偏微分方程数值解法2014.10.24

1、偏微分方程数值解法（第二讲）2014年10月22日星期三 1） 相容性：相容性： 方程趋近方程趋近 当差分方程中当差分方程中 ，时间与空间步长均趋近于，时间与空间步长均趋近于0 时，差分方程的时，差分方程的截断误差截断误差也趋近于也趋近于0，则称差分方程与原微分方程是，则称差分方程与原微分方程是相容相容的。的。2）收敛性：）收敛性： 解趋近（更强）解趋近（更强）0lim0,uuhtx2 当时间与空间步长均趋近于当时间与空间步长均趋近于0 时，差分方程的时，差分方程的解解趋近于微分方程的解，趋近于微分方程的解，则称差分方程的解则称差分方程的解收敛收敛于原微分方程的解。于原微分方程的解。注意！注意

2、！ 方程互相趋近方程互相趋近 解互相趋近解互相趋近 （根据（根据Lax等价定理，只有稳定性条件满足的情况下，方程趋近才能保证解趋近）等价定理，只有稳定性条件满足的情况下，方程趋近才能保证解趋近）)(),(xuxuh分别为差分方程和微分方程的解分别为差分方程和微分方程的解1. 复习：相容性、收敛性，稳定性复习：相容性、收敛性，稳定性xt 和xt 和0021,exp,txuttcctxuhnnh定义：称差分方程的初值问题是稳定的，如果当定义：称差分方程的初值问题是稳定的，如果当 做够小时，存在于做够小时，存在于 无关的常数无关的常数C1和和C2使得使得:含义：含义： 在差分方程的求解过程中，如果引

3、入的误差随时间的增长有界，在差分方程的求解过程中，如果引入的误差随时间的增长有界，则称差分方程是稳定的。则称差分方程是稳定的。34） Lax 等价定理等价定理 如果微分方程的初边问题是适定的，差分方程是相容的，则差分如果微分方程的初边问题是适定的，差分方程是相容的，则差分方程解的方程解的收敛性收敛性与与稳定性稳定性是等价的。是等价的。含义：含义： 如果微分方程不出问题（适定），差分方程性质好（稳定），如果微分方程不出问题（适定），差分方程性质好（稳定），则则方程逼近方程逼近就可保证就可保证解逼近解逼近。 如果方程逼近就可以导致解逼近，则差分方程的性质肯定好（稳定）如果方程逼近就可以导致解逼近，

4、则差分方程的性质肯定好（稳定）3）稳定性）稳定性2. Fourier变换变换FourierFourier积分公式，是指定义在积分公式，是指定义在 上的函数上的函数 的一个关系式。的一个关系式。设设 有关系式有关系式 FourierFourier积分公式，积分公式，令令则有则有 称为称为 的的FourierFourier变换，变换， 称为称为 的逆变换。的逆变换。 ),()(xvdxxv2)( ddevxvxi)()(21)(dxexvvxi)(21)(dxexvxvxi)(21)()(v)(xv)(xv)(v 对流方程的初值问题对流方程的初值问题有差分格式有差分格式上述差分格式中的解及其初值仅

5、在网格点上有定义，为了应用上述差分格式中的解及其初值仅在网格点上有定义，为了应用FourierFourier方方法分析稳定性，必须扩充这些函数的定义域，使得它们在整个实轴上有定法分析稳定性，必须扩充这些函数的定义域，使得它们在整个实轴上有定义。义。3 3. Fourier. Fourier分析法分析法 RxxgxutRxxuatu),()0 ,(0, 0jjnjnjnjnjguhuuauu0110令令于是于是对上式两边用对上式两边用Fourier积分来表示，可以得到积分来表示，可以得到 22),()(22,),(hxxhxxgxhxxhxutxUjjjjjnjn),(),(),(),(1nnn

