层次分析法 数学建模

1、层次分析法一、分析模型和一般步骤二、建立层次结构模型三、构造成对比较矩阵四、作一致性检验五、层次总排序及决策一. 层次分析模型和一般步骤层次分析法是一种定性与定量分析相结合的多因素决策分析方法。这种方法将决策者的经验判断给于数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便，因而在实践中得到广泛应用。层次分析的四个基本步骤：（1）在确定决策的目标后，对影响目标决策的因素进行分类，建立一个多层次结构；（2）比较同一层次中各因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性，构造成对比较矩阵；（3）通过计算，检验成对比较矩阵的一致性，必要时对成对比较矩阵进行修改，以达到可以接受的一致性；（4）在符

2、合一致性检验的前提下，计算与成对比较矩阵最大特征值相对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重；计算各因素对于系统目标的总排序权重并决策。二. 建立层次结构模型将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。例1 购物模型某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：例2 选拔干部模型对三个干部候选人 、 、，按选拔干部的五个标准

3、：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型： 假设有三个干部候选人 、 、，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型例3 评选优秀学校某地区有三个学校，现在要全面考察评出一个优秀学校。主要考虑以下几个因素：（1）教师队伍（包括平均学历和年龄结构）（2）教学设施（3）教学工作（包括课堂教学，课外活动，统考成绩和教学管理）（4）文体活动三、构造成对比较矩阵比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重成对比较矩阵。成对比较矩阵中的取值可参考 Satty 的提议，按下述标度进行赋值。来描述。设共有 n 个元素参与

4、比较，则称为在 19 及其倒数中间取值。······与元素 i 与元素 j 对上一层次因素的重要性相同； 元素 i 比元素 j 略重要； 元素 i 比元素 j 重要； 元素 i 比元素 j 重要得多； 元素 i 比元素 j 的极其重要； ，之间；，当且仅当。 元素 i 与 j 的重要性介于·成对比较矩阵的特点：，。对例 2， 选拔干部考虑5个条件：品德 ，才能 ，资历 ，年龄 ，群众关系 。某决策人用成对比较法，得到成对比较阵如下：=5 表示品德与年龄重要性之比为 5，即决策人认为品德比年龄重要。四. 作一致性检验从理论上分

5、析得到：如果是完全一致的成对比较矩阵，应该有。但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。对成对比较矩阵的一致性要求，转化为要求：的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。检验成对比较矩阵 A 一致性的步骤如下：o 计算衡量一个成对比矩阵 A （ >1 阶方阵）不一致程度的指标：其中是矩阵 A 的最大特征值。：从有关资料查出检验成对比较矩阵 A 一致性的标准有关。 称为平均随机一致性指标，它只与矩阵阶数o 按下

6、面公式计算成对比较阵 A 的随机一致性比率 CR：o 。 时，判定成对比较阵 A 具判断方法如下： 当有满意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否则就调整成对比较矩阵 A，直到达到满意的一致性为止。R,T=eig(A)；。 计算得到，查得，。这说明 A 不是一致阵，但 A 具有满意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。 这个向量也是问题所需要的。通常要将该向量标准化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于 1。该特征向量标准化后变成AU=abs(U)；AU/sum(AU)；得到W1=（0.4758 0.2636 0.0538 0.0981 0.1087）。经过标准化后这个向量称为权向量。这里

7、它反映了决策者选拔干部时，视品德条件最重要，其次是才能，再次是群众关系，年龄因素，最后才是资历。五. 层次总排序及决策现在来完整地解决例 2 的问题，要从三个候选人、 、 中选一个总体上最适合上述五个条件的候选人。对此，对三个候选人群众关系 分别比较他们的品德。 ，才能，资历，年龄，先成对比较三个候选人的品德，得成对比较阵经计算， 的权向量故，。 ，的不一致程度可接受。 可以直观地视为各候选人在品德方面的得分。类似地，分别比较三个候选人的才能，资历，年龄，群众关系得成对比较阵通过计算知，相应的权向量为它们可分别视为各候选人的才能分，资历分，年龄分和群众关系分。经检验知 的不一致程度均可接受。a

8、1,b1=eig(B1)；a2,b2=eig(B2)；a3,b3=eig(B3)；a4,b4=eig(B4)；a5,b5=eig(B5)；W2=a1(:,1),a2(:,1),a3(:,1),a4(:,1),a5(:,1)；将W2标准化后得到W2=0.0819 0.5954 0.3967 0.6337 0.3583 0.2363 0.2764 0.3967 0.1919 0.1283 0.6817 0.1283 0.2065 0.1744 0.5134 W=W1*W2= 0.3184 0.2394 0.4422w=ones(5,1)w=A*w/sum(abs(A*w) 重复运行此命令w1=ones(3,1);w1=B1*w/sum(abs(B1*w); 重复运行此命令 w2=ones(3,1);w2=B2*w2/sum(ab