《应用统计学教学资料》统计学 第五章 概率与概率分布

1、统计学统计学第五章第五章 概率与概率分布概率与概率分布编辑ppt2 定义试验、结果、事件、样本空间、概率 描述和使用概率的运算法则 定义和解释随机变量及其分布 计算随机变量的数学期望和方差 计算离散型随机变量的概率和概率分布 计算连续型随机变量的概率 用正态分布近似二项分布 用Excel计算分布的概率学习目标学习目标本章学习目标本章学习目标3随机事件及其概率45.1 随机事件随机事件及其概率及其概率随机事件随机事件的的几几个基本概念个基本概念概率计算概率计算的的几几个例子个例子事件的概率事件的概率12355.1 随机事件随机事件及其及其概率的概念概率的概念特征特征在相同条件下，对事物或现象所进

2、行的观察特点特点l 可以在相同的条件下重复进行重复进行l 每次试验的可能结果可能不止一个可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的l 在试验结束之前，不能确定该次试验的不能确定该次试验的确切确切结果结果试验试验的概念的概念65.1 随机事件随机事件及其及其概率的概念概率的概念 事件事件(event)：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)例如：掷一枚骰子出现的点数为3 随机事件随机事件(random event)：每次试验可能出现也可能不出现的事件例如：掷一枚骰子可能出现的点数 必然事件必然事件(certain event)：每次试验一定出现的事件，用表示例如：掷一枚骰子出现

3、的点数小于7 不可能事件不可能事件(impossible event)：每次试验一定不出现的事件，用表示例如：掷一枚骰子出现的点数大于6事件的概念事件的概念75.1 随机事件随机事件及其及其概率的概念概率的概念基本事件基本事件一个不可能再分的随机事件例如：掷一枚骰子出现的点数样本空间样本空间l 一个试验中所有基本事件的集合，用表示l 例如：在掷枚骰子的试验中，=1,2,3,4,5,6l 在投掷硬币的试验中，=正面，反面实验的概念实验的概念85.1 随机事件随机事件及其概率及其概率随机事件随机事件的的几几个基本概念个基本概念概率计算概率计算的的几几个例子个例子事件的概率事件的概率12395.1

4、事件事件的概率的概率事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量表示事件A出现可能性大小的数值事件A的概率表示为P(A)概率的定义有：古典定义、统计定义和主观概率定义事件事件（Probability）105.1 事件事件的概率的概率试验的次数1.000.000.250.500.750255075100125投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率，稳定在1/2左右11概率的性质与运算法则125.2 概率的性质与运算法则概率的性质与运算法则概率的基本性质概率的基本性质条件概率与条件概率与独立事件独立事件概率的加法法则概率的加法法则12313如

5、果某一随机试验的结果有限，而且各个结果在每次试验中出现的可能性相同，则事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件个数 m 与样本空间中所包含的基本事件个数 n 的比值，记为：5.2 概率的概念概率的概念概率概率定义：定义：公式：公式：145.2 概率的概念概率的概念某钢铁公司所属企业职工人数某钢铁公司所属企业职工人数工厂男职工女职工合计炼钢厂炼铁厂轧钢厂4400320090018001600600620048001500合计合计8500400012500【例例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从 该公司中随机抽取1人，问：(1)该职工为男性的概率(2)该职工为炼钢厂职工的概率样题样题15

6、答案答案 解：解：(1)用用A 表示表示“抽中的职工为男性抽中的职工为男性”这一事件；这一事件；A为全公司为全公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的集合。则男职工的集合；基本空间为全公司职工的集合。则(2) 用用B 表示表示“抽中的职工为炼钢厂职工抽中的职工为炼钢厂职工”；B为为炼钢厂全体炼钢厂全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则5.2 概率的概念概率的概念165.2 概率的概念概率的概念在相同条件下进行n次随机试验，事件A出现 m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，取向

7、于稳定，这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为概率概率175.2 概率的概念概率的概念某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标为某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标为1000度。按度。按照上个月的用电记录，照上个月的用电记录，30天中有天中有12天的用电量超过规定指天的用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该厂第一天用标，若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率电量超过指标的概率上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次试验，试验A表示用电超过指标出现了12次据概率的统计定义有样样题题答案答案185.2 主观概率定义主观概率定义对一些无法重复的试验

