外文文献数学问题解决第二版几何P45-P54-代数P27-P28部分翻译

1、精选优质文档-倾情为你奉上 首都师范大学本科生外文文献翻译 文献、资料名称 Mathematics as Problem Solving 文献、资料出处 图书馆资源Springer电子图书库 翻译部分页码：几何P45-P54,代数P27-P28专心-专注-专业目录0数学问题解决几何在这一章中，我们将使用以下常见的符号：是指线段的长度；是指的角的度数；是指一个三角形的面积.4.1轨迹我们从平面上常见的四种轨迹开始.4.1.给定点和一个正实数,则所有到点的距离为的点(记为)的轨迹是一个以为圆心、以为半径的圆.（并证明之）4.2.到两个不同点、的距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线.（详见问题1.1

2、6）4.3.到两条给定的相交直线距离相等的点的轨迹是这两条相交直线所成角的互相垂直的两条角平分线.（证明之）设是一个几何图形，是一个点.过点做的两条切线在的夹角是，我们就说在点以角看几何图形4.4.给定线段和角，.所有以角看的点（即：）的轨迹是一种对称于而不包括两个端点、的双圆弧.解：我们先只考虑线段以上的半个平面，我们可以画一个等腰三角形，且该三角形满足：、（图4.1（a），和以点为圆心、以为半径的圆.对于圆弧上任意一点，角.这是因为它由圆弧一半测量得到（请查阅并参考你的几何教科书中的这个定理，并且不要着急把书合上哦！)如果我们去圆外任意一点（图4.1（b），那么小于角，这是因为它是由不同于

3、圆弧和圆弧之间的测量的.（教科书！）如果我们任意取圆内的一点（图4.2（a），那么将会大于角，这是因为它对应的是圆弧和圆弧总和的一半（现在你可以合上你的课本啦！）. (a) (b) 图4.1最后，线段下方的半个平面的情况与线段上方的情况相同，于是我们就得到了两个对称的圆弧和圆弧，其中不包括两个端点、（图4.2（b）. (a) (b) 图4.24.5.给定一个点和一条直线，找到点的轨迹，其中点是一个端点在直线上并以为中点的线段的另一个端点.解：如果点在直线上，并且点是的线段中点，那么点是点以点为中心以角旋转得到的像.因此轨迹是直线以点为中心旋转角度得到的结果.当然，轨迹是到点的距离与直线到点的距

4、离相等的直线的平行线.（图4.3） 图4.3问题4.6.找到所有到两条给定平行线的距离相等的点的轨迹.4.7.找到所有的到给定直线的距离等于给定距离()的所有点形成的轨迹4.8.给定线段，圆，角和角.找出所有点形成的轨迹，其中从点以角看线段，以角看圆，集合有多少个元素？4.9.给定正方形和角度，找到所有以角度看正方形的点的轨迹，当角的范围是时解决相同问题.4.10.给出了线段和线段，其中、 ()，求出所有满足的点所形成的轨迹.4.11.证明一个任意三角形的三条边上的垂直平分线相交于一点.4.2对称性和其他变换对称性4.12.在社区居住并且在公司工作的人（见图4.4（a），通常会选择开车送孩子完

5、孩子就去上班的方式.那么为了尽量减少驾驶我们应该将学校修建在公路上何处？（一旦学校的地址选定，公路和也将被建成.）分析：设点是点关于直线对称的图像.所以有（见图4.4（b）.所有破碎的线，线段是最短路线.解：画出点关于直线对称的图像点和直线 ，直线和直线 的交点即为学校的最佳选址. (a) (b) 图4.4 4.13.设一条河的两边是平行的两条直线，城市A和B分别位于河的两边（见图4.5（a）.为了减少城市A和B之间的行驶距离，我们应该在河的什么地方建桥（当然，所建的桥必须垂直于河流两侧）？ (a)地图 (b) 图4.5分析：设点是点以河的宽度为平移距离，以向着河流并垂直于河流的方向平移所得到

