《北航-高等数学-张奇业》高数讲座第一讲

1、高等数学方法与应用 第一讲第一讲 实数系基本定理及其应用实数系基本定理及其应用一、实数集不可数一、实数集不可数二二、实数系基本定理实数系基本定理三、基本三、基本定理的等价性定理的等价性四、应四、应 用用高等数学方法与应用结论结论1: 1: 有限集等势的充分必要条件是它们的元素个有限集等势的充分必要条件是它们的元素个数相同数相同. .目的目的: :认识有限集与无限集的差别认识有限集与无限集的差别. .1、势、势.,存存在在一一一一对对应应之之间间与与如如果果等等势势与与称称为为两两个个集集合合设设BABABA定义定义1例例1 正偶数集正偶数集与自然数集等势与自然数集等势.,2 , 4 , 2:;

2、, 2 , 1:nn正正偶偶数数集集自自然然数数集集结论结论2: 2: 无限集可以与其真子集等势无限集可以与其真子集等势. .一、实数集不可数一、实数集不可数高等数学方法与应用2、 稠密性稠密性(1)有理数集是稠密的有理数集是稠密的: 任意两个有理数间必有任意两个有理数间必有一个有理数一个有理数;(2)无理数集是稠密的无理数集是稠密的: 任意两个无理数间必有任意两个无理数间必有一个无理数一个无理数;(3)实数集是稠密的实数集是稠密的: 任意两个实数间必有一个任意两个实数间必有一个实数实数.注记注记1 1：自然数集不稠密自然数集不稠密高等数学方法与应用结论结论3: 正正偶数集偶数集, 整数集是可

3、数集整数集是可数集.目的目的: :认识同为无穷集的自然数集、偶数集、认识同为无穷集的自然数集、偶数集、 有理数集和实数集的差别有理数集和实数集的差别. .3、不可数性、不可数性.,为为不不可可数数集集建建立立一一一一对对应应；否否则则称称与与自自然然数数集集可可以以如如果果为为可可数数集集称称为为一一无无穷穷数数集集设设NEEE定义定义2., 2, 2 , 1, 1 , 0:;,2 , 4 , 2:nnn 整整数数集集偶偶数数集集例例2 0,1中的有理数构成的集合是可数集中的有理数构成的集合是可数集.,54,53,52,51,43,41,32,31,21, 1 , 0高等数学方法与应用 证证

4、(反证法反证法) ,)1 , 0(,)1 , 0(,)1 , 0(2,1nxxxN的的元元素素可可以以排排序序，设设为为即即有有一一一一对对应应可可以以与与那那么么是是可可数数集集设设.)1 , 0(是是不不可可数数集集集集是是不不可可数数集集，从从而而实实数数R定理定理1引理引理 可数个可数集的并集是可数集可数个可数集的并集是可数集.,312213211211132123222121312111aaaaaaAaaaAaaaAaaaAnnkkkk 结论结论4: 4: 有理数集是可数集有理数集是可数集. . 证证 高等数学方法与应用,. 0,. 0,. 0,. 03213332313232221

5、21312111nnnnnaaaxaaaxaaaxaaaxx 写成十进制形式：写成十进制形式：将将 1211,. 021kkkkkkaabbbbb若若若若其中其中现构造一个十进制的数现构造一个十进制的数.,),1 , 0(Nnxbbn 但但显然显然.,)1 , 0(不可数不可数所以所以不可数不可数故故R注记注记2：此方法称为对角线方法；可数集有时此方法称为对角线方法；可数集有时 也称为可列集也称为可列集.总结：总结：有理数集是可数集有理数集是可数集; ; 无理数集是不可无理数集是不可数集数集; ; 实数集是不可数集实数集是不可数集. .高等数学方法与应用1. 确界存在定理确界存在定理2. 单调

6、数列收敛定理单调数列收敛定理3. 区间套定理区间套定理4. 收敛子列定理收敛子列定理(致密性定理致密性定理)5. 柯西收敛原理柯西收敛原理二、实数系基本定理二、实数系基本定理高等数学方法与应用.,:;,:;| , 0:, axExabxExbMxExME 下下界界上上界界界界对对于于数数集集1、确界存在定理、确界存在定理首先定义数集的界首先定义数集的界, 上界上界, 下界下界.定义定义2., 0 (2);, (1),. MxExMxExEMRE使使如果如果的上确界的上确界为为称称设设记记.SupremumSup.SupSup的缩写的缩写是拉丁文是拉丁文xEMEx 定义定义1高等数学方法与应用定

