导数与单调性极值最基础值习题

1、导数与单调性极值最根底值习题评卷人 得 分一选择题(共 14 小题)1 可导函数y=f (x)在某一点的导数值为0是该函数在这点取极值的()A. 充分条件B.必要条件C.充要条件D.必要非充分条件2. 函数 y=1+3x-x3有()A.极小值-1,极大值3 B.极小值-2,极大值3C极小值-1,极大值1 D.极小值-2,极大值23. 函数f (x) =x3+ax2- 3x - 9,f (x)的两个极值点为X1, X2，那么X1? X2=()A9B-9 C1D-14函数的最大值为()A Be2 CeDe-15 .a为函数f (x) =x3 - 12x的极小值点，贝U a=()A. - 4 B.-

2、 2 C. 4D. 26 .函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，那么c=()A.- 2 或 2 B.- 9 或 3 C.- 1 或 1 D.- 3 或 17. 设函数 f (x) =xex，那么()A. x=1为f (x)的极大值点B. x=1为f (x)的极小值点C. x= - 1为f (x)的极大值点D . x=- 1为f (x)的极小值点8. 函数y=x3 - 2ax+a在(0, 1)内有极小值，贝U实数a的取值范围是()A. (0, 3) B. (0,)C. (0, +x)D. (-X, 3)9. 函数f (x) =x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,那么f (

3、2)等于()A. 11 或 18 B. 11 C. 18 D. 17 或 1810. 设三次函数f (x)的导函数为f( x)，函数y=x? f( x)的图象的一部 分如下列图,那么正确的选项是( )A. f (x)的极大值为，极小值为B. f (x)的极大值为，极小值为C. f (x)的极大值为f (- 3),极小值为f (3)D. f (x)的极大值为f (3),极小值为f (- 3)11 假设f (x) =x3+2ax2+3 (a+2) x+1有极大值和极小值，那么a的取值范围是()A. av av 2 B. a 2 或 av 1 C. a 2 或 a 1 或 av 212 .函数y=x

4、ex, x 0 , 4的最小值为()A. 0B. C. D.13. 函数y=2x3 3x2 12x+5在区间0 , 3上最大值与最小值分别是()A. 5, 15 B. 5, 4 C. 4, 15 D. 5, 1614. f (x) =2x3 6x2+m (m为常数)在2, 2上有最大值3,那么此函数 在 2, 2上的最小值是( )A.- 37 B.- 29C.- 5 D .以上都不对评卷人 得 分二.填空题(共 10小题)15. 函数 f(x) =x3 3x2+1 的极小值点为.16. f (x) =x3 ax2 bx+a2，当 x=1 时，有极值 10,那么 a+b=.17. 函数f (x)

5、 =x (x c) 2在x=2处有极大值，那么c=.18. 函数 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 既有极大值又有极小值,那么实数 a 的取值范围是.19. 函数 f (x)=x3+mx2+ (m+6)x+1 既存在极大值又存在极小值,那么实数 m 的取值范围是.20. 函数f (x) =4x+ (x0, a0)在x=3时取得最小值，那么 a=.21. f (x) =x3 3x2+2在区间-1, 1上的最大值是.22. 函数f (x) =x3 12x+8在区间-3, 3上的最大值与最小值分别为 M m,贝 U M- m=23 .设 f (x) =x3 2x+5，当 x - 1, 2

6、时，f (x)v m 恒成立，那么实数 m 的取值范围为24. f (x) =ax3- 3x+1 对于 x - 1, 1总有 f (x) 0 成立，贝U a=.评卷人 得 分三.解答题(共 10小题)25. 函数 f (x) =ax3+x2+bx (其中常数 a, b R), g (x) =f (x) +f(x) 是奇函数.( 1 )求 f ( x )的表达式；(2)讨论g (x)的单调性，并求g (x)在区间1 , 2上的最大值和最小值.26. 函数 f(x)=ln(1+x)- x， g(x)=xlnx.(I)求函数f (x)的最大值；(U)设 Ovav b,证明 Ov g (a) +g (

