(完整word版)江苏省高等数学竞赛试题汇总,推荐文档

1、2010 年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题 4 分，共 32 分）sin xsin(sin x)1. limx 0sin x2.yln( x1 x2 )， y/1 x23.ycos2x， y(n) (x)4. 1 2x exdx x5.114 dx2x6.圆2x2 yz2 0的面积为x2y2z24x 2 y 2z 197. zf (2 xy,x ) ， f可微， f/ (3,2)2, f/(3,2)3 ，则 dz( x, y) (2,1)y12级数1(1)n n! 的和为.8.2n n!n 1二.（10 分）设 f (x) 在 a, bbf ( x)dxbxf ( x)dx

2、 ，求证：存在点a,b ，使上连续，且 baa得f ( x)dx0 .a三（10 分）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的边长为 2， E 为 D1C1 的中点， F 为侧面正方形 BCC1 B1 的中点，（ 1）试求过点 A1, E, F 的平面与底面 ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点 A1, E, F 的平面截正方体所得到的截面的面积 .四（ 12 分）已知 ABCD 是等腰梯形， BC / AD , AB BC CD8,求 AB,BC,AD 的长，使得梯形绕 AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。五（ 12 分）求二重积分cos2 x sin2 y dxdy，其中 D : x

3、2y21, x 0, y 0D1六、（12 分）求x 2 y ex dx x 1 y dy ，其中为曲线x20x1x2y22x 1x2从O0,0 到A1, 1.七 .（12 分）已知数列an单调增加， a11,a22, a3 5,L , an 13anan 1n2,3,L, 记 xn 1，判别级数xn 的敛散性 .ann 12010 年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题4 分，共 32 分）1.limsin xsin(sin x)sin xx02.yarctan x2ex tan x ， y /3. 设由 x yyx 确定 yyx，则 dydx4.ycos2x， y(n) (x

4、)5.1x exdxx26. zf (2 xy, x ) ， f可微， f /(3,2)2, f/ (3,2)3 ，则 dz( x, y) (2,1)y127 设 fu, v可微，由 F xz2 , yz20 确定 zz x, y ，则 zzxy8. 设 D : x2y22x, y0 ，则x2y2 dxdyD二 .（10 分）设 a 为正常数，使得 x2eax 对一切正数 x 成立，求常数 a 的最小值三 .（10 分）设 fx 在 0,11f (x)dx1上连续，且xf ( x)dx ，求证：存在点000,1 ，使得f ( x)dx0 .0四 .（12 分）求广义积分14 dx21 x五（1

5、2 分）过原点 0,0作曲线 yln x 的切线，求该切线、曲线 yln x 与 x2轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12 分）已知 ABCD 是等腰梯形， BC / AD , AB BC CD8,求 AB,BC, AD的长，使得梯形绕 AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。七（ 12 分）求二重积分cos2 x sin2 y dxdy，其中 D : x2y21, x 0, y 0D2008 年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）一填空题（每题5 分，共 40 分）1. a =， b =时， limax + 2 xparctanx = -xbx -x22.a =，时 f (

6、x)=ln(1-ax)+x在 x ? 0 时关b =1+ bx于 x 的无穷小的阶数最高。p3. 2 sin 2 x cos4 xdx =04.通过点 (1,1, - 1) 与直线 x = t, y = 2, z = 2+ t 的平面方程为5.设 z =2x2 , 则? n z2-y? yn (2,1) =x6.设 D 为 y =x, x = 0, y = 1 围成区域，则 蝌 arctan ydxdy=D7.设 G 为 x2 +y2 = 2x( y ? 0) 上从 O(0,0)到 A(2,0)的一段弧，则( yex+ x)dx + (ex - xy)dy =G￥8.幂级数 ? nx n 的和

