一元二次方程根的分布

1、一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。函数与方程思想：若=与轴有交点()=0若=()与=()有交点(，)=有解。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。一一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程（）的两个实根为，

2、且。【定理1】，(两个正根)，推论：，或上述推论结合二次函数图象不难得到。【例1】 若一元二次方程有两个正根，求的取值范围。分析：依题意有0<<1。【定理2】，推论：，或由二次函数图象易知它的正确性。图2【例2】 若一元二次方程的两根都是负数，求的取值范围。（或k>3）【定理3】【例3】 在何范围内取值，一元二次方程有一个正根和一个负根？分析：依题意有<0=>0<<3【定理4】 ，且；，且。【例4】 若一元二次方程有一根为零，则另一根是正根还是负根？分析：由已知3=0，=3，代入原方程得3+5=0，另一根为负。二一元二次方程的非零分布分布设一元二次方程

3、（）的两实根为，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理。【定理1】【定理2】。【定理3】。推论1 。推论2 。【定理4】有且仅有（或）【定理5】或此定理可直接由定理4推出，请读者自证。【定理6】或三、例题与练习【例5】 已知方程的两实根都大于1，求的取值范围。（）（2）若一元二次方程的两个实根都大于-1，求的取值范围。 （）（3）若一元二次方程的两实根都小于2，求的取值范围。 （）【例6】 已知方程有一根大于2，另一根比2小，求的取值范围。 （）（2）已知方程有一实根在0和1之间，求的取值范围。 （）（3）已知方程的较大实根在0和1之间，求实数的取值范围。 变式：

4、改为较小实根 （不可能；）（4）若方程的两实根均在区间（、1）内，求的取值范围。 （）（5）若方程的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。 （）（6）已知关于的方程的两根为且满足，求的取值范围。 （或）【例7】 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解：(1)

5、条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出示意图，得.(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组(这里0<m<1是因为对称轴x=m应在区间(0，1)内通过)1 若方程有两个不相同的实根，求的取值范围。提示：令=转化为关于的一元二次方程有两个不同的正实根。答案：0<<12 若关于的方程有唯一的实根，求实数的取值范围。提示：原方程等价于即O206令=+12+6+3(1) 若抛物线=与轴相切，有=1444(6+3)=0即=。将=代入式有=6不满足式，。(2) 若抛物线=与轴相交，注意到其对称轴为=6，故交点

6、的横坐标有且仅有一个满足式的充要条件是解得。当时原方程有唯一解。O2061633另法：原方程等价于+20=863(<20或>0)问题转化为：求实数的取值范围，使直线=863与抛物线 =+20 (<20或>0)有且只有一个公共点。A、 虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显，可将变形为+12+3=6(<20或>0)，再在同一坐标系中分别也作出抛物线=+12+3和直线=6，如图，显然当3<6163即时直线=6与抛物线有且3.二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 A、 B、 C 、 D、 答案:C4已知二次函数，设方程的两个实数根为和. （1）如果，设函数的对称轴为，求证：；（2）如果，求的取值范围.解析：设，则的二根为和。（1）由及，可得 ，即，即两式相加得，所以，；（2）由, 可得 。又，所以同号 ，等价于或,即 或解之得 或。点评：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化5.（2009江苏卷）(本小题满分16分) 设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运