7、b)- 2g () bx - 2恒成立，求实数b的取值范围.28. 函数 f(x)=xlnx .(I)求f (x)的最小值；(U)假设对所有x 1都有f (x) ax - 1,求实数a的取值范围.29. 函数 f(x)=(x- 2)ex.(1) 求f (x)的单调区间；(2) 求f (x)在区间0 , 2上的最小值和最大值.30. 函数f (x) =ax3- 6ax2+b(x - 1, 2)的最大值为3,最小值为-29, 求 a、b 的值.31 .求函数f (x) =x - 2x?+5在区间-2, 2的最大值和最小值.32. 函数 f(x)=lnx-.(I)求函数f (x)的单调增区间；(U)

8、证明；当 x 1 时，f (x)V x - 1;(川)确定实数k的所有可能取值，使得存在Xo 1,当x ( 1, Xo)时，恒有 f ( x ) k ( x- 1 )33. 设函数 f (x) =1+ (1+a) x- x .函数 y=1+3x- x3 有 - x3,其中 a0.(I)讨论f (x)在其定义域上的单调性；(U)当x 0 , 1时，求f (x)取得最大值和最小值时的x的值.34. 函数 f (x)满足 f (x) =f( 1) ex-1-f (0) x+x2;(1) 求f (x)的解析式与单调区间；(2) 假设，求(a+1) b的最大值.导数与单调性极值最根底值习题参考答案与试题

9、解析一.选择题(共 14小题)1.可导函数y=f (x)在某一点的导数值为0是该函数在这点取极值的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.必要非充分条件分析结合极值的定义可知必要性成立，而充分性中除了要求 f( X。)=0夕卜， 还的要求在两侧有单调性的改变(或导函数有正负变化) ，通过反例可知充分性 不成立.解答解：如y=x3，y =3x2，y |x=0，但x=0不是函数的极值点.假设函数在X0取得极值，由定义可知f( X0) =0，所以f( X0)=0是X0为函数 y=f (x)的极值点的必要不充分条件应选： D.点评此题主要考查函数取得极值的条件：函数在 X0处取得极值？f( X。)

10、=0, 且 f( X V X0) ? f ( X X0)V 0A.极小值-1极大值3 B.极小值-2,极大值3C极小值-1极大值1D.极小值-2,极大值2 分析 利用导数工具去解决该函数极值的求解问题, 关键要利用导数将原函数的 单调区间找出来,即可确定出在哪个点处取得极值,进而得到答案解答解：I y=1+3x- x3, y =3- 3x2,由 y =3- 3x20,得-1vxv 1,由 y =3 3x2v 0,得 x v- 1,或 x 1,函数 y=1+3x- x3 的增区间是(-1, 1),减区间是(-X,- 1), ( 1, +x). 函数 y=1+3x- x3在 x=- 1 处有极小值

11、 f ( - 1) =1 - 3 -( - 1) 3=- 1,函数 y=1+3x- x3 在 x=1 处有极大值 f (1) =1+3- 13=3. 应选： A.点评利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键， 要先确定出导函数大于 0 时的实数 x 的范围，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函 数的极值，表达了导数的工具作用3.函数f (x) =x3+ax2- 3x - 9,f (x)的两个极值点为X1, X2，那么X1? X2= ()A. 9B.- 9 C. 1D.- 1分析此题的函数为三次多项式函数, 假设三次多项式函数有两个极值点, 说明它 的导函数有两个不相等的零点,转

12、化为二次函数的根求解,用韦达定理可得x1? x2=- 1 解答 解：由 f ( x) =x3+ax2- 3x- 9 得,2f ( x) =3x2+2ax- 3f( x) =0的两根为X1, X2就是函数的两个极值点 根据韦达定理,得应选： D. 点评 此题主要考查利用导数工具讨论函数的单调性,从而得到函数的极值 点.一元二次方程根与系数的关系是解决此题的又一个亮点.4函数的最大值为()A. B. e2 C. e D. e1 分析 利用导数进行求解，注意函数的定义域，极大值在此题中也是最大值；解答解：函数，(x 0)y，=，令 y =0,得 x=e,当xe时，yv 0, f (x)为减函数，当0

13、vxve时，y 0，f (x)为增函数，.f (x)在x=e处取极大值，也是最大值，.y最大值为f (e)=e1，应选： D.点评此题主要考查函数在某点取极值的条件，利用导数研究函数的最值问题， 是一道根底题；5 .a为函数f (x) =x3 - 12x的极小值点，贝U a=()A.- 4 B . - 2 C . 4D. 2分析可求导数得到 f，(x) =3x2- 12，可通过判断导数符号从而得出 f(x) 的极小值点，从而得出a的值.解答解： f，( x) =3x2- 12；. xv- 2 时， f，( x) 0，- 2v xv 2 时， f，( x)v 0， x 2 时， f，( x) 0