7、函数为，收敛域为。n= 1二（8 分）设数列 xn 为 x1 = 3, x2 =3- 3,L, xn + 2 = 3-3 + xn ( n = 1,2,L )证明：数列 xn 收敛，并求其极限三（ 8 分）设 f (x) 在 a, b 上具有连续的导数，求证max f ( x) ?1bbf ( x) dxf / ( x) dxa x bb - a蝌aa3四（ 8 分） 1）证明曲面 S : x = (b + a cosq)cos j , y = a sin q, z = (b + a cosq)sin j(0 q2p ,0 j2p) (0 a b)为旋转曲面2）求旋转曲面 S 所围成立体的体积

8、五（ 10 分）函数 u( x, y) 具有连续的二阶偏导数，算子A 定义为抖uA(u) =ux 抖+ y,xy1）求 A(u -A(u) ； 2)利用结论 1）以 x = y ,h = x-y 为新的自变量改变方程xx2 抖2u+ 2xy2u+y2 ? 2 u=0 的形式抖 2抖y2xx y六（ 8 分）求 lim1ttsin(xy)2 dydxt? 0+t 6蝌0x七（ 9 分）设 S : x2 + y2 +z2= 1(z ? 0) 的外侧，连续函数f ( x, y) = 2(x - y)2 + 蝌 x(z2 + ez)dydz + y( z2 + ez) dzdx+ ( zf ( x,

9、y) - 2ez )dxdyS求 f (x, y)八（ 9 分）求 f (x) =x2 ( x - 3)的关于 x 的幂级数展开式-3 -3x)(x1) (12006 年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）一 .填空（每题 5 分，共 40 分）1. fxax3 ， lim 14 lnf 1 f2 Lfnn n2.x1etx21 dtlimx5x0 03.1arctan x01x22 dx4.已知点 A4,0,0, B(0,2,0), C(0,0,2) , O 为坐标原点，则四面体 OABC 的内接球面方程为5.设由 xzey z 确定 zz(x, y) ，则 dz e,06.函数 fx,

10、ye xaxb y2 中常数 a, b 满足条件时，4f 1,0 为其极大值 .7.设 是 ya sin x(a0) 上从点0,0 到 ,0的一段曲线， a时，曲线积分x2y dx2xy ey2dy 取最大值 .n 1n 1 n条件收敛时，常数 p 的取值范围是8.级数1npn 1二 .（10 分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2 小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100 公里 /小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200公里/小时 3三 .（10 分）曲线 的极坐标方程为1cos0，求该曲线在所24对应的点的切线 L 的直角坐标方程，并求切线L 与 x

11、轴围成图形的面积 .四（ 8 分）设 f (x) 在,上是导数连续的有界函数， f xf x1 ，求证： f x 1.x,五（ 12 分）本科一级考生做： 设锥面 z23x23y2 (z0) 被平面 x3z4 0截下的有限部分为.（1）求曲面的面积；（2）用薄铁片制作的模型，A(2,0, 2 3), B( 1,0, 3) 为 上的两点， O 为原点，将 沿线段 OB 剪开并展成平面图形 D ，以 OA 方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出 D 的边界的极坐标方程 .本科二级考生做：设圆柱面 x2y21(z 0) 被柱面 z x22x2 截下的有限部分为 .为计算曲面的面积，用薄铁片制作的模型，

12、A(1,0,5), B( 1,0,1), C1,0,0为上的三点，将沿线段 BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于 x 轴正上方，点 A 坐标为0,5 ，写出 D 的边界的方程，并求 D 的面积 .六（ 10 分）曲线x22 z 绕 z 轴旋转一周生成的曲面与 z1, z2所围成的立体y0区域记为，51本科一级考生做dxdydz222xyz本科二级考生做x2y2z2 dxdydz七（ 10 分）本科一级考生做1）设幂级数an 2 xn 的收敛域为1,1 ，求证幂级n 1数 an xn 的收敛域也为 1,1 ；2）试问命题 1）的逆命题是否正确，若正确给n 1n出证明；若不

