(完整word版)椭圆与双曲线常见题型归纳,推荐文档

1、椭圆与双曲线常见题型归纳一 .“曲线方程 +直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解1.向量综合型例 1.在直角坐标系xOy 中，点 P 到两点 (0,3),(0,3) 的距离之和为4，设点 P 的轨迹为C ,直线 ykx1与 C交于 A,B两点。（）写出 C 的方程 ;uuuruuur（）若 OAOB ，求 k 的值。例 1. 解 :（） 设 P（x，y），由椭圆定义可知， 点 P 的轨迹 C 是以 (0，3)，(0， 3) 为焦点，长半轴为2 的椭圆它的短半轴b22(3)21 ，故曲线 C 的方程为x2y214（）设 A( x , y ), B(x, y)，其坐标满足x2y21，24

2、112ykx1.消去 y 并整理得 ( k 24) x22kx30 ，故 x1x22k， x1 x23uuuruuurk 24k 24若 OA OB ，即 x1x2y1 y20 而 y1 y2k 2 x1x2k( x1x2 )1，于是 x1 x2y1 y233k 22k21 0 ，k24k 24k 24化简得4k 210，所以 k12例 2设 F1、 F2分别是椭圆x 2y21 的左、右焦点 .4（）若 P 是该椭圆上的一个动点，求uuuruuuurPF1PF2 的最大值和最小值 ;（）设过定点 M (0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且 AOB 为锐角（其中 O为坐标原点）

3、，求直线 l 的斜率 k 的取值范围例 2解：（）解法一：易知a2, b1,c3所以 F13,0, F23,0 ，设 Px, y ，则uuuruuuurx2y23 x2x213x2PF1 PF23 x, y , 3 x, y13844因为 x2,2，故当 x 0uuuruuuur，即点 P 为椭圆短轴端点时，PF1PF2 有最小值 2当 x2uuuruuuur，即点 P 为椭圆长轴端点时，PF1PF2 有最大值 1解法二：易知 a2, b1,c3，所以 F13,0, F23,0，设 Px, y，则uuur 2uuuur2uuuur 2uuuruuuuruuuruuuurcosF1PF2uuur

4、uuuurPF1PF2F1 F2PF1PF2PF1PF2PF1PF2uuuruuuur2 PF1PF21x2y 2x2y 212x2y23 （以下同解法一）332（）显然直线x0不满足题设条件，可设直线l : ykx2, Ax1 , y2, Bx2, y2 ，ykx21联立，消去 y ，整理得：k224kx30x2y2x144 x1x24kx23, x1k 21k2144由4k4 k134k 23 0 得： k3 或 k32422又 00A0B900cosA0B0uuuruuur0OA OBuuur uuur OA OB x1 x2y1 y2 0又 y1 y2kx12 kx22 k2 x1 x

5、22k x1x243k28k24k 21k 21k 21k214443k 2 10 ，即 k24 2 k 2k 21k2144故由、得2k3或3k222例 3 设 F1 、 F2 分别是椭圆x 2y 21的左、右焦点，B(0,1)4uuuruuuur（）若 P 是该椭圆上的一个动点，求PF1PF2 的最大值和最小值 ;（）若 C 为椭圆上异于B 一点，且 BF1CF1 ，求的值；（）设 P 是该椭圆上的一个动点，求PBF1 的周长的最大值 .例 3解：（）易知 a2, b1,c3 ，所以 F13,0, F23,0, 设 Px, y , 则uuur uuuur2y23 x2x21 3x2PF1

6、PF23 x, y , 3 x, yx138uuur44因为 x2,2，故当 x0，即点 P 为椭圆短轴端点时，uuuur2PF1PF2 有最小值当 x2 ，即点 P 为椭圆长轴端点时，uuuruuuurPF1PF2 有最大值 1（ ） 设C （x0，y 0） ，B(0,1)F13,0由11得BFCF3(1)1x0221x0, y0， 又4y0所 以 有2670 解得7(10舍去 )（） 因为 |P F1 | |PB| 4 |PF2| |PB| 4 |BF2|PBF1 周长 4|BF2| |B F1 | 8所以当 P 点位于直线 BF 2 与椭圆的交点处时，PBF1 周长最大，最大值为 8例