8、，确定其结果的概率只能根据以往的经验人为确定概率是一个决策者对某事件是否发生，根据个人掌握的信息对该事件发生可能性的判断例如，我认为2015年的中国股市是一个大牛市主观概率定义主观概率定义主观概率例子主观概率例子195.2 主观概率定义主观概率定义非负性非负性规范性规范性可加性可加性对任意事件A，有 0 P(A) 1必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即P ( ) = 1； P ( ) = 0若A与B互斥，则P ( AB ) = P ( A ) + P ( B )推广到多个两两互斥事件A1，A2，An，有 P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (

9、An )20概率的基本性质概率的基本性质随机变量的概念随机变量的概念概率的基本法则概率的基本法则1235.2 概率的性质与运算法则概率的性质与运算法则215.2 概率的加法法则概率的加法法则两个互斥事件之和的概率，等于两个事件概率之和。设A和B为两个互斥事件，则P ( AB ) = P ( A ) + P ( B )事件A1，A2，An两两互斥，则有P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An )法则一法则一225.2 概率的加法法则概率的加法法则【例例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一名职工，根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一名职工，计算该职工为炼

10、钢厂或轧钢厂职工的概率计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的概率 解：用A表示“抽中的为炼铁厂职工”这一事件；B表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事件。随机抽取一人为炼铁厂或轧钢厂职工的事件为互斥事件A与B 的和，其发生的概率为样样题题答案答案235.2 概率的加法法则概率的加法法则对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ) 法则法则二二245.2 概率的加法法则概率的加法法则设设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有20%读读甲报纸，甲报纸，16%读

11、乙报纸，读乙报纸，8%两种报纸都读。问成两种报纸都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。年人中有百分之几至少读一种报纸。设A读甲报纸，B读乙报纸，C至少读一种报纸。则P ( C ) =P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ) =0.2 + 0.16 - 0.08 样样题题答案答案25概率的基本性质概率的基本性质条件概率与条件概率与独立事件独立事件概率的加法法则概率的加法法则1235.2 概率的性质与运算法则概率的性质与运算法则26在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为 5.2 条件概率概念条件

12、概率概念(conditional probability)概念概念275.2 条件概率概念条件概率概念(conditional probability)在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为 概率概率（Probability）285.2 概率的乘法公式概率的乘法公式(multiplicative rule)1.用来计算两事件交的概率2.以条件概率的定义为基础3.设A、B为两个事件，若P(B)0，则P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A)概率概率（Probability）29样样题题答案答案设有设有1000

13、件产品，其中件产品，其中850件是正品，件是正品，150件是件是次品，从中依次抽取次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率件，两件都是次品的概率是多少是多少？设 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”(i=1,2)，所求概率为P(A1A2) 5.2 概率的乘法公式概率的乘法公式(例题分析例题分析) 305.2 事件的独立性事件的独立性(independence)1.一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件独立2.若事件A与B独立，则P(B|A)=P(B)， P(A|B)=P(A) 3.此时概率的乘法公式可简化为P(AB)=P(A)P(B)4.推广到n个独立事件，有P(A1

14、A2 An)=P(A1)P(A2) P(An) 31【例例】某工人同时看管三台机床，每单位时间某工人同时看管三台机床，每单位时间(如如30分钟分钟)内机床不需要看管的概率：甲机床为内机床不需要看管的概率：甲机床为，乙机床为，乙机床为，丙机床，丙机床为为。若机床是自动且独立地工作，。若机床是自动且独立地工作，求求（1）在）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率分钟内三台机床都不需要看管的概率（2）在）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看管的概率看管的概率解：设 A1，A2，A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事件， A3 为丙机床需要看管的事件

15、，依题意有 (1) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3(2) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)= 5.2 事件的独立性事件的独立性(例题分析例题分析) 样样题题答案答案325.2 全概公式全概公式设事件A1，A2，An 两两互斥， A1+A2+ An=（满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组），且P(Ai)0(i=1,2, ,n)，则对任意事件B，有定义定义335.2 全概公式全概公式(例题分析例题分析) 【例例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为床的次品率分别为5%、4%、2%，它