13、正确举一反例说明.本科二级考生做：求幂级数nx12n的收敛域与和函数n 1 2n2006 年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）一 .填空（每题5分，共 40 分）1. lim1222Ln232n322n3n2nn12.x1et21 dtlimx3x0 03.limx23x2axb0 ，则 a,bx4.fx1xx2esin x, f05.设由 xzeyz 确定 zz(x, y) ，则 dz e,06.函数 fx, ye xaxby2中常数 a, b 满足条件时，f 1,0 为其极大值 .2e xe.7.交换二次积分的次序dx 1f x, y dy1x8.设 D : 2x x2y2 ,0

14、 yx2 ，则1dxdyD x2 y2二 .（8 分）设 f xax2bsin x cx0 ，试问 a, b, c 为何值时， fx 在 x 0ln 1 xx0处一阶导数连续，但二阶导数不存在.6三 .（9 分）过点 1,5作曲线: y3的切线 L，（ ）求L的方程；（ ）求与 Lx12所围成平面图形 D 的面积；（ 3）求图形 D 的 x0 部分绕 x 轴旋转一周所得立体的体积 .四（ 8 分）设 f ( x) 在,上是导数连续的函数， f00， f xf x1，求证：f xx 1.x0,e五（ 8 分）求1 arctan x0 1 x2 dxxy2 tan x2y2x, y0,0六（ 9

15、分）本科三级做：设fx, yx2y，0x, y0,0证明 fx, y 在点 0,0处可微，并求 df x, y0,0民办本科做：设圆柱面 x2y 21(z0) 被柱面 z x22x2 截下的有限部分为 .为计算曲面的面积，用薄铁片制作的模型， A(1,0,5), B( 1,0,1), C1,0,0为上的三点，将沿线段 BC 剪开并展成平面图形 D ，建立平面在极坐标系，使 D位于 x 轴正上方，点 A 坐标为 0,5，写出 D 的边界的方程，并求 D 的面积 .七（ 9 分）本科一级考生做： 用拉格朗日乘数法求函数fx, y x22xy 2y 2 在区域 x22 y24 上的最大值与最小值 .

16、八（ 9 分）设 D 为 y x, x, y 0所围成的平面图形，求cos x y dxdy .2D2004 年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一 .填空（每题 5 分，共 40 分）1.fx 是周期为的奇函数，且在x0 处有定义，当x0,时，2fxsin xcosx2 ，求当 x,时， fx 的表达式.2tan2 x2. lim sin xx273.limnnLn2222nn1 n 4n n4.f xx2 ln 1 x , n 2时 f n 05.ex1 x2 dxxxe6.n.n 1 n1 2n7.设 fx, y可微， f1,22, f x1,2 3, fy 1,24 ，xf x, f

17、x,2 x ，则1.8. 设 fxg xx 0 x 1， D 为x,y，则0 其他fy f xy dxdy.D二（ 10 分）设 f x在 a,b 上连续， fx在 a, b内可导， f (a)a, ，bx dx1b2a2a, b 内至少存在一点使得 ff1f,求证：a2三 .（10 分）设 D : y 2x24, yx,2xy4 ，在 D 的边界 yx 上任取点 P ,设 P 到原点距离为 t ，作 PQ 垂直于 yx ，交 D 的边界 y2x24 于 Q1）试将 P,Q 的距离 PQ 表示为 t 的函数；2）求 D 饶 yx 旋转一周的旋转体的体积四（ 10 分） 已知点 P(1,0,-

18、1),Q (3,1,2) , 在平面 x-2 y + z = 12 上求一点 M ，使PM+ MQ最小五（ 10分）求幂级数n 1 n 3n1nxn 的收敛域。2六（ 10分）设 f x, y可微，f 1,22, f x 1,22, f y 1,2 3 ，xf f x,2 x ,2 fx,2 x，求1 .8222七（ 10 分）求二次积分d1 e d022004 年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一 .填空（每题 5 分，共 40 分）1.fx是周期为的奇函数，且在x 0处有定义，当x 0,时，2fxsin xcosx2，求当 x,时， f x 的表达式 .22.x0 时， xsin x c

