基于可替代资源的稀缺资源利用问题研究

1、基于可替代资源的稀缺资源利用问题研究    摘 要 在线性规划资源利用问题模型基础上，研究了减少一种稀缺程度相对较高的资源限量，同时增加一定比例的另一种可替代该资源的稀缺程度相对较低的资源限量，而使企业原有最优生产目标值不减的问题.通过对不同情况的分类讨论，得到相应的资源改变量及其比例的取值决定和取值范围，对稀缺资源的节省利用具有一定意义.    关键词 线性规划；灵敏度分析；可替代资源    中图分类号 TP13 文献标识码 A    

2、;Research on Utilization of Scarce Resources Based on Alternative Resources     FEI Wei    (Dongbei University of Finance and Economics, Mathematics and Quantitative Economics, Liaoning，Dalian 116025,China)     Abstract Based on the linear

3、programming model of the resources utilization, this paper studied how to reduce the scarce resource limits with the relatively high scarcity by increasing a certain proportion of another alternative resource limits with the relatively low scarcity, in order to make the original optimal production t

4、arget of an enterprise not reduced. And by the classification of different situations, the corresponding change of resources, the decisions of the proportion and the range of values can be obtained, which is of a certain sense for saving and using scarce resources.    Keywords li

5、near programming；sensitivity analysis；alternative resources    1 引 言随着经济的发展，各种资源的消耗，尤其是稀缺资源的大量减少，已经受到人们的关注，各国各地区逐渐将经济的可持续发展作为发展的主题，尤其对稀缺资源的节省利用问题采取了各种方法1-3.其中可再生资源的开发利用，以及用其替代部分稀缺或不可再生资源就是一种较好的稀缺资源节省利用方式.而将其实施到具体的企业生产过程中，就涉及到企业的最优生产计划安排，如何能在保持原有最优生产目标值不减少的前提下，使某种稀缺程度相对较高的资源限量减少，同

6、时增加另一种稀缺程度相对较低的资源限量？这是在稀缺资源利用问题中，企业的生产实践所面临的实际问题.    本文通过一般资源利用问题的线性规划模型，对上述问题进行具体的分析研究，以期得到具有实际意义的结果，并能对企业生产安排起到适当的指导作用.    2 基于可替代资源的资源利用问题分析    2.1 一般资源利用问题模型4-7    对于一般的资源利用问题可表述为，企业利用m种资源生产n种产品，每种产品生产多少可使得企业总收益最大？常用

7、如下线性规划模型进行描述：    （LP） max f=CTX    s.t.AXb，X0,（1）    其中C=(c1,cj,cn)TRn表示原问题目标函数系数向量，一般表示各种产品的效益系数；b=(b1,bi,bm)TRm表示原问题约束右端项向量，一般表示各种产品生产所需的每种资源限量；A=(aij)m×n是各种产品生产时的单位消耗系数；X=(x1,x2,xn)T是决策变量，一般表示各种产品的产量.     该问题的对偶规

8、划为（DLP）min z=YTb    s.t.ATYC,Y0,（2）    其中对偶变量Y=(y1,y2,ym)T的经济意义可认为是对应各种资源的影子价格，表示在这一经济结构中各种资源在最优决策下的边际价值.由对偶理论可得：设B是原规划（LP）的最优基，CB是最优基变量对应的目标函数系数向量，X*、Y*分别是原问题和对偶问题的最优解，则    CTX*=Y*Tb=CBB-1b，其中Y*T=CBB-1.    经 济 数 学第 29卷第

9、1期费 威：基于可替代资源的稀缺资源利用问题研究    其中最优基系数矩阵B的逆矩阵B1=(in+j)m×m，最优解向量为B1b=1,mT，j（j=1,n）表示对应变量xj的检验数，yj（j=1,m）表示当原问题非退化情况下的第j种资源的影子价格8.    2.2 两种资源替代问题的灵敏度分析    以两种资源之间的相互替代为例，设第k种、第l种资源分别表示现有经济结构下，稀缺程度相对较高和相对较低的两种资源，且在生产过程中两种资源可以相互进行替代，则考虑能否增加一

10、定量的第l种资源数量，同时减少一定量的第k种资源，而使原有的目标函数值不减？    若用bj（j=1,m）表示第j种资源的变化量.设bk（0）是第k种资源可减少的绝对量，bl（0）是第l种资源可增加的绝对量，且blbk=t表示两种资源增减量的比例为t.    由资源限量的灵敏度分析可知，当bkin+k+blin+l+i0，i=1,m时，该资源利用问题的最优基不变，检验数行不变，只有目标函数值和最优解发生变化.将上述blbk=t代入可得：    当第k种资源限量减少bk时，第l

11、种资源限量增加bl，且blbk=t时，若    max iiin+k+tin+lin+k+tin+l0bkmin iiin+k+tin+lin+k+tin+l0,    则原问题的最优表中最优基不变，检验行不变，    目标函数值改变量为f=(tylyk)bk，最优基解为XB=(1+(t1n+l1n+k)bk,i+(tin+lin+k)bk,m+(tmn+lmn+k)bk)T.    因此若要保持现有最优生产结构安排不变，而通过k,l两

12、种资源之间的相互替代实现最优目标值不减，可分以下几种情况进行讨论.    1)当yl0时    若当i=1,m时，至少存在某一行使in+k+tin+l0，且min iiin+k+tin+l|in+k+tin+l00，其中tykyl.则令bk=i0i0n+k+ti0n+l=min iiin+k+tin+l|in+k+tin+l0，    可使目标函数值增值最大为f*=(tyl          &#