14、；.x=2是f (x)的极小值点；又a为f (x)的极小值点；. a=2应选： D 点评 考查函数极小值点的定义， 以与根据导数符号判断函数极值点的方法与过 程，要熟悉二次函数的图象6 .函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，那么c=()A.- 2 或 2 B.- 9 或 3 C.- 1 或 1 D.- 3 或 1分析求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3 - 3x+c 的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于 0或极小值等于0,由此可求c 的值解答解：求导函数可得y =3(x+1) (x- 1)，令 y 0，可得 x 1 或 xv- 1；令 yv 0，可

15、得-1 0可得x- 1，即函数在(-1， +x)上是增函数 令f(x) = (x+1) ex 0可得x 0x=所以x=是极小值点所以0vv 10vv 10v av应选： B. 点评 此题考查函数在某一点取得极值点条件， 此题解题的关键是在一个区间上 有极值相当于函数的导函数在这一个区间上有解.9.函数f (x) =x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,那么f (2)等于()A. 11 或 18 B. 11 C. 18 D. 17 或 18分析根据函数在x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0,又因为f (x) =3x2+2ax+b，所以得到：f(1) =3+2a+b=0又因为f (

16、1) =10,所以可求出a 与b的值确定解析式，最终将x=2代入求出答案. 解答 解： f ( x) =3x2+2ax+b,或 当 时，f( x) =3 (x - 1) 2 0,在x=1处不存在极值；2 当 时， f( x) =3x2+8x- 11=(3x+11)(x- 1) x( , 1), f ( x)v 0, x ( 1, +) , f ( x ) 0,符合题意.， f(2) =8+16-22+16=18.应选： C. 点评 此题主要考查导数为 0 时取到函数的极值的问题， 这里多注意联立方程组 求未知数的思想，此题要注意f ( Xo) =0是X=Xo是极值点的必要不充分条件，因此对于解

17、得的结果要检验10设三次函数f (x)的导函数为f( x),函数y二x? f( x)的图象的一部 分如下列图，那么正确的选项是( )A. f (x)的极大值为，极小值为B. f (x)的极大值为，极小值为C. f (x)的极大值为f (- 3),极小值为f (3)D. f (x)的极大值为f (3),极小值为f (- 3)分析观察图象知，x v-3 时，f( x)v 0.- 3v x v 0 时，f( x) 0由 此知极小值为 f (- 3). 0v x v 3 时，yf( x) 0. x 3 时，f( x )v 0.由 此知极大值为 f(3)解答解：观察图象知，xv- 3时，y=x?f( x

18、 ) 0，f( x) v 0.3vxv 0 时，y=x? f( x)v 0， f( x ) 0.由此知极小值为 f(- 3)0vxv 3 时，y=x? f(x) 0， f( x ) 0.x 3 时，y=x? f(x) v 0， f( x) v 0.由此知极大值为 f( 3).应选： D.点评此题考查极值的性质和应用， 解题时要仔细图象， 注意数形结合思想的合 理运用.11.假设 f( x)=x3+2ax2+3(a+2)x+1 有极大值和极小值， 那么 a 的取值范围是( )A. av av 2 B. a 2 或 av- 1 C. a 2 或 a 1 或 av- 2 分析求出函数的导函数， 根据

19、函数的极值是导函数的根， 且根左右两边的导函 数符号不同得到厶 0;解出a的范围.解答解：f( x) =3x2+4ax+3 (a+2) f (x)有极大值和极小值 =16a2 36 (a+2)0解得a2或av- 1 应选： B 点评 此题考查函数的极值点是导函数的根，且根左右两边的导函数符号需不 同12函数y=xe-x, x 0 , 4的最小值为()A0B C D分析先求出导函数f( x),由f( x ) 0和f( x)v 0,求出x的取值 范围，得出函数f (x)的单调区间，从而求出函数的最值.解答解：,当 x 0 , 1)时，f( x ) 0, f (x)单调递增，当 x( 1, 4时，f