6、的结果.（参见图4.5（b）.那么:.而在所有的折线之间，线段是最短的线段 解决方案:做点以河的宽度为平移距离，以向着河流并垂直于河流的方向平移所得到的结果点，并连接和.河的下游侧与的交点就是建造这座桥的最好的地方. 4.14.两个任意的圆有且仅有两个共同的点和点.找到过点且使得在两圆中所形成的弦的长度相等的直线.这个问题能有多少中解决方案？ 分析：至少有一个解决方案：直线. 假设直线线不过点，并且（见图4.6）. 图4.6由于点是点关于点的对称点，所以，给定的过点圆的对称圆必须过点.解决方案：做给定的过点圆的对称圆，每一个圆的对称圆与另一个给定圆的交点决定了所要找的直线.此证明过程显然基本上

7、是过程的重复。研究：由于点在圆上，圆上的点中必有点在圆内（不要忘了，圆和圆有且仅有两个不同的公共点！），圆必有有一点在圆外（也就是指点关于点的对称点）.因此，、必将有且仅有一个除点以外的交点，于是问题的解决方案总是能找到两个（不要忘了这第一个解决方案就是）.我毫不怀疑我的读者有一定的关于平移，旋转，中心对称，镜面对称等常用的转换类型的良好知识基础.这里我想对另一个重要的转化类型同位有一个更详细的介绍.位似给定一个点和一个非零的数，位似变换或者说位似，是指以点为位似中心以为位似系数的的变换映射，这个映射将任意点映射成在直线上满足:的点 ，记.请注意，不像仅仅代表线段的长度那样，向量和是也包含着方

8、向的.当方向向量的方向与一个单位方向向量的方向相同时，对于该方向向量的的测量结果等于对应 图4.7 位似系数线段的长度，如果方向不同，那么测量结果为.若为一个负的位似系数，就将暗示着点和点将会位于位似中心的相反的两端.图4.8 位似系数位似变换所得的图像是几何图形在位似变换下形成的.而这个位似变换是由构成几何图形上的点到得到的几何图形上的点的位似变换组成的.请注意（并证明！）一下问题：（a） 线段的位似变换图像是一段平行于线段的线段，且线段满足，其中是位似变换的系数.（b）两个位似的多边形和多边形是相似的.（c）任意两个圆、都是位似的（即，一定存在一个位似变换满足）.（d）相对于一个点对称性是

9、一种特殊的情况下的位似变换，其中位似变换的系数.4.15.给定的锐角三角形内的内接正方形.分析：要使得正方形内接于锐角三角形内，正方形有两个点如点和点必须在三角形的同一条边上如，另外两个点分别位于三角形的另外两条边上（见图4.9）.图4.9如果我们放弃关于顶点必须在三角形的边上，那么我们就能得到很多（事实上，无限多的）满足其他条件所有条件（即，边在边上，顶点在边上）的正方形.让我们取其中的一个正方形，就会发现正方形和正方形是位似的！构造：（1）构造正方形：其中正方形的边在三角形的边上，顶点在边上；取在边上的点，过点作，满足的点记为点，过点向边引垂线，然后过点做边的垂线，所得两条垂线的交点即为点

10、. （2）通过点和点画直线，记线和线的交点为点（3） 以为位似系数，以点为位似变换中心的位似变换可以总结这一构造:证明.:一个正方形的经过位似变换后所得的结果还是一个正方形.选择在边上的点，在边上的点，类似的，还有边上的点以及点.于是，由于且点是边上的一点，点是边上的一点，类似可以证得点和点是线段上的点.研究.在假设正方形的两个顶点在三角形的边上的前提下，在我们的构造中点的存在性和唯一性总能给我们一个确切的解决方案，如果假设条件改变，即正方形的两个顶点在边上，我们可以得到另一个解决方案，当正方形的两个顶点在边上，我们又能得到一个方案.这样，这个问题总是有三种解决方案的.问题4.16.果一条河的两条分流隔断了城市和城市（见图4.10），这两条分流是两边平行的直边河，为了使从城市到城市的旅程最短,应该在两河的何处建桥？图4.104.17.给定三条平行线，.请找到一个等边三角形，其中三角形的三个顶点、分别位于，这三条平行线上.4.18.给定的三个同心圆