13、160;        yk)i0i0n+kti0n+l.证明 由灵敏度分析可知max iiin+k+tin+lin+k+tin+l0bkmin iiin+k+tin+lin+k+tin+l0，f=blylbkyk=(tylyk)bk，且由tykyl知tylyk0，为使f最大，则在tylyk一定时，应使得bk0，且bk越大越好，则必有bk=i0i0n+k+ti0n+l，因而将其代入f可得f*=(tylyk)i0i0n+kti0n+l.利用上述结论，在具体问题分析时，如何确定比例t和改变量bk，可依据如下两种方法：方法一，取决

14、于企业具体的目标增值而定，如给定，可由t=yki0+i0n+kyli0+i0n+l（由=(tylyk)·i0i0n+kti0n+l整理即得），但注意此时比例t应满足tykyl.再根据bk=i0i0n+k+ti0n+l，可得bk.方法二，如果企业没有设定具体的目标增值，而是希望得到的目标增值越大越好，则需要先确定比例t.由至少存在某一行使in+k+tin+l0条件可得，若使每一行in+k+tin+l0的t的取值范围，将该范围同tykyl比较看是否存在交集.若不存在交集，则该行只能是in+k+tin+l0；若存在，则t的某一取值既可满足tykyl又可使in+k+tin+l0，此时若只有一

15、行is的t的取值存在交集，则有bk=isisn+k+tisn+l，且t可在该交集内任意取值.若有不止一行t的取值存在交集，则应取这几个交集的交集，使t在此交集内取值，并使bk=i0i0n+k+ti0n+l=min iiin+k+tin+l|in+k+tin+l0.由t=yki0+i0n+kfyli0+i0n+lf，令其取值为该交集内的范围，即可解得可达到的目标函数增值f的可能范围.下面以具体实例进行说明：例 设某个资源利用问题的线性规划模型为1max f=x1+2x2+13x3s.t.x1+3x2+3x360，3x2+x340，x1+x220，x1,x2,x30.可求得该问题的最优表如表2所示

16、.由此可得原问题的最优解为X*=(607，807，407）T，最优目标函数值f*=1003.若第二种资源是稀缺程度相对较低的资源，而第三种资源是稀缺程度相对较高的资源，且两种资源之间可以相互替代，问减少第三种资源限量为b3，增加第二种资源限量为b2=tb3，当它们取值多少时，可以使原最优目标函数值不减，且不改变原有的最优生产结构.根据上述方法二，由表2可得y2=13,y3=1，因此ty3y2=3.根据表2，若使每一行取i6+ti50，有3727t0t32；17+37t0t13；6737t0t2，可见它们与ty3y2=3的交集分别为t3；空集；t3.所以第一行和第三行可以在t3的条件下满足16+

17、t150，26+t250.而第二行只能26+t250.因此取b3=min i=1,3ii6+ti5i6+ti50=4073727t,6076737tt3=20t+2.那么f*=(ty2y3)b3=(13t1)20t+2.由t=20+2f203f3，可得0f203.因此可以取t3范围内的t值， 相应b3=20t+2，这样可使目标函数值在0f203范围内增加.如t=8，b3=2，则f*=103.由方法一，若企业的目标增值=103，则由t=y33+36y23+35=8，b3=336+t35=2.即减少第三种资源的数量为2个单位，增加第二种资源的数量为16（2×8）个单位，总目标函数值增值为

18、103.同时还可求得当前的最优解为X*=(1+(t1516)b3,2+(t2526)b3,3+(t3536)b3)T=(0,18,2)T.当i=1,m时，若不存在in+k+tin+l0，且tykyl，显然有bk无上界，f=(tylyk)bk.只需取bk0，则可使得f0.具体的确定方案可参照1.当i=1,m时，若所有in+k+tin+l=0，且tykyl，则t=in+kin+l，但需满足in+kin+lykyl.此时f=(in+kin+lylyk)bk.2)当yl=0时若yk=0，且存在min iiin+k+tin+lin+k+tin+l00，则有f=0，bk可在满足0bkmin bk,min

19、iiin+k+tin+l|in+k+tin+l0范围内任意取值，同时t可根据企业的生产目标确定或bk的取值范围确定.若yk0，则根据f=(tylyk)bk=ykbk0，显然如果仍保持变化后的最优基不发生变化，已不存在使目标函数值不减的可能.因此，对于此种情况应使bkmin iiin+k+t                   in+l|in+k+tin+l0，然后利用对偶单纯形法重新求解，重新求解后的最优表中各值均发生变化，yk减小，yl增加，再根据前述1）中各种情况进行分析.3)当yk=0时，在这种特殊情况下，有时可不必利用资源替代方法，即可使第k种资源限量减小，并同时目标函数值不减，由文献1中定理2可知根据最小比值原则，选择xn+k所在列的某一in+k为主元进行迭代，使xn+k进基，如果迭代后得到基变量xn+k0，则说明第k种资源的可节省量即为xn+k.说明在实际中第k种资源可由新的最优解所确定的生产方案得到节省利用，而无需利用另一种资源进行替代.3 结 论利用两种可替代资源，对企业原有最优生产方案进行调整分析，使得调整后稀缺程度相对较高的资源限量得到减少，同时稀缺程度相对较