20、( x) v 0, f (x)单调递减， f (0) =0, , 当 x=0 时，f (x)有最小值，且 f (0) =0.应选： A点评此题考查的是利用导数， 判断函数的单调性， 从而求出最值， 属于根底题.13. 函数y=2x3 - 3x2 - 12x+5在区间0 , 3上最大值与最小值分别是()A. 5，- 15 B. 5，- 4 C.- 4，- 15 D. 5，- 16分析对函数y=2x3- 3x2- 12x+5求导，利用导数研究函数在区间0 , 3上的单 调性,根据函数的变化规律确定函数在区间 0, 3上最大值与最小值位置, 求值 即可解答解：由题意 y=6x 2-6x-12令 y

21、0，解得 x 2 或 x v- 1故函数 y=2x3 - 3x2- 12x+5在(0, 2)减，在(2, 3) 上增又 y( 0) =5， y( 2) =- 15， y( 3) =- 4故函数y=2x3 - 3x2- 12x+5在区间0 , 3上最大值与最小值分别是5,- 15 应选：A.点评此题考查用导数判断函数的单调性，利用单调性求函数的最值，利用单调 性研究函数的最值，是导数的重要运用，注意上类题的解题规律与解题步骤.14. f (x) =2x3- 6x2+m (m为常数)在-2, 2上有最大值3,那么此函数在-2, 2上的最小值是()A.- 37 B.- 29C.- 5 D .以上都不

22、对分析先求导数，根据单调性研究函数的极值点，在开区间(- 2, 2) 上只有一 极大值那么就是最大值，从而求出 m通过比拟两个端点-2和2的函数值的大小 从而确定出最小值，得到结论.解答解： f( x) =6x2- 12x=6x (x 2), f (x)在(-2, 0)上为增函数，在(0, 2) 上为减函数，当 x=0 时，f (x) =m最大，m=3 从而 f (- 2) =-37, f (2) =- 5.最小值为-37.应选：A.点评此题考查了利用导数求闭区间上函数的最值， 求函数在闭区间a , b上的 最大值与最小值是通过比拟函数在(a, b)内所有极值与端点函数f (a), f (b)

23、 比拟而得到的，属于根底题.二.填空题(共10小题)15. 函数f (x) =x3 - 3x2+1的极小值点为 2.分析首先求导可得f( x) =3x2- 6x,解3x2- 6x=0可得其根，再判断导函数 的符号分析函数的单调性，即可得到极小值点.解答解：f( x) =3x2- 6x令 f ( x) =3x2 - 6x=0 得 X1=0, X2=2且 x (-x, o)时，f( x) 0;x ( 0, 2)时，f( x )V 0;x ( 2, +x)时，f( x) 0故f (x )在x=2出取得极小值.故答案为2.点评此题考查函数的极值问题，属根底知识的考查.熟练掌握导数法求极值的 方法步骤是

24、解答的关键.16. f (x) =x3- ax2- bx+a2，当 x=1 时，有极值 10,那么 a+b= 7.分析求导函数，利用函数f (x) =x3- ax2 - bx+a2，当x=1时，有极值10,建 立方程组，求得a，b的值，再验证，即可得到结论.解答解：函数 f (x) =x3 - ax2 - bx+a2二 f (x) =3x2- 2ax- b，又函数 f (x) =x3- ax2- bx+a2，当 x=1 时，有极值 10，或时，f (x) =3x2- 2ax- b= (x - 1) (3x+11) =0有不等的实根，满足题意； 时，f (x) =3x2- 2ax- b=3 (x

25、- 1) 2=0有两个相等的实根，不满足题意； a+b=7故答案为：7点评此题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于 根底题.17. 函数f (x) =x (x - c) 2在x=2处有极大值，那么c= 6.分析由函数f (x) =x (x- c) 2在x=2处有极大值，那么必有f( 2) =0, 且在x=2的两侧异号即可得出.解答解：T f( x) = (x - c) 2+2x (x - c) =3x2- 4cx+c2，且函数 f (x ) =x (x- c ) 2在x=2处有极大值， f( 2 ) =0,即 c2- 8c+12=0，解得 c=6 或 2.经检验c=2时

26、，函数f (x)在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去. 故 c=6.故答案为6.点评熟练掌握利用导数研究函数的极值的方法是解题的关键.18函数f (x) =x3+3ax2+3(a+2) x+1既有极大值又有极小值，那么实数 a 的取值范围是(-X,- 1)U( 2, +x).分析先对函数进行求导，根据函数f (x) =x3+3ax2+3 (a+2) x+1既有极大值又 有极小值，可以得到 0,进而可解出a的范围.解答解：T f (x) =x3+3ax2+3 (a+2) x+1： f (x) =3x2+6ax+3 (a+2)函数f (x) =x3+3ax2+3 (a+2) x+1既有极大值又

