连续性间断点

1、 函数的连续性函数的连续性二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第八节第八节函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 第一章第一章 函数的连续性函数的连续性右连续右连续对自变量的增量对自变量的增量,0 xxx有有函数的增量函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左连续左连续,0,0当当xxx0时时, 有有yxfxf)()(0函数函数0 x)(xf在点在点连续有下列连续有下列等价命题等价命题:一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定

2、义 函数的连续性函数的连续性)()(lim, ),(000 xPxPxxx若若)(xf在某区间上每一点都连续在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上则称它在该区间上连续连续 , 或称它为该区间上的或称它为该区间上的连续函数连续函数 . ,baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在在),(上连续上连续 .( 有理整函数有理整函数 )又如又如, 有理分式函数有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续在其定义域内连续.在闭区间在闭区间,ba上的连续函数的集合记作上的连续函数的集合记作只要只要,0)(0 xQ都有都有)()(lim00 xRxRxx 函数的连续性函数的连续性例例. 证明

3、函数证明函数xysin在在),(内连续内连续 .证证: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即即0lim0yx这说明这说明xysin在在),(内连续内连续 .同样可证同样可证: 函数函数xycos在在),(内连续内连续 .0 函数的连续性函数的连续性可见可见 , 函数函数)(xf在点在点0 x定义定义:)(xfy 在在0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点在点0 x即即)(0 xf(2) 极限极限)(lim0 xfxx(3).

4、 )()(lim00 xfxfxx设函数设函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在 ;且且有定义有定义 ,存在存在 ;)(xfy xoy0 xxxy 函数的连续性函数的连续性在在在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数函数)(xf0 x(2) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但但)()(lim00 xfxfxx 不连续不连续 :0 x设设0 x在点在点)(xf的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,则下列情形则下列情形这样的点这样的点0 x之一之一函数函数 f (x) 在点在

5、点虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为称为间断点间断点 . 在在无定义无定义 ; 函数的连续性函数的连续性xytan) 1 (2x为其无穷间断点为其无穷间断点 .0 x为其振荡间断点为其振荡间断点 .xy1sin) 2(1x为可去间断点为可去间断点 .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin0 函数的连续性函数的连续性1) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点 . 函数的连续性函数的

6、连续性间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若称称0 x, )()(00 xfxf若若称称0 x为为可去间断点可去间断点 .为为跳跃间断点跳跃间断点 .xoy1xyo11 函数的连续性函数的连续性第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及及)(0 xf中至少一个不存在中至少一个不存在 ,称称0 x若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡 , 称称0 x若其中有一个为若其中有一个为,为为无穷间断点无穷间断点 .为为振荡间断点振荡间断点 .xytan2xyoxyxy1sin0 函数的连续性函数的连续性内容小结内容小结)(

7、)(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续左连续右连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型)(. 1xf0 x在点在点连续的等价形式连续的等价形式 函数的连续性函数的连续性思考与练习思考与练习1. 讨论函数讨论函数231)(22xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点是第二类无穷间断点 .间断点的类型间断点的类型.

8、3. P64 题题 2 , P65 题题 5答案答案: x = 1 是第一类可去间断点是第一类可去间断点 ,12sin,02.( ),_,( ),0.xxxf xaf xaxx 设设时时 为为连连续续函函数数(0 )0,(0 )(0): fffa 提提示示0 函数的连续性函数的连续性P65 题题5 提示提示:xxxfsin1sin1)() 1 ()()2(xf有理点x,1无理点x,1)()3(xf有理点x,x无理点x,xxyo11xyo 函数的连续性函数的连续性备用题备用题 确定函数确定函数间断点的类型间断点的类型.xxexf111)(解解: 间断点间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0

9、x为无穷间断点为无穷间断点; xx1,0)(xf xx1,1)(xf故故1x为跳跃间断点为跳跃间断点. ,1,0处在x.)(连续xf1,x 当当时时1,x 当当时时 函数的连续性函数的连续性331ln(13 )1sinsin,0( )3,00_(_)_2xxxxf xxxAxxA 设设函函数数 在在处处连连续续，则则 3tan21,0arcsin( )02,0_)_1_(xxexxf xxaexa 设设函函数数在在处处连连续续，则则 2 函数的连续性函数的连续性ln|( )sin( )|1|( )(4)( )()xf xxf xxABCD 设设函函数数，则则有有 1 1个个可可去去间间断断点点，1 1个个跳跳跃跃间间断断点点. . 1 1个个可可去去间间断断点点，1 1个个无无穷穷间间断断点点. . 2 2个个跳跳跃跃间间断断点点. . 1 1个个无无穷穷间间断断点点. . 【 】11()tan( )()( )( )( )()22(3)xxeexf xx eexABCD 函函数数在在, , 上上的的第第一一类类间间断断点点是是 0. 1. . . 0. 1. . . 【 】 AAx=0现在还不能做现在还不能做 函数的连续性函数的连续性sinsinsinlim( ).( )si6n( )xtxtxtf xf xx 求求极极限限().().记记此此极极限限为为求求函