16、们各自的产品分，它们各自的产品分别占总产量的别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合，将它们的产品组合在一起，求任取一个是次品的概率在一起，求任取一个是次品的概率。解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次品”。根据全概公式有样样题题答案答案345.2 贝叶斯公式贝叶斯公式(逆概公式逆概公式) 1.与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因2.设n个事件A1，A2，An 两两互斥， A1+A2+ An= (满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组)，且P(Ai)0(i=1

17、,2, ,n)，则35【例例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，如果取到的，将它们的产品组合在一起，如果取到的一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次品”。根据贝叶斯公式有：5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式(例题分析

18、例题分析) 样样题题答案答案36离散型随机变量及其分布375.3 离散离散型随机变量及其型随机变量及其分布分布随机变量的概念随机变量的概念离散型随机变量的离散型随机变量的概率分布概率分布1238随机变量随机变量(random variables)1.一次试验的结果的数值性描述2.一般用 X、Y、Z 来表示3.例如: 投掷两枚硬币出现正面的数量4.根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量随机变量随机变量39离散型离散型随机变量随机变量(discrete random variables)1.随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 X1 , X2，2.以确定的概率取这些不

19、同的值3.离散型随机变量的一些例子试验试验随机变量随机变量可能的取值可能的取值抽查100个产品一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售销售一辆汽车取到次品的个数顾客数销售量顾客性别0,1,2, ,1000,1,2, 0,1, 2,男性为0,女性为1405.3 离散离散型随机变量及其型随机变量及其分布分布随机变量的概念随机变量的概念离散型随机变量的离散型随机变量的概率分布概率分布1241离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布1.列出离散型随机变量X的所有可能取值2.列出随机变量取这些值的概率3.通常用下面的表格来表示P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数pi042样样题题答案答

20、案离散型随机变量的离散型随机变量的概率分布概率分布(例题分析例题分析) 如规定打靶中域得3分，中域得2分，中域得1分，中域外得0分。今某射手每100次射击，平均有30次中域，55次中域，10次中，5次中域外。则考察每次射击得分为0,1,2,3这一离散型随机变量，其概率分布为43离散型随机变量的离散型随机变量的概率分布概率分布(01分布分布) 一个离散型随机变量X只取两个可能的值例如，男性用 1表示，女性用0表示；合格品用 1 表示，不合格品用0表示列出随机变量取这两个值的概率44已知一批产品的次品率为p，合格率为。并指定废品用1表示，合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品这一离散型随机变量，

21、其概率分布为离散型随机变量的离散型随机变量的概率分布概率分布(01分布分布) 样样题题答案答案45离散型随机变量的离散型随机变量的概率分布概率分布(均匀分布均匀分布) 1.一个离散型随机变量取各个值的概率相同2.列出随机变量取值及其取值的概率3.例如，投掷一枚骰子，出现的点数及其出现各点的概率46【例例】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机变投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机变量，其概率分布为量，其概率分布为X = xi1 2 3 4 5 6P(X=xi)=pi1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6离散型随机变量的离散型随机变量的概率分布概率分布(均匀分布均匀分布) 471.在离

22、散型随机变量X的一切可能取值的完备组中，各可能取值xi与其取相对应的概率pi乘积之和2.描述离散型随机变量取值的集中程度3.计算公式为离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望(expected value)48离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望(expected value)1.随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为D(X)2.描述离散型随机变量取值的分散程度3.计算公式为若X是离散型随机变量，则：49离散型随机变量的离散型随机变量的方差方差 (例题分析例题分析) 【例例】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机变投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机变

23、量，其概率分布为如下。计算数学期望和方差量，其概率分布为如下。计算数学期望和方差X = xi1 2 3 4 5 6P(X =xi)=pi1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6解：数学期望为：方差为：样样题题答案答案50二项二项试验试验(贝努里试验贝努里试验) 1.二项分布与贝努里试验有关2.贝努里试验具有如下属性试验包含了n 个相同的试验每次试验只有两个可能的结果，即“成功”和“失败”出现“成功”的概率 p 对每次试验结果是相同的；“失败”的概率 q 也相同，且 p + q = 1试验是相互独立的试验“成功”或“失败”可以计数51二项分布二项分布(Binomial distributi