19、os x 与 cxk 为等价无穷小，则 c3. limtan2 xsin xx24.limnnLn2222nn1n4nn5. f xx2 ln 1 x , n 2时 f n 06.ex1 x2 dxxxe7.zarctan x , dz1, 1.y8. 设 f xg xx0 x 1， D 为x,y，则0其他fyf xydxdy.D二（ 10 分）设 fx 在 a,b 上连续， f x 在 a, b内可导， f (a)a, ，bfx dx1 b2a2,求证：a, b 内至少存在一点使得 ff1a2三 .（10 分）设 D : y 2x24, yx,2x y 4 ，在 D 的边界 yx 上任取点

20、P ,设 P 到原点距离为 t ，作 PQ 垂直于 yx ，交 D 的边界 y2x24 于 Q1）试将 P,Q 的距离 PQ 表示为 t 的函数；2）求 D 饶 y x 旋转一周的旋转体的体积9四（10 分）设 fx 在,上有定义， fx在 x0 处连续，且对一切实数 x1 , x2有 f x1 x2f x1 fx2 ，求证： fx在,上处处连续。五（ 10 分）上 k 为常数，方程 kx 110在 0,恰有一个根，求 k 的取值范x围。六（ 10 分） 已知点 P(1,0,- 1),Q (3,1,2), 在平面 x- 2 y + z = 12 上求一点 M ，使PM+ MQ最小七（ 10 分

21、）求幂级数n12n xn 的收敛域。n1 n 32002 年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一 .填空（每题 5 分，共 40 分）exex， c1. limxkc c 0 ，则 kx 02. 设 f x 在 1,上可导，下列结论成立的是A. 若 lim fx0 ，则 fx 在 1,上有界xB. 若 lim fx0 ，则 fx 在 1,上无界xC. 若 lim fx1 ，则 fx 在 1,上无界x3. 设由 e yx yx1x 确定 yy( x) ，则 y04. arcsinx arccosx dx5.曲线zx2y2，在点 1,1,2的切线的参数方程为x2y22 y6.设 zfyg ex ,

22、sin y， f 有二阶连续导数， g 有二阶连续偏导数，x则2 zx y7.13xx, y dy.交换二次积分的次序dx2f0x108.幂级数11L1xn 的收敛域n 12n二 .（8 分）设 fx 在 0,上连续，单调减少， 0a b ，ba求证 af ( x)dxbf ( x)dx00bbf x 在 a,b三（. 8 分）设 f x 在 a,b 上连续， f ( x)dxf (x)exdx 0 ，求证 :aa内至少存在两个零点 .四 .（8 分）求直线 x 1yz 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与211y 0, y 2 所包围的立体的体积 .n1五 .（9 分）设 k 为常

23、数，试判断级数的敛散性，何时绝对收敛？何n 2 nkln n 2时条件收敛？何时发散？y arctan1x, y0,0六 .（9 分）设 f x, yy2x, y 在点 0,0x2讨论 f处0x, y0,0连续性，可偏导性？可微性.七.（9分）设 fu 在 u0 可导， f 00, : x2y2z22tz ，求 lim1f x2y2z2dxdydzt 0t5八 .（9 分）设曲线 AB 的极坐标方程为1cos2，一质点 P 在力2ur1 运动到 B 0,1urF 作用下沿曲线 AB 从 A 0,，力F 的大小等于 P 到定点 M 3,4ur的距离，其方向垂直于线段MP ，且与 y 轴正向的夹角

24、为锐角，求力F 对质点 P做得功 .112002 年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一 .填空（每题 5 分，共 40 分）exe x， c1. limxkc c 0 ，则 kx 02. 设 f x 在 1,上可导，下列结论成立的是A. 若 lim fx0 ，则 fx 在 1,上有界xB. 若 lim fx0 ，则 fx 在 1,上无界xC. 若 lim fx1 ，则 fx 在 1,上无界x3. 设由 e yx yx1x 确定 yy( x) ，则 y04. arcsinx arccosx dx15.dx4 x 1 x6.设 z fygex ,sin y， f 有二阶连续导数， g 有二阶连续