7、义定义2., 0 (2);, (1),. mxExmxExEmRE使使如如果果的的下下确确界界为为称称设设记记.InfimumInf.Infinf的缩写的缩写是拉丁文是拉丁文xEmEx 注记注记1: 上确界意为最小上界上确界意为最小上界; ;下确界意为最大下界下确界意为最大下界. .定理定理1(确界存在定理确界存在定理)(1)非空有下界的数集必有下确界非空有下界的数集必有下确界;(2)非空有上界的数集必有上确界非空有上界的数集必有上确界.例例1 1. 0Inf; 1Sup, 2 , 1,1 EEnnE定理定理22、单调数列收敛定理、单调数列收敛定理单调有界数列有极限单调有界数列有极限. .高等

8、数学方法与应用定义定义3).(0 (2);, 2 , 1, 1)(:, 2 , 1,)(1, 1, nabnbabanbannnnnnnn闭闭区区间间列列是是指指满满足足下下列列条条件件的的序序列列一一个个闭闭区区间间套套3、区间套定理区间套定理例例2., 2 , 1,1, 0)2(;, 2 , 1,1,1)1(都是闭区间套都是闭区间套 nnnnn定理定理3(Cantor).limlim,2 , 1,nnnnnnnnbanbaba 且且唯唯一一的的则则存存在在是是一一个个闭闭区区间间套套列列设设Cantor: 康托尔康托尔,18451918,德国德国高等数学方法与应用定理定理4(Bolzano

9、Weierstrass 致密性定理致密性定理) 有界数列必有收敛子列有界数列必有收敛子列. Cauchy: 柯西柯西,17891857,法国法国4、致密性定理、致密性定理定义定义4).(Cauchy.|, 0或或基基本本列列列列为为则则称称有有时时使使得得当当满满足足条条件件：若若数数列列nmnnxxxNmnNx Bolzano:波尔察诺波尔察诺,17811848,捷克捷克Weierstrass:维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯,1815-1897,德国德国 5.柯西收敛原理柯西收敛原理定理定理5(柯西收敛准则柯西收敛准则).是是柯柯西西列列收收敛敛数数列列nnxx.有有界界是是柯柯西西列列，则则若若

10、数数列列nnxx引理引理高等数学三、基本定理的等价性证明三、基本定理的等价性证明确界定理确界定理单调有界单调有界闭区间套闭区间套柯西准则柯西准则致密性致密性高等数学方法与应用1、确界、确界定定理理 单调单调有界有界定理定理定理定理2 单调有界数列有极限单调有界数列有极限. .高等数学方法与应用2、单调有界单调有界定理定理 区间套区间套定理定理定理定理3(Cantor).limlim,2 , 1,nnnnnnnnbanbaba 且且唯唯一一的的则则存存在在是是一一个个闭闭区区间间套套列列设设定义定义3).(0 (2);, 2 , 1, 1)(:, 2 , 1,)(1, 1, nabnbabanb

11、annnnnnnn闭闭区区间间列列是是指指满满足足下下列列条条件件的的序序列列一一个个闭闭区区间间套套证证 (1) 存在性存在性高等数学方法与应用(2) 唯一性唯一性高等数学方法与应用3、区间区间套套定理定理 致密性致密性定理定理证证高等数学方法与应用高等数学方法与应用4、致密性致密性定理定理 柯西收敛准则柯西收敛准则定义定义4).(Cauchy.|, 0或或基基本本列列列列为为则则称称有有时时使使得得当当满满足足条条件件：若若数数列列nmnnxxxNmnNx 定理定理7(柯西收敛准则柯西收敛准则).是是柯柯西西列列收收敛敛数数列列nnxx证证(必要性必要性).有有界界是是柯柯西西列列，则则若

