二、三列互换）210201110（3） 1100 （第一、二两行相等）527211（4

6、） 4220 （第二、三列相等）733112例 4（1） 0150 因为第三行是第一行的2 倍 .222214102835,即第二列是第一列的4 倍 .（2）010 因为第一列与第二列成比例041457102204102例5若D 31 0, 则 31 0( 2)31 02D121121121402102又 121 04 31 04D .421121a11a12a136a112a1210a13例 6设 a21a 22a231, 求3a21a225a23 .a31a32a333a31a325a33解利用行列式性质，有6a112a1210a132a11a125a13a11a12a133a21a225

7、a 2323a21a225a232(3)5 a21a22a233a31a325a333a31a325a33a31a32a332(3)5130.2311301310例 7（1）111111.111 12511(2)51 1 5125（2）03 270327037027 .2121 21( 2)1 21 1 221例 8因为31224012, 而3212(9 2) (0 4) 15.123013132031223212.因此23013201注 :一般来说下式是不成立的a11b11a12b12a11a12b11b12a21b21a22b22a21a22b21.b22131131例 9（1） 141r

8、2r1 010,上式表示第一行乘以-1 后加第二行上去 , 其值不231231变.131130（2） 141c3c1 140 ,上式表示第一列乘以1 后加到第三列上去, 其值不变 .2312333612例 10 计算行列式 D 230 .512解先将第一行的公因子3 提出来：36121242303 230 ,512512再计算124124124122102D3 2303 07827 07854 07454 034543162.51209180120110013112例 115134计算 D01.2115331312c1c21534解D02115133r 2 r1r45 r11312084602

9、110162713120211r 34r 2r 2r30846r 48 r 201627131250211r44r300840.100005 2131202110081000101531111311例12计算 D13.111113解注意到行列式的各列4 个数之和都是6. 故把第 2， 3， 4 行同时加到第1 行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.66661111r2r11111r2 r3 r4 131113110200D r16r3r1 648.11311131r4r10020111311130002注：仿照上述方法可得到更一般的结果:abbbbabba ( n 1)b(

10、 a b) n 1.bbbaa1a100例 13计算0a 2a20 .00a3a31111解根据行列式的特点，可将第1 列加至第2 列，然后将第2 列加至第3 列，再将第 3列加至第4 列，目的是使 D 4中的零元素增多 .a1000c2 c10a2a 20D 400a3a31211a1000c3c20a20000a3a31231a1000c4 c3 0a20000a34a1a2 a3 .01234abcd例 14aababcabcd计算 D2ab3a2bc4a3b2c.ada3ab6 a3bc10a6b3cd解从第 4 行开始，后一行减前一行：r4r3abcd0aababr4 r3r3rDc

11、 .r2 r10 a 2ab 3a 2b c r3 r20a3ab6a3bcabcdr4 r3 0a a b a b ca4.00a2a.b000aabcd0aa ba bc0aa2a.b0aa2ab三、 行列式按行 (列)展开（降阶法）1、行列式按一行 ( 列 ) 展开定义 1 在 n 阶行列式 D 中 ,去掉元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列后 ,余下的 n1阶行列式 ,称为 D 中元素 aij 的余子式 , 记为 M ij , 再记Aij ( 1) i j M ij称 Aij 为元素 aij 的代数余子式 .引理 （常用）一个 n 阶行列式 D , 若其中第i 行所有元素除aij

12、 外都为零，则该行列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积，即D aij Aij定理 1行列式等于它的任一行(列 )的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即Dai1 Ai1ai 2 Ai 2ain Ain(i1,2, , n),或Da1 j A1 ja2 j A2 janj Anj( j1,2, , n).推论 行列式某一行 (列 )的元素与另一行(列 )的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即ai 1 Aj 1 ai 2 Aj 2ain Ajn0, ij ,或1i1 j2i2jninj0,ij.aAaAaA2、用降价法计算行列式（常用）直接应用按行(列 )展开法则计算行列式, 运算量较大

13、, 尤其是高阶行列式. 因此 , 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列 )化为仅含有一个非零元素 ,再按此行 (列 )展开 ,化为低一阶的行列式 , 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.3、拉普拉斯定理（一般少用）定义 2 在 n 阶行列式 D 中 ,任意选定 k 行 k 列 (1k n ) , 位于这些行和列交叉处的k 2个元素 ,按原来顺序构成一个k 阶行列式 M , 称为 D 的一个 k 阶子式 ,划去这 k 行 k 列 ,余下的元素按原来的顺序构成n k 阶行列式 ,在其前面冠以符号( 1) i1i k j1jk ,称为 M 的代数余子式 ,其中 i1, ,ik

14、为 k 阶子式 M 在 D 中的行标 , j1 , j2 , , j k 为 M 在 D 中的列标 .注：行列式 D 的 k 阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列）展开的性质.定理 2( 拉普拉斯定理 ) 在 n 阶行列式 D 中, 任意取定 k 行(列 ) (1kn 1) ,由这 k 行 (列 )组成的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D .例 15 求下列行列式的值 :213327（1） 121（2） 052412021213211313(1)12121)解1(1412412222( 41)(23)4( 16)65 2827.32752(2)05233(54)3.

15、210211234例 16 计算行列式1012D11.30120512341012解 D11031205r12r3r42r37014101231107025714602( 1) ( 1)3211r1r2122172r32r 201591(1)226261824.915312017252例 17 计算行列式D02310 .041400235053120531217252解D 02 3 1 0 (1)25202 31041400414023502350231r2 ( 2 )r12312541407210235r3 r106610 (2)7220( 42 12)1080.661234n1123n11

16、x12n2例18求证 1xx1n 3 ( 1)n 1 xn 2 .1xxx21xxx1r1 r2r 2 r3证 Dr3r4rn1rn01111101 x1111001 x1110001 x11100001x11xxx11111111 x1111( 1) n 101 x111001x110001 x1x00001xx000r1r201 xx00r2r3( 1) n 1 x n 2 .( 1) n 1001 x00r3 r4r n 1rn000x00001 x13521例19设D1105 , D 中元素 aij 的余子式和代数余子式依次记作M ij 和 Aij ,13132413求 A11A12 A13A14及 M11M 21M31 M41.解注意到 A11A12A13A14等于用 1,1,1,1代替 D 的第 1 行所得的行列式 ,即1111A11A12 A131105A1431312413r 4 r3r 3 r111111