27、有极小值 = (6a) 2-4X3X3 (a+2)0 a 2 或 av- 1故答案为：(-x,- 1)U( 2, +)点评此题主要考查函数在某点取得极值的条件属根底题.19. 函数f (x) =x3+mx+ (m+6 x+1既存在极大值又存在极小值，那么实数 m 的取值范围是 mv- 3或m 6 .分析求出函数f (x)的导函数，根据条件，导函数必有两个不相等的实 数根，只须令导函数的判别式大于 0,求出m的范围即可.解答解：函数f (x) =x3+mx+ (m+6 x+1既存在极大值，又存在极小值f( x) =3x2+2mx+m+6=0它有两个不相等的实根，2 =4m- 12 (m+6 0解

28、得mv- 3或m 6故答案为：mv- 3或m6.点评此题主要考查了函数在某点取得极值的条件.导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便.20. 函数f (x ) =4x+ (x0, a0 )在x=3时取得最小值，那么 a= 36 .分析由题设函数在x=3时取得最小值，可得f( 3) =0,解此方程即可得出 a的值.解答解：由题设函数在x=3时取得最小值， x( 0, +x),得x=3必定是函数的极值点，-( 3) =0,f( x) =4-,即 4 - =0,解得a=36.故答案为：36.点评此题考查利用导数求函数的最值与利用导数求函数的极值，解题的关键是理解“函数在x=3时取得最小值，将

29、其转化为x=3处的导数为0等量关系.21. f (x) =x3- 3x2+2在区间-1, 1上的最大值是 2 .分析求出函数的导函数，令导函数为0,求出根，判断根是否在定义域内，判 断根左右两边的导函数符号，求出最值.解答解：f( x) =3x2- 6x=3x (x - 2)令 f( x) =0 得 x=0 或 x=2 (舍)当-1v x v 0 时，f( x) 0；当 0v XV 1 时，f( x)v 0所以当x=0时，函数取得极大值即最大值所以f (x)的最大值为2故答案为2点评求函数的最值，一般先求出函数的极值，再求出区间的端点值，选出最值.22函数f (x) =x3 - 12x+8在区

30、间-3, 3上的最大值与最小值分别为 M m 贝卩 M- m= 32.分析先对函数f (x)进行求导，令导函数等于0求出x，然后根据导函数的正 负判断函数f (x)的单调性，列出在区间-3, 3上f (x)的单调性、导函数 f (x)的正负的表格，从而可确定最值得到答案.解答解：令 f( x) =3x2- 12=0，得 x=- 2 或 x=2,歹y表得：x- 3(- 3,- 2(- 2,2(2, 3)3f( x)+ 0 - 0+f (x)17极值极值-1248可知M=24m=- 8，.M- m=32故答案为：32-2)2)点评此题主要考查函数的求导运算、函数的单调性与其导函数的正负之间的关 系

31、和函数在闭区间上的最值导数是由高等数学下放到高中的内容，每年必考， 要引起重视.23 .设 f (x) =x3 2x+5，当 x - 1, 2时，f (x)v m 恒成立，那么实数 m 的取值范围为(7，+x).分析先求导数，然后根据函数单调性研究函数的极值点， 通过比拟极值与端点 的大小从而确定出最大值，进而求出变量 m的范围.解答解：f( x) =3x2- x- 2=0解得：x=1或-当 x 时，f (x)0，当 x 时，f (x)V 0，当 x ( 1, 2)时，f (x) 0，f ( x) ma=f(-) ， f (2) ma=7由 f ( x )V m恒成立，所以 m fmax (x

32、) =7.故答案为：(7，+x)点评此题考查了利用导数求闭区间上函数的最值， 求函数在闭区间a，b上的 最大值与最小值是通过比拟函数在(a，b)内所有极值与端点函数f (a)，f (b) 比拟而得到的，属于根底题.24. f (x) =ax3- 3x+1 对于 x - 1， 1总有 f (x) 0 成立，贝U a= 4.分析这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，此题要分三类：x=0,x0,xv0等三种情形.当x=0时，不管a取何值，f (x) 0都成立；当x0时有a?，可构造函数g (x)二，然后利用导数求g(x)的最大值，只需要使a g(x)max，同理可得xv0时的