12、若数数列列nnxx引理引理高等数学方法与应用（充分性）（充分性）高等数学方法与应用5、柯西收敛柯西收敛准则准则 确界定理确界定理证证 只证只证(2), (1)类似类似定理定理1(确界存在定理确界存在定理)(1)(1)非空有下界的数集必有下确界非空有下界的数集必有下确界; ;(2)(2)非空有上界的数集必有上确界非空有上界的数集必有上确界. .定义定义2., 0 (2);, (1),. MxExMxExEMRE使使如果如果的上确界的上确界为为称称设设高等数学方法与应用高等数学方法与应用注记注记: : 1.1.确界存在定理确界存在定理称为实数系的称为实数系的连续性定理连续性定理, ,柯西柯西 存在

13、准则存在准则称为称为实数系的完备性定理实数系的完备性定理, ,由上面的等由上面的等 价性价性知知连续性与完备性是等价连续性与完备性是等价的的. .2.2.完备性本质上是对完备性本质上是对极限运算极限运算封闭封闭, ,有理数系是有理数系是 不完备的不完备的. .高等数学方法与应用四、四、应用应用1. 无界数列与无穷大数列的关系无界数列与无穷大数列的关系2. 函数极限与数列极限的关系定理函数极限与数列极限的关系定理3. 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质(1) 有界性定理有界性定理(2) 最大最小值定理最大最小值定理(3)零零点存在定理点存在定理高等数学方法与应用1. 无无界数列与无穷大

14、数列的关系界数列与无穷大数列的关系推论推论: 不是无穷大量的无不是无穷大量的无界数界数列一定有收敛子列列一定有收敛子列.高等数学方法与应用海涅定理海涅定理2 2、函数函数极限与数列极限的关系极限与数列极限的关系高等数学方法与应用高等数学方法与应用(1) 有界性定理有界性定理3. 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质高等数学方法与应用区间套定理区间套定理+局部有界性局部有界性高等数学方法与应用(2) 最值定理最值定理高等数学方法与应用确界定理确界定理+致密性定理致密性定理+连续定义连续定义+极限夹逼准则极限夹逼准则高等数学方法与应用(3) 零点存在定理零点存在定理高等数学方法与应用区间套

15、区间套定理定理+连续定义连续定义+局部保序性局部保序性高等数学方法与应用五、小结五、小结u 实数集不可数实数集不可数u 实数系五个基实数系五个基本定本定理的等价性理的等价性u 闭区间上连续函数性质的证明闭区间上连续函数性质的证明高等数学方法与应用作作 业业1.1.实数系基本定理等价性的其他证明实数系基本定理等价性的其他证明. .2.2.不不是无穷是无穷大量的大量的无界数列一定有收敛子列无界数列一定有收敛子列.3.3.利用确界定理证明闭区间上连续函数零点存在定理利用确界定理证明闭区间上连续函数零点存在定理. .参考书参考书1.1.华东师大数学系华东师大数学系. .数学分析数学分析( (第三版第三

16、版, ,上册上册),),高等教高等教育出版社育出版社. .2.2.陈纪修陈纪修, ,於崇华於崇华, ,金路金路. .数学分析数学分析( (第二版第二版, ,上册上册),),高高等教育出版社等教育出版社. .3.3.裴礼文裴礼文. . 数学分析中的典型问题与方法数学分析中的典型问题与方法( (第二版第二版),),高等教育出版社高等教育出版社. .高等数学方法与应用(3) 零点存在定理零点存在定理高等数学方法与应用高等数学方法与应用波尔查诺（BernardBolzano），捷克数学家、哲学家。1781年10月5日生于布拉格，1848年12月18日卒于布拉格。1796年入布拉格大学哲学院攻读哲学、物

17、理学和数学，1800年又入神学院，1805年任该校宗教哲学教授。1815年成为波希米亚皇家学会的会员，1818年任该校哲学院院长。1819年因为宗教斗争失去教授及院长职位，并且受到政治监督，直到1825年 波尔查诺（波尔查诺（Bernard BolzanoBernard Bolzano），捷克数学家、哲学家），捷克数学家、哲学家。17811781年年 1010月月5 5日生于布拉格，日生于布拉格，18481848年年1212月月1818日卒于布拉日卒于布拉格。格。17961796年入布拉格大学哲学院攻读哲学、物理学和数年入布拉格大学哲学院攻读哲学、物理学和数学，学，18001800年又入神学院

