邵怀宗信号分析_第4章短时Foureir变换

1、1第第5章章 时频分析的基础时频分析的基础与短时与短时Fourier变换变换2主要内容主要内容uFourier变换的局限性变换的局限性u短时短时Fourier变换与变换与Gabor变换变换u时频分析的基础知识时频分析的基础知识3信号空间概念的引入信号空间概念的引入采样定理：采样定理：对于对于带限于带限于B，时限于时限于T的信号的信号s(t),2( ) (0), (1), (2), (),sfBs tssss M 满足维数定理的情况下满足维数定理的情况下2MBT有：有：2( ) (0), (1), (2), () (0), (1), (2), ()sfBs tssss Mssss M 结论：结论

2、：带限于带限于B，时限于时限于T连续时间二维信号连续时间二维信号s(t)与与M维空间中的一个点对应维空间中的一个点对应4信号集合信号集合定义定义：具有某些共同性质的信号的集合：具有某些共同性质的信号的集合 , Sx pExample1: 正弦信号集合正弦信号集合 ; ( )cos(2);, ,cSx x tAfttA fR Example2: 周期信号集合周期信号集合 ; ()( ),TSx x tTx tt Example3: 能量有限集合能量有限集合2 ;( )ESxx tdt 5Example4: 时限信号集时限信号集 ; ( )0,/2DSx x ttTExample5: 带限信号集带

3、限信号集2 ;( )( )0,/2jftBSx X fx t edtfBExample6: 复函数集合和正交函数集合复函数集合和正交函数集合10*0 ()( ),( )( )( ) ()tijijtijtttt dtKij如果复函数集合如果复函数集合( ),1,2,3,., ;itin在区间在区间 上满足上满足01( , )t t复函数集合复函数集合( ),1,2,3,., ;itin为正交函数集合为正交函数集合如果如果K=1则则( ),1,2,3,., ;itin为正交归一化函数集合为正交归一化函数集合6设设 X 为一集合为一集合, 为为X中中 任意二元素对应的实数，若满足任意二元素对应的实

4、数，若满足),(21ssd,21Xzss称称 X 为以为以 为距离的为距离的距离空间距离空间 。),(21ssd1 函数空间函数空间 ,baRZCRZ符号：符号：函数空间函数空间 ：由函数构成的集合。：由函数构成的集合。 函数空间又称为信号空间。函数空间又称为信号空间。1)距离空间距离空间 ( 度量空间度量空间 )0),(21ssd非负性非负性),(),(1221ssdssd对称性对称性),(),(),(2121zsdzsdssd三角不等式三角不等式引入距离的目的：测量或描述两个信号之间的波形差异引入距离的目的：测量或描述两个信号之间的波形差异距离距离反映信号集合内信号的几何特性反映信号集合内

5、信号的几何特性7代表代表 n 维向量维向量 全体组成的集合，即全体组成的集合，即 x 。nR),(21nxxxxx 中的中的 代表向量代表向量 x 在座标在座标 上的投影。上的投影。ixi)()(max),(tytxyxdnRExample-1Example-1 n 维欧氏空间维欧氏空间2112)(),(niiiyxyxdnR空间内向量空间内向量 x, y 间的距离间的距离Example-2 Example-2 连续函数空间连续函数空间 Ca,b由连续函数组成距离的空间，由连续函数组成距离的空间，a,b为函数的定义域。为函数的定义域。意义意义：代表二连续函数瞬时最大差值。：代表二连续函数瞬时最

6、大差值。8)(, )()(),(2212RLyxdttytxyxdR意义：意义： 反映了二信号的波形上差异的大小。反映了二信号的波形上差异的大小。),(yxdRdttxtxRL)(: )()(22)(2RLExample-3Example-3 平方可积空间平方可积空间由平方可积函数（能量有限函数）构成由平方可积函数（能量有限函数）构成 的距离空间，即的距离空间，即意义：由所有能量有限的实信号组成的空间意义：由所有能量有限的实信号组成的空间(集合集合)。92112),(iiiyxyxd定义：由平方可和离散序列（能量有限序列）定义：由平方可和离散序列（能量有限序列） 构成的距离空间，即构成的距离空

