(完整版)必修四_任意角与弧度制__知识点汇总(教师版)

1、美博教育任意角与弧度制知识梳理 :一、任意角和弧度制1、角的概念的推广定义：一条射线 OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置 OB，就形成了角，记作：角 或可以简记成。2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。正角：按照逆时针方向 转定的角。零角：没有发生任何旋转的角。负角：按照顺时针方向 旋转的角。3、 “象限角”为了研究方便， 我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

2、4、常用的角的集合表示方法1、终边相同的角：（ 1）终边相同的角都可以表示成一个 0 到 360 的角与 k( k Z ) 个周角的和。（ 2）所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合S|k 360 , kZ即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和注意：1、 kZ2、是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。14、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。例 1、（1）若角的终边与 8角的终边相同，则在0,2上终边与的角终边相54同的角为。若 角的终边与 8/5 的终边相同则有： =2k+8/5

3、(k 为整数 )所以有： /4=(2k +8/5)/4=k /2+2 /5当： 0k/2+2 /5 2有： k=0 时，有 2/5与 /4 角的终边相同的角k=1 时，有 9/10与 /4 角的终边相同的角（ 2）若和是终边相同的角。那么在例 2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角， 最大负角：（ 1）210；（ ）1484 372例 3、求，使与900 角的终边相同，且180 ，1260 2、终边在坐标轴上的点：终边在 x 轴上的角的集合：|k180, kZ终边在 y 轴上的角的集合： |k18090 , kZ终边在坐标轴上的角的集合：|k 90, kZ3、终边共线且反向

4、的角：终边在y x 轴上的角的集合：|k 18045, kZ=终边在 yx 轴上的角的集合：|k 18045, kZ4、终边互相对称的角：若角与角的终边关于 x 轴对称，则角与角的关系：360k若角与角的终边关于 y 轴对称，则角与角的关系：360k 180若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180k角 与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360 k902例 1、若k360，m 360( k, m Z ) 则角与角 的中变得位置关系是（）。A. 重合B.关于原点对称C.关于 x 轴对称 D.有关于 y 轴对称例 2、将下列各角化成0 到 2的角加上2k ( kZ)的形式（1） 19（2

5、） 3153例 3、设集合 Ax | k 36060xk 360300 , kZ,B x | k360210x k360 ,kZ, 求 AB , AB .二、弧度与弧度制1、弧度与弧度制：弧度制另一种度量角的单位制，它的单位是 rad读作弧度定义：长度等于的弧所对的圆心角称为1 弧度的角。BCl=2rr2rad1radArAoo如图： AOB=1rad， AOC=2rad ，周角 =2 rad注意：1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02、角 的弧度数的绝对值l （ l 为弧长， r 为半径）r3、用角度制和弧度制来度量 零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度

6、制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。2、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度角度与弧度的互换关系：360 =rad180=rad3 1 =rad 0.01745rad1801rad18057.30 57 18'注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.例 1、 把 67 30' 化成弧度例 2、 把 3 rad 化成度5例 3、将下列各角从弧度化成角度（ 1）rad（ 2） 2.1 rad（3） 3rad365例 4、用弧度制表示： 1 终边在 x 轴上的角的集合2 终边在

7、y 轴上的角的集合三、弧长公式和扇形面积公式lr；S1 lR1r 222例 1、已知扇形的周长是216 cm，面积是 2 cm，则扇形的中心角的弧度数是或 4 .例 2、若两个角的差为1弧度，它们的和为1 ，求这连个角的大小分别为。例 3、 直径为 20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 41653例 4、（1）一个半径为 r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？4.例 5、（ 1）已知扇形的周长为10，面积为 4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的

8、周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？（七）任意角的三角函数（定义）1 设 是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y ），则 P 与22x 2y20原点的距离 rxy2比值 y 叫做 的正弦记作：siny ；比值 x 叫做 的余弦记作：rrrxcosr比值 y 叫做 的正切记作：tany ；比值 x 叫做 的余切记作：xxyxcoty比值 r 叫做 的正割记作：secr；比值 r叫做 的余割记作：xxyrcscy注意突出几个问题： 角是“任意角”，当=2k + (kZ) 时， 与 的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。三角函数是以“比值”为函数值的函数 r 0 ，而 x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定三角函数在各象限的符号：定义域：ysinycotycosysecytanycsc54.是第二象限角， P（x ，5 ）为其终边上一点，且cos=2 x , 则 sin=4104.已知角的终边落在直线 y=-3x (x 0) 上，则 si