18、，年又入神学院，18051805年任该校宗教哲学教授。年任该校宗教哲学教授。18151815年成为波希米亚皇家学会的会员，年成为波希米亚皇家学会的会员，18181818年任该校哲年任该校哲学院院长学院院长。F.F.克莱克莱因因 : : “波尔查诺是波尔查诺是算算术术化化之父之父 高等数学方法与应用主要成绩主要成绩波尔查诺的主要数学成就涉及分析学的基础问题。他在波尔查诺的主要数学成就涉及分析学的基础问题。他在纯粹分析的证明纯粹分析的证明(1817)(1817)中对函数性质进行了仔细分析中对函数性质进行了仔细分析, ,在在A.-L.A.-L.柯西柯西之前首次给出了连续性和导数之前首次给出了连续性和

19、导数的恰当的定义；对序列和级数的收敛性提出了正确的概念；首次运用与实数理论的恰当的定义；对序列和级数的收敛性提出了正确的概念；首次运用与实数理论有关的原理：如果性质不是对变量所有的值成立，而对小于某个的所有的值成立，有关的原理：如果性质不是对变量所有的值成立，而对小于某个的所有的值成立，则必存在一个量，它是使不成立的所有则必存在一个量，它是使不成立的所有( (非空非空) )集的最大下界。在集的最大下界。在18341834年撰写但未年撰写但未完成的著作完成的著作函数论函数论中，他正确地理解了中，他正确地理解了连续性和可微性之间的区别连续性和可微性之间的区别，在，在数学数学史史上首次给出了在任何点

20、都没有有限导数的连续函数的例子（用曲线表示的函数，上首次给出了在任何点都没有有限导数的连续函数的例子（用曲线表示的函数，没有解析表达式）。没有解析表达式）。 波尔查诺对建立无穷集合理论也有重要见解波尔查诺对建立无穷集合理论也有重要见解, ,在在无穷的悖论无穷的悖论(1851)(1851)中中, ,他他坚持了实无穷集合的存在性，强调了两个集合的等价概念（即两集合元素间存在坚持了实无穷集合的存在性，强调了两个集合的等价概念（即两集合元素间存在一一对应），注意到一一对应），注意到无穷集合的真子集可以同整个集合等价无穷集合的真子集可以同整个集合等价。 对波尔查诺来说有点不幸的是：他的数学著作多半被他的

21、同时代的人所忽视，对波尔查诺来说有点不幸的是：他的数学著作多半被他的同时代的人所忽视，他的许多成果等到后来才被重新发现，但此时功劳已被别人抢占或只能与别人分他的许多成果等到后来才被重新发现，但此时功劳已被别人抢占或只能与别人分享了。（这其中的主要原因可能是他生于一个当时数学并不发达的国度，也缺乏享了。（这其中的主要原因可能是他生于一个当时数学并不发达的国度，也缺乏与国外的交流）与国外的交流）。轶闻轶闻波尔查诺还有一则逸闻。有一次在布拉格度假，突然间生病，浑身发冷，疼波尔查诺还有一则逸闻。有一次在布拉格度假，突然间生病，浑身发冷，疼痛难耐。为了分散注意力便拿起了痛难耐。为了分散注意力便拿起了欧几

22、里德欧几里德的的几何原本几何原本。当他阅读到第五卷。当他阅读到第五卷比例论时，即被这种高明的处理所震撼，无比兴奋以致完全忘记了自己的疼痛。比例论时，即被这种高明的处理所震撼，无比兴奋以致完全忘记了自己的疼痛。事后，每当他的朋友生病时，他就推荐其阅读欧氏事后，每当他的朋友生病时，他就推荐其阅读欧氏几何原本几何原本。高等数学方法与应用维尔斯特拉斯（维尔斯特拉斯（WeierstrassWeierstrass，Karl Theodor WilhelmKarl Theodor Wilhelm）(1815-1897)(1815-1897) “维尔斯特拉斯是我们大家的老师维尔斯特拉斯是我们大家的老师” -埃