7、间，即2lExample-5Example-5 平方可和离散序列空间平方可和离散序列空间12212 : ),(iinxxxxxl意义：意义： 反映了二信号序列的差异。反映了二信号序列的差异。),(yxd102)线性空间线性空间(向量空间向量空间)空间内的元素之间定义了加法、数乘、结合律、分配空间内的元素之间定义了加法、数乘、结合律、分配律的函数空间。律的函数空间。线性空间反映线性空间反映(规定规定)了函数空间中的了函数空间中的代数特性代数特性。3) 线性赋范空间线性赋范空间设设X为线性空间，为线性空间， 则定义了范数则定义了范数 的线的线 性空间称为线性赋范空间。性空间称为线性赋范空间。 应满

8、足应满足XxXX, 0,)xXxi;0, xx0当且仅当;,及)xxRXxii;,)yxyxXyxiii线性赋范空间一定是距离空间。线性赋范空间一定是距离空间。11完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。 完备空间：若完备空间：若 X 空间中的任一空间中的任一 Cauchy 序列都序列都 收敛于收敛于X中的点，则称中的点，则称 X 为完备空间。为完备空间。4) 巴拿赫空间巴拿赫空间柯西序列：柯西序列： 设设 X 中的点列中的点列 满足对于任意满足对于任意 总总 有有 存在，使得对一切存在，使得对一切 都有都有 则称则称 为为X 的柯西序列。的柯西序列。mx00m0,

9、mnm,),(nmxxdmx5) 希尔伯特空间希尔伯特空间( Hilbert)内积空间内积空间: 定义了内积运算的复线性空间。定义了内积运算的复线性空间。 内积运算应满足：内积运算应满足：12;, )xyyxi;,有,)zyzxzyxCii希尔伯特空间希尔伯特空间 ： 完备的内积空间。完备的内积空间。xxx,范数范数yxyxd),(距离距离意义意义：在：在 Hilbert空间中，任一元素空间中，任一元素(函数函数)均可用均可用Hilbert空间内的柯西序列空间内的柯西序列(收敛的无收敛的无穷序列穷序列)无失真地逼近。无失真地逼近。; 0,时，有0当且仅, 0,)xxxyxiii当, x x13

10、6)几个空间的关系及其与信号分析的联系几个空间的关系及其与信号分析的联系线性空间线性空间线性距离空间线性距离空间巴拿赫空间巴拿赫空间范数诱导距离范数诱导距离线性赋范空间线性赋范空间满足完备性满足完备性Hilbert空间空间距离距离线性线性线性线性定义了距离定义了距离线性、距离线性、距离距离由范数诱导距离由范数诱导线性、距离由范数诱导线性、距离由范数诱导完备性完备性线性、赋范、完备空间线性、赋范、完备空间定义了内积定义了内积定义了函数内积定义了函数内积函数或信号空间函数或信号空间满足线性运算满足线性运算14作业作业4-14-1 请分析说明在请分析说明在Hilbert空间中定义线性、空间中定义线性

11、、距离和内积在研究和分析信号时有哪些用途？距离和内积在研究和分析信号时有哪些用途？152 基、正交基、双正交基基、正交基、双正交基定义定义1 函数序列张成的空间函数序列张成的空间如集合如集合X 中任一元素可由中任一元素可由 线性组合表示线性组合表示 即即)(tk)()( ,)(tatsXtskkkkspanX则称则称)(在： 20RLetjk例1中张成一空间中张成一空间 X ，即，即ktjkkeatsXts0)( )(ZkespanXtjk ,016例例2 2 )() 10(01)(其它ttt)(t11),(ZnntspanX则称则称为尺度空间为尺度空间Znnt ),(即由即由所张成的空间为尺

12、度空间，且所张成的空间为尺度空间，且mnmtnt)(),(17定义定义2 基底基底(基基)如集合如集合X 中任一元素可由中任一元素可由 线性组合表示线性组合表示 即即)(tk)()( ,)(tatsXtskkk且且 是唯一的。则称是唯一的。则称 是是X的一的一个基或基底个基或基底kaZktk),(yxyx 0,则若定义定义3 正交正交定义定义4 标准正交系标准正交系 若若 满足满足 ，则称则称 为标准正交系为标准正交系。( )nt ( )nt( ),( )()mnttmn18定义定义5 完全的标准正交系完全的标准正交系 设设 X 为内积空间，为内积空间， 为为 X 中的标准正交中的标准正交 系