33、a的范围，从而可 得 a 的值 解答 解： 假设x=0,那么不管a取何值，f (x) 0都成立； 当 x0,即 x (0, 1时，f (x)二ax3 3x+10 可化为：a设 g (x)=,贝9 g( x)=,所以g (x)在区间(0,上单调递增，在区间,1上单调递减，因此 g( x)max=g() =4，从而 a? 4； 当 xv0，即卩 x 1， 0)时，f (x) =ax3 3x+1 0 可化为：a，g (x)二在区间-1，0)上单调递增，因此 g (x) min=g ( 1) =4，从而 a 0求得增区间，由g (x ) 0,当 x 0 时，f( x) v 0.又 f (0 ) =0，

34、故当且仅当x=0时，f (x)取得最大值，最大值为0.(H) 证明：召(白)+呂呂化学二(廿普由(I)结论知 In (1+x)- x v 0 (x - 1,且 x 丰 0),由题设，因此 ln= - In (1+),所以又,v =( b- a) ln v( b- a) ln2综上 点评 此题主要考查导数的根本性质和应用、 对数函数性质和平均值不等式等知 识以与综合推理论证的能力27函数 f ( x) =x- 1 - lnx(l) 求曲线y=f (x)在点(2, f (2)处的切线方程；(U)求函数f (x)的极值；(川)对？x (0, +), f (x) bx - 2恒成立，求实数b的取值范围

35、.分析(I)求出f (2),再根据导数的几何意义，求出该点的导数值，即得曲 线在此点处的切线的斜率,然后用点斜式写出切线方程即可(U)令导数大于0解出增区间，令导数小于0,解出函数的减区间，然后由极 值判断规那么确定出极值即可(m)由于f (x) bx- 2恒成立，得到在(0, +X)上恒成立，构造函数g(x) =,b0,得 x 1,列表：x(0，1)1( 1，+8)f( x)-0+f(x)0 /函数y=f(X)的极小值为f(1) =0；(川)依题意对？ x( 0, +8), f (x) bx - 2恒成立等价于 x- 1-lnx bx - 2 在0, +8)上恒成立可得在( 0，+8)上恒成

36、立，令 g( x) =，令 g( x)=0，得 x=e2列表：x( 0， e2 )2 e( e2, +8)g ( x)-0+g( x)/.函数 y=g(x)的最小值为，根据题意， 点评 此题考查利用导数研究函数的极值， 考查恒成立问题， 着重考查分类讨论 思想与构造函数思想的应用，表达综合分析问题与解决问题能力，属于中档题28函数 f ( x)=xlnx (1) 求f (x)的最小值；(U)假设对所有x 1都有f (x) ax - 1,求实数a的取值范围. 分析 ( 1)先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的 单调性进而可求出最小值(2) 将f (x) ax - 1在1 ,

37、 +8)上恒成立转化为不等式对于 x 1 , +8) 恒成立，然后令，对函数 g (x)进行求导，根据导函数的正负可判断其单调性 进而求出最小值，使得 a 小于等于这个最小值即可解答解：(I) f(x)的定义域为(0,+8) , f(X)的导数f(x)=1+1 nx 令f (x) 0,解得；令f (x)v 0,解得.从而f (x)在单调递减，在单调递增.所以，当时，f (x)取得最小值.(U)依题意，得f (x) ax - 1在1 , +x)上恒成立，即不等式对于x 1，+x)恒成立.令，那么当x 1时，因为，故g (x)是1，+x)上的增函数，所以g (x)的最小值是g ( 1) =1，从而

38、a的取值范围是(-X,1 点评此题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、 根据导数求函 数的最值 导数是高等数学下放到高中的内容， 是每年必考的热点问题， 要给予 重视29函数 f(x) =(x- 2) ex(1) 求f (x)的单调区间；(2) 求f (x)在区间0，2上的最小值和最大值. 分析 (1)求出函数的导数，令导数大于 0，得增区间，令导数小于 0，得减区 间；(2)由(1)可得f (x)在0，1递减，在(1, 2递增，即有f (x)在x=1 处取得极小值，且为最小值，求得端点的函数值，比拟即可得到最大值解答解：(1)函数f (x)的导数为f(x) = (x- 1) ex