23、尔米特埃尔米特“一个没有几分诗人才气的数学家永远不会成为一个完美的数学家。一个没有几分诗人才气的数学家永远不会成为一个完美的数学家。” -维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯 维尔斯特拉斯是维尔斯特拉斯是德国分析学家，对复变函数论、幂级数、椭圆函数、德国分析学家，对复变函数论、幂级数、椭圆函数、连续性、二次型以及变分学贡献尤著。他生於德国威斯特伐利亚的小村连续性、二次型以及变分学贡献尤著。他生於德国威斯特伐利亚的小村落奥斯滕费尔德，卒於柏林。他曾於波恩大学（落奥斯滕费尔德，卒於柏林。他曾於波恩大学（Bonn UniversityBonn University）学法）学法律和财政，但因酗酒和击剑度过四年而未

24、获学位；后于律和财政，但因酗酒和击剑度过四年而未获学位；后于18381838年改学数学年改学数学而得古德曼的热心教导。在而得古德曼的热心教导。在18421842年年18551855年间，先后在几个小城镇的中年间，先后在几个小城镇的中学任教学任教1414年之多。除了教数学之外，还教物理、德语、作文、地理以及年之多。除了教数学之外，还教物理、德语、作文、地理以及体育等课程，业馀坚持数学研究。在此期间，他未与数学界接触而独力体育等课程，业馀坚持数学研究。在此期间，他未与数学界接触而独力发展一套全新且严密的数学分析方法，使他得以描述一种连续而又到处发展一套全新且严密的数学分析方法，使他得以描述一种连续

25、而又到处不可微的函数，从而完全地推翻了关於这些概念的直观不可微的函数，从而完全地推翻了关於这些概念的直观方法。方法。高等数学方法与应用 1854 1854年，他发表了一本关於发展阿贝尔（年，他发表了一本关於发展阿贝尔（AbelAbel）函数论成果的专论）函数论成果的专论关於阿贝尔函数论关於阿贝尔函数论公诸于世之后，公诸于世之后，根据他的学术成就，哥尼斯堡大学授予根据他的学术成就，哥尼斯堡大学授予他名誉博士学位。他名誉博士学位。18561856年由库默尔推荐成为年由库默尔推荐成为柏林大学助理柏林大学助理教授，教授，18651865年晋升为年晋升为教授。生前，他的研究结果大都是向学生讲授传播的。教

26、授。生前，他的研究结果大都是向学生讲授传播的。18861886年，他出版了年，他出版了函函数论论文集数论论文集。虽然他的著作不多，但却发表了最有影响的论文。虽然他的著作不多，但却发表了最有影响的论文。维尔斯特拉斯的主要贡献在数学分析、解析函数论、变分法、微分几何学维尔斯特拉斯的主要贡献在数学分析、解析函数论、变分法、微分几何学和缐性代数等方面。他是把严格的论证引进分析学的一位大师。他的批判精神和缐性代数等方面。他是把严格的论证引进分析学的一位大师。他的批判精神对对1919世纪数学产生很大影响。他在严格的逻辑基础上建立了实数理论，用单调世纪数学产生很大影响。他在严格的逻辑基础上建立了实数理论，用

27、单调有界序列来定义无理数，给出了数集的上、下极限，极限点和连续函数等严格有界序列来定义无理数，给出了数集的上、下极限，极限点和连续函数等严格定义，还在定义，还在18611861年构造了一个著名的处处不可微的连续函数，为分析学的算术年构造了一个著名的处处不可微的连续函数，为分析学的算术化做出重要贡献。他完成了由柯西（化做出重要贡献。他完成了由柯西（CauchyCauchy）引进的用不等式描述的极限定义）引进的用不等式描述的极限定义（所谓（所谓-定义）。在解析函数论中，维尔斯特拉斯也有重要贡献。他建立定义）。在解析函数论中，维尔斯特拉斯也有重要贡献。他建立了解析函数的幂级数展开定理和多元解析函数基

28、本理论，得到代数函数论及阿了解析函数的幂级数展开定理和多元解析函数基本理论，得到代数函数论及阿贝尔积分中的某些结果。在变分法中，他给出了带有参数的函数的变分结构，贝尔积分中的某些结果。在变分法中，他给出了带有参数的函数的变分结构，研究了变分问题的间断解。在微分几何中，他研究了测地缐和最小曲面。在缐研究了变分问题的间断解。在微分几何中，他研究了测地缐和最小曲面。在缐性代数中，建立了初等因子理论并用来化简矩阵。他还是一位杰出的教育家，性代数中，建立了初等因子理论并用来化简矩阵。他还是一位杰出的教育家，一生培养了大批有成就的数学人才，其中著名的有一生培养了大批有成就的数学人才，其中著名的有柯瓦列夫斯