13、，若系，若 X 中不存在非零元素，使它与所有的中不存在非零元素，使它与所有的 正交，称正交，称 为完全的标准正交系为完全的标准正交系(规范正交系规范正交系) 。nnn基基(底底) ( )( )kkks tat( )ktX( )s tXka 唯一标准正交系标准正交系( )( )mntt( ),( )mnmntt ( )( )kkks tat( ),s tX X是内积空间( )Xkt张成整个 空间完全标准正交系完全标准正交系19在在Hilbert 空间中，只要找到一个规范正空间中，只要找到一个规范正 交系交系 则则Znn,)()(,)(tatsHtskkk)(),(ttsakk把傅氏级数推广到把傅

14、氏级数推广到 Hilbert 空间中即：空间中即：Hilbert 空间中的空间中的Fourier变换变换Hilbert 空间中的空间中的Fourier变换变换20Example-1在复空间在复空间 中的一组规范正交基是函数系中的一组规范正交基是函数系)2 , 0(2Ljkte21在复空间在复空间 中任意函数在该系下的展开系数中任意函数在该系下的展开系数称为称为Fourier级数级数)2 , 0(2LFourier级数是用来分析周期级数是用来分析周期T=2的函数，当的函数，当T时，可以得到时，可以得到Fourier变换。变换。21Example-2在实空间在实空间 中的一组规范正交基是函数系中的

15、一组规范正交基是函数系)(2RLsin(/),(/)ssssf tn fnZf tn f在实空间在实空间 中任意函数在该系下的展开系数中任意函数在该系下的展开系数为以为以fs为采样率的函数采样，即采样定理。为采样率的函数采样，即采样定理。)(2RL空间的直和空间的直和(正交补正交补)Hilbert空间空间,.,21NspanH,.,211LspanH,.,212NLLspanH则称则称H1和和H2是是H的子空间。如果的子空间。如果0) 1 (21HH )()2(21全集HHH则称则称H是是H1和和H2的直和，记为：的直和，记为：21HHH22定义定义 6 双正交基双正交基 在函数空间在函数空间

16、 X 中，若存在两个基底，中，若存在两个基底， 与对偶基与对偶基 ，它们本身不正，它们本身不正 交，但彼此正交。即交，但彼此正交。即Zktk)()(tk)(,klkl与则称)(tk是双正交的Zktk)(1221,1122,0,0 1212例如：例如：23则如果,)(Xts)()(),()(tttstskkk)()(),(tttskkk函数在双正交基中展开函数在双正交基中展开正交基、双正交基特点：正交基、双正交基特点：i 正交系中各分量之间线性独立，展开式正交系中各分量之间线性独立，展开式系数唯一系数唯一 存在存在 Parseval 公式，即函数能量等于展公式，即函数能量等于展开式系数平方之和开

17、式系数平方之和243. 框架和紧框架框架和紧框架222| |,| |nnABsss,Znn0A0B BAHs设设是是Hilbert空间中的一组向量，如果存在实常数空间中的一组向量，如果存在实常数和和，且，且，则对任意信号，则对任意信号，若使得，若使得 ,ZnnBA,构成空间构成空间H中的一个框架。其中，中的一个框架。其中，称为框架界。称为框架界。1)框架的定义框架的定义25则如果,)(Xts)()(),()(tttstskkk)()(),(tttskkk2)用框架的进行信号分解用框架的进行信号分解物义：物义：框架也是函数序列，其特点是框架框架也是函数序列，其特点是框架 中各分量之中各分量之间不

18、一定正交，可以是线性独立的，也可以是线性相间不一定正交，可以是线性独立的，也可以是线性相关，按该函数序列对信号可以展开，关，按该函数序列对信号可以展开，Parseval 公式不公式不一定成立，展开前后信号的能量仅仅存在近似关系。一定成立，展开前后信号的能量仅仅存在近似关系。框架的用途框架的用途：框架是用于研究信号的框架是用于研究信号的分解和重构分解和重构的重的重要理论，只要保证了框架界为有限值，则用这一组框要理论，只要保证了框架界为有限值，则用这一组框架对信号进行分解是架对信号进行分解是完备的完备的，并且由分解系数对信号，并且由分解系数对信号进行重构也是进行重构也是稳定的稳定的。但分解系数可能