39、，由 f(x) 0，可得 x 1 ；由 f(x)v 0，可得 xv 1.那么f (x)的增区间为(1，+)，减区间为(-x， 1)；(2)由(1)可得f (x )在0，1递减，在(1，2递增，即有f (x)在x=1处取得极小值，且为最小值，且为 f (1) =-e，由 f (0)=- 2， f( 2)=0，可得f (x)的最大值为f (2) =0.那么f (x)的最小值为-e，最大值为0.点评此题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，正确求 导是解题的关键.30.函数f (x) =ax3- 6ax2+b(x - 1, 2)的最大值为3,最小值为-29, 求a、b的值.分析求出f

40、( x) =0在-1, 2上的解，研究函数f (x )的增减性，函数的 最值应该在极值点或者区间端点取，最大值为 3,最小值为-29代入即可.解答解：函数 f (x) =ax3 - 6ax2+bf( x) =3ax2 - 12ax=3a (x2 - 4x)令 f( x) =3ax2 - 12ax=3a (x2 - 4x) =0,显然 a 0,否那么 f (x) =b 为常数， 矛盾， x=0,假设a0,列表如下：KC-b )o(6 2)rw+0-曙函数最大值3减函数由表可知，当x=0时f (x)取得最大值 b=3又 f( 0) =-29,那么 f (2)v f (0),这不可能， f (2)

41、=8a 24a+3=- 16a+3=- 29,二 a=2假设av0,同理可得a=- 2, b=- 29故答案为：a=2, b=3或 a=- 2, b=- 29点评此题考查函数的导数在求最大值、 最小值中的应用，关键是对于闭区间上 的最值要注意函数的端点函数值，注意区别理解函数的极值点一定不在函数端 点，而最值点可能在函数端点，属于根底题.31 .求函数f (x) =x - 2x?+5在区间-2, 2的最大值和最小值.分析求出函数的导数，利用导数研究函数 f (x) =x3 - 2x2+5在区间-2, 2 的单调性，再由单调性求函数在区间上的最值.解答解：函数f (x) =x3 - 2x2+5的

42、导函数是f (x) =x (3x- 4),令f (x) =0得x=0或，如下表：X(-2,0)0343y7/w00+-11极大値5103275 yma=5, y mi n= 11点评此题考点是利用导数求闭区间上的函数的最值，考查用导数研究函数的单 调性并利用单调性确定函数的最值，并求出此是导数的一个很重要的运用.32. 函数 f (x) =lnx(I)求函数f (x)的单调增区间；(U)证明；当 x 1 时，f (x)V x - 1 ；(川)确定实数k的所有可能取值，使得存在xo 1,当x ( 1, xo)时，恒有 f (x) k (x- 1).分析(I)求导数，利用导数大于 0,可求函数f

43、(x )的单调增区间；(U)令F (x) =f (x) -(x- 1)，证明F (x)在1，+x)上单调递减，可得 结论；(川)分类讨论，令 G( x) =f (x) - k (x - 1) (x 0)，利用函数的单调性， 可得实数k的所有可能取值.解答解：(I)： f (x) =lnx -， f( x) =0 (x 0)， 0v xv，函数f (x)的单调增区间是(0,);(U)令 F (x) =f (x)-( x - 1)，那么 F( x)=当 x 1 时，F( x)v 0， F (x)在1，+x)上单调递减， x 1 时，F (x)v F (1) =0，即当 x 1 时，f (x)v x

44、 - 1 ；(川)由(U)知，k=1时，不存在X0 1满足题意；当 k 1 时，对于 x 1，有 f (x) v x - 1 v k (x - 1)，那么 f (x) v k (x- 1)， 从而不存在Xo 1满足题意；当 kv 1 时，令 G (x) =f (x)- k (x - 1) (x0),贝UG ( x) =0,可得 Xi=v 0, X2= 1,当x ( 1, X2)时，G ( x) 0,故G(x)在(1, X2)上单调递增， 从而 x ( 1, X2)时，G(x) G( 1) =0,即 f (x) k (x - 1), 综上，k的取值范围为(-x,1). 点评 此题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明, 正确构造函数是关键33. 设函数 f (x) =1+ (1+a) x- x2 - x3,其中 a0.(I)讨论f (x)在其定义域上的单调性；(U)当x 0 , 1时，求f (x)取得最大值和最小值时的x的值.分析(I)利用导数判断函数的单调性即可；(U)利用(I)的结论，讨论两根与1的大小关系，判