24、on)1.进行 n 次重复试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布2.设X为 n 次重复试验中事件A出现的次数，X 取 x 的概率为521.显然， 对于PX=x 0， x =1,2,n，有2.同样有3.当 n = 1 时，二项分布化简为二项分布二项分布(Binomial distribution)53二项分布的数学期望和方差二项分布的数学期望和方差1.二项分布的数学期望为二项分布的数学期望为E ( X ) np2.方差为方差为D ( X ) npq54二项分布二项分布(例题分析例题分析) 解：设 X 为所抽取的3件产品中的次品数，则XB ( 3 , 0.05)，根据二项分布公式有 样题样

25、题答案答案【例】已知100件产品中有5件次品，现从中任取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件产品中恰好有2件次品的概率55泊松分布泊松分布(Poisson distribution)1.用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布面积、体积之内每一事件出现次数的分布2.泊松分布的例子泊松分布的例子 一个城市在一个月内发生的交通事故次数 消费者协会一个星期内收到的消费者投诉次数 人寿保险公司每天收到的死亡声明的人数56 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的平均数e = 2.71828 x 给定的时间间隔、长度

26、、面积、体积内“成功”的次数泊松概率分布函数泊松概率分布函数571.泊松分布的数学期望为E ( X ) = 2.方差为D ( X ) = 泊松概率分布函数泊松概率分布函数58【例例】假定某企业的职工中在周一请假的人数假定某企业的职工中在周一请假的人数X服从泊松分服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为布，且设周一请事假的平均人数为人。求人。求 （1）X 的均值及标准差的均值及标准差 （2）在给定的某周一正好请事假是）在给定的某周一正好请事假是5人的人的概率概率泊松概率分布泊松概率分布函数（例题）函数（例题）样样题题答案答案 解：(1) E(X)=2.5, (2)581. 15 . 2)(XD5

27、9泊松分布泊松分布(作为二项分布的近似作为二项分布的近似)1.当试验的次数 n 很大，成功的概率 p 很小时，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，即2.实际应用中，当 P，n20，np5时，近似效果良好60连续型随机变量的概率分布615.4 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布概率密度概率密度与与分布函数分布函数正态分布正态分布12621.连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值2.它取任何一个特定的值的概率都等于03.不能列出每一个值及其相应的概率4.通常研究它取某一区间值的概率5.用数学函数的形式和分布函数的形式来描述5.4 连续型连续型随机变量的概率分布随机

28、变量的概率分布63设X为一连续型随机变量，x 为任意实数，X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件f(x)不是概率概率密度函数概率密度函数(probability density function)64概率密度函数概率密度函数(probability density function)在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数 x1 x2，P(x1 X x2)是该曲线下从x1 到 x2的面积xab65分布函数分布函数 (distribution function)连续型随机变量的概率也可以用分布函数F(x)来表示分布函数定义为根据分布函数，P(aXb)可以写为66分布函数与密度函数的

29、图示分布函数与密度函数的图示密度函数曲线下的面积等于1分布函数是曲线下小于 x0 的面积67连续型随机变量的数学期望为方差为连续型随机变量的期望和方差连续型随机变量的期望和方差68均匀分布均匀分布(uniform distribution)若随机变量X的概率密度函数为 称X在区间a ,b上均匀分布，数学期望和方差分别为695.4 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布概率密度概率密度与与分布函数分布函数正态分布正态分布1270正态分布正态分布(normal distribution)1.描述连续型随机变量的最重要的分布2.可用于近似离散型随机变量的分布 例如: 二项分布3.经典统计推断的基础71概率密度函数概率密度函数f(x) = 随机变量 X 的频数 = 总体方差 x = 随机变量的取值 (- x 02.正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位数和众数3.正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值和标准差来区分。 决定了图形的中心位置, 决定曲线的平缓程度，即宽度4.曲线f(x)相对于均值对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交5.正态曲线下的总面积等于16.随机变量的概率由曲线下的面积给出73xCAB 和和对对正态曲线的影响正态曲线的影响74正态分布的概率正态分布的概率75 一般的