7、4已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为 (3,0)(1) 求双曲线 C 的方程；(2)若直线 l： y kx2与双曲线 C 恒有两个不同的交点A和B，且OAOB2 (其中O 为原点 )，求 k 的取值范围。例 4解：（）设双曲线方程为x2y21(a0, b0). 由已知得a2b21.故双曲线 C 的方程为 x 2a3, c2, 再由 a 2b 222 ,得 b2y 21.2代入 x23（）将 y kxy 21得 (13k 2 )x 26 2kx9 0.3由直线 l 与双曲线交于不同的两点得13k20,(62k) 236(13k 2 )36(1k 2 )0.即 k 21 且

8、k 21. 设 A( xA , y A ), B( xB , yB ) ，则3xA3k 23k 26 2k2 , xA xB9uuur uuurxB12 ,由OA OB13k3k而 xA xByA yBxA xB(kxA2)( kxB(k21)92k62k3k 23k213k 22213k72,即 3k290, 解此不等式得113k 2132得 x A xByA yB2,2) (k 21)xA xB2k(xA xB ) 27.于是1k23.由、得1k 21.故 k 的取值范围为 ( 1,3 )( 3 ,1).333例 5已知椭圆 x2y 2（ a b 0）的离心率e6，过点 A（0， - b）

9、和 B（ a，0）的a2b23直线与原点的距离为3 2（ 1）求椭圆的方程（ 2）已知定点 E（- 1， 0），若直线 ykx 2（ k 0）与椭圆交于 C、D 两点问：是否存在 k 的值，使以 CD 为直径的圆过 E 点 ?请说明理由例 5解析：（ 1）直线 AB 方程为： bx- ay- ab0c6 ，a3，a3解得依题意3abb1a2b22椭圆方程为x2y 21 4 分3（2）假若存在这样的k 值，由ykx2，得(1 32 )x212kx90x23y 230k(12k )236(1 3k2 ) 0 x1x212 k2 ，设 C(x1 ， y1 ) 、 D(x2， y2 ) ，则13k9x

10、1x213k28 分而 y1 y2( kx12)( kx22)k 2 x1 x22k (x1x2 ) 4 要使以 CD 为直径的圆过点E（- 1， 0），当且仅当CEDE 时，则y1y21 ，x1 1x21即 y1 y2( x11)( x2 1) 0 10 分( k21)x1 x2 2( k1)( x1x2 ) 5 0 将式代入整理解得 k77，使成立经验证， k667综上可知，存在k，使得以CD 为直径的圆过点E13 分62“中点弦型”例 6. 已知椭圆 x2y21 ，试确定 m 的值，使得在此椭圆上存在不同4 3两点关于直线 y 4x m 对称。例 6. 解：设 A( x1 , y1 ),

11、 B( x2 , y2 ) ， AB 的中点 M ( x0 , y0 ) ， kABy2y11 ,x2x14而 3x124 y1212, 3x224 y2212, 相减得 3( x22x12 )4( y22y12 ) 0,即 y1y2 3( x1 x2 ),y0 3x0 ， 3x04x0 m, x0m, y03m而 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部，则 m29m21,即 23m23431313例 7.已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率 e3，焦距为 2 3（ I）求该双曲线方程 .（ II ）是否定存在过点 P (1 ，1）的直线 l 与该双曲线交于 A ， B 两点，且点

12、P 是线段 AB的中点？若存在，请求出直线l 的方程，若不存在，说明理由.例 7.（1） x 2y 212（2）设 (,y1),(,y2) ，直线： ykx1 k ，代入方程x2y 21得A x1B x22k 2 ) x2k) x (1 k) 20 （ 2 k 2( 22k(120 ）则 x1x2k(1k)，解得 k2 ，此时方程为 2x24x30 ，022k 21方程没有实数根。所以直线l 不存在。例 8已知椭圆的中心在原点，焦点为 F1 (0，2 2) ，F2（0，22 ），且离心率 e2 2 。3（ I）求椭圆的方程；（ II ）直线 l （与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、 B，

13、且线段 AB 中点的横坐标为1 ，求直线 l 倾斜角的取值范围。2例 8解：（I ）设椭圆方程为y2x21，由已知 c 22，又c2 2a 2b 2a3解得a=3，所以 b=1，故所求方程为y 2x21 4 分9（ II ）设直线l 的方程为ykxb( k 0) 代入椭圆方程整理得(k 29)x 22kbx b 2905 分( 2kb)24(k 29)(b 29)0由题意得x22kb17 分x129k解得k3或 k3又直线 l与坐标轴不平行故直线 l 倾斜角的取值范围是(3，)(， 2 )12 分2233“弦长型”x2y21交于 A 、B 两点，记例 9直线 y kx b 与椭圆4(I) 求在

