无愧为思维的“体操”彰显新的课程理念——记一道中考题的多种解法

1、无愧为思维的“体操”，彰显新的课程理念记一道中考题的多种解法安徽省安庆市宜秀区五横初中 戴向阳邮246051 手题目】 （兰州中考） 已知边长为4的正方形 E A F 截去一个角后成为五边形ABCDE M P （如图1所示），其中AF=2，BF=1。 B 试在AB上求一点P，使矩形PNDM 有最大面积。 D N C 笔者从不同角度对该题作了有效探索，总结出如下五种解法，以飨读者并与读者共勉之。 从相似角度寻找DN、PN间关系 图1 欲求矩形PNDM的面积，须找到PN与DN间的关系式，而图形中隐藏着大量的三角形相似，所以可尝试通过三角形相似，建立DN与PN间等量关系。

2、解法1：如图1所示，令DN=x，PN=y，矩形PNDM面积为S， E A F 并延长MP交BF于G点。则有PBGABF，PG=4-x ， M P GBG=y-3 。 BGPG=BFAF，即（y-3）（4-x）=12 ， B y=-0.5x+5 ，S=xy=-0.5x2+5x（2x4），此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5 。当x5时，函数的值是随x的增大而增大，对2x4来说，当x=4时 D N C ，S有最大值，S最大=-0.5×42+5×4=12 。 图1 从函数概念角度思考 。 A 若令DN=x，NP=y，矩形PNDM面积为S。很明显 M P 当x变化时，y也随着变

3、化。所以y是x的函数。 B 那么y是x的什么函数呢？由于P点在直线AB上，因此y是x的一次函数。于是S=xy必是x的二次函数。再利用P点的三个特位置，问题便顺利解决。 D N 解法2：如图2所示建立直角坐标系，设矩形PNDM面积 图2 为S。因P点在线段AB上运动，令P（x，y），则y是x的一次函数。于是S=xy，显然S是x的二次函数，不妨设S= ax2+bx+ c 。当P点在A点（即x=2）时，S=2×4=8；当P点在B点（即x=4）时，S=4×3=12；当P点在AB的中点（即x=3）时，S=3×3.5=10.5 。从而有： 4a+2b+c=8 a= -0.5

4、16a+4b+c=12 解得 b=5 所以S=-0.5x2+5x（2x4）， 9a+3b+c=10.5 c=0 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5 。当x5时，函数的值是随x的增大而增大，对2x4来说，当x=4时，S有最大值，S最大=-0.5×42+5×4=12 。 从选择合理坐标系建立函数模型来思考 因矩形PNDM的面积与DN、PN有关，即与直线AB上P点有关，而直线AB对应于一次函数，所以只要建立适当坐标系，矩形的长与宽间的一次函数关系便明确了。从而有了如下解法： 解法3，如图2所示建立直角坐标系，则有A（2，4）、B（4，3），于是AB的解析式为y=-0.5x+

5、5 ,故令DN=x时，DM=-0.5x+5 。若设矩形PNDM面积为S，于是S=x（-0.5x+5）=-0.5x2+5x（2x4），此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5 。当x5时，函数的值是随x的增大而增大，对2x4来说，当x=4时，S有最大值，S最大=-0.5×42+5×4=12 。 从面积关系审视 因本题与面积相关，而图形中存在大量的面积，所以不妨从图形间面积关系，来寻找矩形PNDM的长与宽之间联系，打开问题思路。 解法4：如图3所示，设DN=x，PN=y，矩形PNDM面积为S，根据：矩形PNDM面积=矩形FCDE面积-梯形EAPM-梯形BCNP-AFB面积 E

6、A F 有：xy=16-0.5（x+2）（4-y）-0.5（y+3）（4-x）-1 M P经整得y=-0.5x+5 。从而S=xy=-0.5x2+5x（2x4）， B 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5 。当x5时，函数的值是随x的增大而增大，对2x4来说，当x=4时，S有最大值，S最大=-0.5×42+5×4=12 。 D N C 从整体上考虑 图3 上述4种解法都是通过两大步完成的，先确定y与x关系式（或函数关系），再探索S与x之间函数关系，从而解决问题。那么，是否有一种直接确定S与x之间函数关系的方法呢？回答是肯定的： 解法5，如图4所示，延长BA交DE延长线于

7、H点， H令DN=x，PN=y，矩形PNDM面积为S，易得EH=BF=1，EA=2， E A F HEA面积=0.5×2×1=1，HMP面积=0.5×HM×PM= M P 0.5（1+4-y）x=0.5（5-y）x 。根据面积比等于 B 相似比有： EA2MP2=10.5（5-y）x ，即4x2=10.5（5-y）x 10x-2xy=x2 xy=-0.5x2+5x ，故有： D N C S=xy=-0.5x2+5x（2x4） 图4 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5 。当x5时，函数的值是随x的增大而增大，对2x4来说，当x=4时， S有最大值，

8、S最大=-0.5×42+5×4=12 。 不难明白，这是一道训练思维、考察思维能力的好题。既有常规解法1，又有独特的奇思妙想25。每一解法的思维方法都别出心裁，且超越了解法1。解法2体现了学生对函数概念深刻理解，解法3体现学生对直角坐标系工具作用的深切体会与灵活驾驭的技巧，解法4表现了学生在看似无关的事物中把握内在联系的能力，解法5反映出学生对问题整体构思，运用整体思想观念考虑、处理问题的能力。喻其为“思维的体操”，当之无愧！ 解法1是中考试卷提供的参考答案，一方面它既考查了相似三角形、二次函数等有关基础知识、基本技能，考查了学生综合运用的能力；另一方面它又考查了数形结合的数学思想，检测了学生抽象思维和形象思维品质。然而这道题目的亮点，又远远超出了命题专家的初衷。可贵之处在于：它的解法是开放的，思维的视角是多样的，数学思想方法是富饶的。该题有利于考查学生的创新意识和创造性思维