29、卡娅柯瓦列夫斯卡娅、施瓦兹、施瓦兹、米塔米塔列夫勒、朔特基、富克斯等。列夫勒、朔特基、富克斯等。高等数学方法与应用柯西（柯西（CauchyCauchy，Augustin Louis 1789-1857Augustin Louis 1789-1857）出生出生生于生于巴黎巴黎，他的父亲路易，他的父亲路易弗朗索瓦弗朗索瓦柯西是柯西是法国法国波旁王朝波旁王朝的的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。并柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。并且在且在数

30、学数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都领域，有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如以他的名字来称呼，如柯西不等式柯西不等式、柯西积分公式柯西积分公式.柯西于柯西于18021802年入中学。在中学时，他的拉丁文和希腊文取得优异成年入中学。在中学时，他的拉丁文和希腊文取得优异成绩，多次参加竞赛获奖；数学成绩也深受老师赞扬。他于绩，多次参加竞赛获奖；数学成绩也深受老师赞扬。他于18051805年考年考入综合工科学校，在那里主要学习数学和入综合工科学校，在那里主要学习数学和力学力学；18071807年考入桥梁公年考入桥梁公路学校，路学校，18101810年以

31、优异成绩毕业，前往瑟堡参加海港建设工程。年以优异成绩毕业，前往瑟堡参加海港建设工程。 柯西去瑟堡时携带了拉格朗日的柯西去瑟堡时携带了拉格朗日的解析函数解析函数论论和拉普拉斯的和拉普拉斯的天体力学天体力学，后来还陆续收到从，后来还陆续收到从巴黎巴黎寄出或从当地借得的一些数寄出或从当地借得的一些数学书。他在业余时间悉心攻读有关数学各分支方面的书籍，从学书。他在业余时间悉心攻读有关数学各分支方面的书籍，从数论数论直到天文学方面。直到天文学方面。高等数学方法与应用 19 19世纪初，微积分学是不严格的。他率先定义了级数的收敛、绝对收敛、世纪初，微积分学是不严格的。他率先定义了级数的收敛、绝对收敛、序列

32、和函数的极限，并形成了一系列的判断准则。特别是发现了判断收敛性序列和函数的极限，并形成了一系列的判断准则。特别是发现了判断收敛性的柯西准则。他定义了上、下极限的柯西准则。他定义了上、下极限, ,并证明了其收敛性。他最先使用极限符并证明了其收敛性。他最先使用极限符号。柯西还建立了连续函数的概念，并强调微商是一个极限。他用和的极限号。柯西还建立了连续函数的概念，并强调微商是一个极限。他用和的极限给定积分下了第一个合适的定义，并研究了奇异积分。同时，他亲自计算出给定积分下了第一个合适的定义，并研究了奇异积分。同时，他亲自计算出许多经典的积分。柯西经常用许多经典的积分。柯西经常用“无穷小无穷小”这个词

33、，但他不了解一致收敛的重这个词，但他不了解一致收敛的重要性，因此，他的微积分学也有漏洞。毫无疑问，他是经典分的奠基人之一。要性，因此，他的微积分学也有漏洞。毫无疑问，他是经典分的奠基人之一。他为微积分学所奠定的严格基础推动了整个分析学的发展。他为微积分学所奠定的严格基础推动了整个分析学的发展。 柯西最出色的贡献是在柯西最出色的贡献是在复变函数论复变函数论领域。现代复变函数理论发端于他的领域。现代复变函数理论发端于他的工作。首先，他证明了复数的代数与极限运算的合理性，定义了复函数的连工作。首先，他证明了复数的代数与极限运算的合理性，定义了复函数的连续性。他给出了柯西续性。他给出了柯西- -黎曼方程黎曼方程, ,定义了复函数沿复域中任意路径的积分，并定义了复函数沿复域中任意路径的积分，并得到重要的积分定理，导出了著名的柯西积分公式。这个定理和公式是复函得到重要的积分定理，导出了著名的柯西积分公式。这个定理和公式是复函数论的基础。数论的基础。 柯西对微分方程的重要贡献是他提出了两个基本问题：解的存在性和