14、 k 0， 0 b 1 的条件下， S 的最大值；（ )当 AB 2，S 1 时，求直线 AB 的方程例 9(I) 解：设点A 的坐标为 ( (x1,b) ，点 B 的坐标为 ( x2 ,b) ，由 x2y21，解得 x1,221b24所以 S1 b | x1x2 | 2b 1 b2b2 1 b212当且仅当 b2时， S 取到最大值 12ykx b（）解：由x2y 2得14(4k 21)x28kbx 4b24016(4 k 2b21)AB 1k 2| x1 x2 |1k2 16(4k 2b2 1)4k21AOB 的面积为SyAOxB2又因为 O 到 AB 的距离 d|b |2S1所以 b2k

15、 2 11k 2| AB|代入并整理，得4k 44k 210解得， k 2 1 ,b23 ，代入式检验，022故直线 AB 的方程是y2 x6 或 y2 x6 或 y2 x6 或 y2 x6 22222222ur（，r（，），ur2（，），r（2， 1）（其中x， y例 10已知向量 m1=）， 111m=2=0xn =x0nyururrrur2rurr是实数），又设向量 m = m1 +2 n2 ， n = m2 n1 ，且 m / n ，点 P（ x， y）的轨迹为曲线 C.（）求曲线 C 的方程；（）设直线 l : ykx1 与曲线 C 交于 M 、N 两点，当 |MN |=42 时，求

16、直线 l 的方程 .3例10解：m(0, x)(2,2),2, x2),（I）由已知，2 y( 2 yn ( x,0)(2, 2)( x2,2). 4 分Q m / n,2 y2 (2)( x2)( x2)0 5 分即所求曲线的方程是：x2y 21. 7 分2（）由x2y 21,222消去 得: (12k) x4kx0.yykx 1.解得 x1=0, x2=14k2 (x1 , x2 分别为 M， N 的横坐标） . 9 分2k4k4由|MN |1k 2 | x1x2 |1 k 2 |12 |2,2k3解得 : k1. 11 分所以直线 l 的方程 xy+1=0 或 x+y 1=0. 12 分

17、二“基本性质型”x2y2例 11设双曲线C1 的方程为 a2b21(a0,b0) ， A 、 B 为其左、右两个顶点，P 是双曲线C1 上的任一点，引QBPB, QAPA，AQ与BQ相交于点Q。（1）求 Q 点的轨迹方程；（ 2）设（ 1）中所求轨迹为C2 ， C1 、 C2 的离心率分别为e1 、 e2 ，当e12 时，求e2 的取值范围。例 11. 解：（ 1）设 P(x0 , y0 ), Q( x, y) A(a,0),B(a,0),QBPB,QAPAy0gy1y0 2y2x02y02y022x0a x a1，1，by0yx02a2ga2a2b2a2，g1x2x2a2x0a0a xy2a

18、2a2 ，化简得：a2 x2b2 y2a4 ，x2b2经检验，点 (a,0),(a,0) 不合题意，点Q 的轨迹方程为 a2x2b2 y2a4 , ( y0)（2） 由（ 1）得 C2 的方程为 x2y21，a2a4b2a2a4a2a212b2c2，e2a21b21a21e121 e12 ， e221(12 ， 1 e22 。2) 21例 12 P 为椭圆 x 2y 21 上一点， F1 、 F2 为左右焦点，若F1PF26025 9（ 1）求 F1 PF 2 的面积；（ 2）求 P点的坐标例 12 解析 ： a 5，b 3c 4（ 1）设 | PF1 | t1 ， | PF2 |t2 ，则 t1t210 222212t1t22t1 t2 cos608，由 得 t t21S F1PF21 t1 t2 sin 6011233 3222（ 2）设 P ( x, y) ，由 S F1 PF212c | y | 4 | y |得 4| y | 3 3| y |3 3y33，将244y3 3代入椭圆方程解得x5 13，P(5 133 3或5133 3或51333或44,)P(4,)P(,)44444P(513,33)44例 13已知双曲线与椭圆x2y21共焦点，且以y4 x为