6、nthxUtxUatxUtxUdketkUdketkUikxnikxn),(21),(211dkeeatkUdketkUdketkUaikxikhnhxiknikxn)1 (1),(21),(21),(21()(重新记为重新记为这里这里 称为增长因子。称为增长因子。推广到一般形式的差分格式（限于常系数情形）推广到一般形式的差分格式（限于常系数情形）由于由于 不依赖于时间层不依赖于时间层n，可以得到，可以得到)1 (1),(),(1ikhnneatkUtkU)1 (1),(),(),(),(1ikhnneakGtkUkGtkU01,jnhnjnjhnjuLuuLu),(kG),(),(),(0t

7、kUkGtkUnn设设 的任意次幂一致有界，界为的任意次幂一致有界，界为K K，则有则有由由ParsevalParseval等式等式),(kG,),(KkGndvdxxv22)()(dxtxutUnn22),()(.,dktkUn2),(20220220)()(),(),(tUktUkdktkUkGn由定义可知由定义可知结结 论：常系数差分格式稳定的充分必要条件是存在常数论：常系数差分格式稳定的充分必要条件是存在常数 使得当使得当 时有时有 判别准则（判别准则（Von NeumannVon Neumann条件）：条件）： 差分格式差分格式 稳定的必要条件是当稳定的必要条件是当 时，对任何时，对

8、任何 有有充分必要条件充分必要条件: :正规矩阵，实对称矩阵，酉矩阵，正规矩阵，实对称矩阵，酉矩阵，HermiteHermite矩阵矩阵hhnuKu0, 0, 00kRKTn,0KkGn),(njhnjuLu1Tn ,0RK pjMkGj, 2 , 1,1),(4. 差分方程的修正方程差分方程的修正方程修正方程修正方程 差分方程准确逼近（无误差逼近）的方程差分方程准确逼近（无误差逼近）的方程0 xuatu011xuuatuunjnjnjnjtttttnjnjnjututtuutu6221.62622211tttttxxxxxnjnjnjnjututuxuxxuuatuuxuatu差分方程截断误

9、差10.6221xxxxxnjnjnjuxuxxuuxu微分方程微分方程=差分方程差分方程+截断误差截断误差.62622211tttttxxxxxxtnjnjnjnjututuxauxuauxuuatuu 差分方程差分方程 = 微分方程微分方程-截断误差截断误差 新的微分方程（修正方程）新的微分方程（修正方程）011xuuatuunjnjnjnj等价于0.626222tttttxxxxxxtututuxuxuau修正方程0.662222xxxtttxxttxtuxutuxcutuau11通常要求：通常要求： 修正方程中不出现时间的高价导数项修正方程中不出现时间的高价导数项 （便于进行空（便于进

10、行空间分析）间分析）),(),(32xtOucuxtOucuxxxtttxxtt,) 132(612322322ttxtxxOuxcuxccuuxxxxxxtxtc修正方程：修正方程：主导项：主导项： 1阶；阶； 耗散型耗散型12xtc作作 业业 已知扩散方程已知扩散方程 的一种差分格式如下，的一种差分格式如下，求截断误差并推导其修正方程求截断误差并推导其修正方程 。 022111huuuauunjnjnjnjnj0,22tRxxuaxu第四章 双曲型方程的差分方法 1. 1. 常系数双曲型方程数值解法常系数双曲型方程数值解法典型方程：典型方程：a a 对流方程（对流方程（Advection

11、equationAdvection equation）),()0 ,(, 10),(xxuxtxfauuxt. 0),(), 1 (, 0),(), 0(atgtuoratgturl第四章 双曲型方程的差分方法 b.b.二阶线性波动方程（二阶线性波动方程（Second order linear wave equations)Second order linear wave equations),()0 ,(, 10),(xxuxtxfauuxxtt),(), 1 (),(), 0(tgtutgturlc.c.一阶线性双曲型方程组一阶线性双曲型方程组（Linear first order hyperbolic system)Linear first order hyperbolic system) 这里，这里，u u 和和f f都是向量，都是向量，A A的特征值是实的并且的特征值是实的并且A A是可对角化的，则上述方是可对角化的，则上述方 程组称为双曲型方程组程组称为双曲型方程组),(txfAuuxt第四章 双曲型方程的差分方法 d.Burgersd.Burgers方程（方程（Burgers equation) Burgers equation) 非线性方程非线性方程)()0 ,(, 10