25、偏导数，x2 z则x y7. 交换二次积分的次序13x.0dxx2f x, y dy8.函数 fx, y2xy1 满足方程 x2y25 的条件的极大值为极小值为二 .（8 分）设 fx在 0,上连续，单调减少， 0ab ，求证 abbaf ( x)dxf ( x)dx00三.（8分）设 fxkxsin x ， 1）若 k1 ，求证 fx在,上恰有一个零点； 2）若 k0 ，且 fx 在,上恰有一个零点，求常数k 的取值范围 .12四 .（8 分）求2 ex 1sin x dx0 1 cos x10,0五.（9y arctanx, y讨论 fx, y 在点 0,0分）设 fx, yx2y2处0x

26、, y0,0连续性，可偏导性？可微性 .六 .（8 分）设 zfx, y ， xy， f 的二阶偏导数连续，可导，y0求全导数d 2 zdx2七 .（9 分）设 fu在 u0 可导， f0 0, D : x2y22tx, y0 ，求 lim14fx2y 2ydxdyt 0tD八.（9 分）求sin x y dxdy, D : x 0, y 0, x yD22000 年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一 .填空（每题 3 分，共 15 分）. 1.设 fxxx ，则 ffxx xx2. limx 1 ln x x 13. 已知 df x21 ，则 f xdxxx144.4 dxx515.设 z

27、z x, y 由方程 Fy , z0 确定（ F 为任意可微函数） ，x x则 xzyzxy二选择题（每题3 分，共 15 分）131对于函数y2 x1 ，点 x0 是（）1.12 x1A. 连续点；B. 第一类间断点； C. 第二类间断点； D 可去间断点2.已知函数 yfx 对一切 x 满足 xf x3x21e x ，若f xfx00(x00) ，则（）A.fx0 是 fx的极大值； B. x0, fx0是曲线 yfx 的拐点；C. f x0 是 f x 的极小值；D fx0不是 fx 的极值，x0 , f x0 也不是曲线 yf x 的拐点3.limx23x（）x 3 x32x2A. 等

28、于 1； B. 等于 0； C. 等于 1；D 不存在，但也不是4.若fxx0 , y0 ,fyx0 , y0 都存在，则 fx, y 在x0 , y0A. 极限存在，但不一定连续；B. 极限存在且连续；C. 沿任意方向的方向导数存在；D 极限不一定存在，也不一定连续5.设 为常数，则级数sinn1n2nn 1A. 绝对收敛B. 条件收敛；C. 发散；D收敛性与取值有关111三（ 6 分）求 limLnn 1 n2nn四（ 6 分）已知函数 yxt(1t )0d 2 yy(x) 由参数方程y1确定，求dx2t 0tey0五（ 6 分）设 fx , gx 在 a,b上连续，在 a, b 内可导且

29、对于a,b 一切 x 均有f x g x fx g x0，证明若 fx 在 a, b 内有两个零点，则 g x 至少存在一个介于这两个零点之间的零点。141x0六（ 6 分）设 f x1x2，求f x 1 dx 。1x001ex七（ 6 分）已知 zuv ， xeu cosv, yeu sin v ，求 z ,zxy八（ 8 分）过抛物线 yx2 上一点a, a2 作切线，问 a 为何值时所作的切线与抛物线 yx24x1所围成的平面图形面积最小。九（ 8 分）求级数n x1n的收敛域及和函数 .n 1十（ 8 分）设 fx在 a,b上连续且大于零，利用二重积分证明不等式：bb12fx dxdxb aaaf x十一（ 8 分）计算曲线积分 Ix44xy3 dx 6x2 y25y4 dy ，其中 L 为曲线Ly21x3上点A( 2,1) 沿逆时针方向到该曲线上点B 3,0 的一段曲线。5十二（ 8 分）计算曲面积分4zxdydz2zydzdx 1 z2dxdy ，其中 为曲面z ey (0 y a) 绕 z 轴旋转一周所成曲面之下侧2000 年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一 .填空（每题3 分，共 15 分）1.已知 dfx21 ，则 f x设dxx12.limtan x ln xx 03