19、。但分解系数可能存在冗余存在冗余。26A=B 之框架为紧框架。之框架为紧框架。3) 紧框架紧框架222|,|sssnnBA在在中中当当 A=B=1 时，框架成为正交基。时，框架成为正交基。27框架界框架界A，B的物理意义的物理意义：,ZnnBA0构成空间构成空间H中的一个框架。则有，中的一个框架。则有，1),Znn构成一个紧框架时有构成一个紧框架时有A=B，如果，如果 ,Znn各分量之间是线性相关的，则各分量之间是线性相关的，则A1,因此因此A 可以作为可以作为冗余的测度，冗余的测度，A越大，冗余越大。越大，冗余越大。 2),Znn各分量之间是线性独立的，则有各分量之间是线性独立的，则有 BA

20、13)在非紧框架的情况下，有在非紧框架的情况下，有B/A1,其值越大，重构误差其值越大，重构误差也越大，与其对偶框架的相差也越大。也越大，与其对偶框架的相差也越大。4)284)信号在框架下重建信号在框架下重建i）紧框架）紧框架 A=B=1 正交基正交基jjjtsts),()(jjjtsA),(1A=B 紧框架紧框架jjjtsts),()(jjA1where29 框架框架jZjjtsBAtsBA),(2)( jjtsts),()(BAjjBA2说明说明: (1)函数在框架中展开不存在函数在框架中展开不存在Parseval 定理，信定理，信号能量与展开式能量只有近似相等关系。号能量与展开式能量只有

21、近似相等关系。(2)在找不到正交基和双正交基的情况下，函数可在找不到正交基和双正交基的情况下，函数可在框架中展开，只要误差能量小，也能满足应用在框架中展开，只要误差能量小，也能满足应用的要求。的要求。305) Riesz基基222|,|sssBAnn,Znn一组向量一组向量，如果满足：，如果满足：0, 0BA(2)存在常数存在常数，使得，使得,Znn是是Hilbert空间的空间的Riesz基。基。则称则称,Znn是线性独立的；是线性独立的；(1)注意注意,ZnnRiesz基也是一个框架，但其要求比一般的框架严，即基也是一个框架，但其要求比一般的框架严，即是线性独立的。是线性独立的。,ZnnRi

22、esz基的对偶框架基的对偶框架，也是线性独立的，也是线性独立的,因此因此也构成一个也构成一个Riesz基基Riesz基和其对偶基构成双正交关系。基和其对偶基构成双正交关系。 31用一般基函数集用一般基函数集 展展开信号开信号s(t) Nii，, 2 , 1, ),()()(1batttsNiiiiNijijtttts1)(),()(),()(),(ttsiiu信号变换的一般描述信号变换的一般描述,1,2,iiN，为对偶基为对偶基32用矩阵表示用矩阵表示)(),()(),()(),()(),()(),()(),()(),()(),()(),()(),()(),()(),(212121222211

23、1211ttsttsttsttttttttttttttttttNNNNNNNN 1是否存在别的与是否存在别的与 相关的相关的基函数同样可以对函数基函数同样可以对函数s(t)展开展开)(ti？33Njtj, 2 , 1),(Nkkkiitt1,)()(ikNjjijkkitttt1,*)(),()(),(I *212222111211NNNNNNNjjjkktt1,)()(34Nkkkiitts1,*)(),(为对偶基集Njtj, 2 , 1),()(),(ttsii信号分解信号分解Nniitttsts1)()(),()(信号合成信号合成Nkkkitts1,)(),(Nkkkitts1,)(),

24、()(),(ttsi35信号可以用一组基分解；用信号可以用一组基分解；用另一组基来合成另一组基来合成 36将有限维空间表示法推广到连续的情况，将有限维空间表示法推广到连续的情况，即即UZiNiiitts1)()(),()(ttiUdtxts),()()(积分变换基核积分变换基核信号的积分表示信号的积分表示37)541 ( )(),()()(UdtttsxT)531 ( )(),()()(TtdtxtsU问题：如果问题：如果 变换对成立的条件是什么？变换对成立的条件是什么？ 积分变换对偶基核积分变换对偶基核38 TUU TdstIddtsts)(),(),(),()()()(),(),(),(t

25、dttIUU(1-54)代入代入(1-53) 同理同理(1-53)代入代入(1-55) )(),(),(),(TTdtttI39),()()(1batttsNnii, 2 , 1,)(),(ittsiiikkitt)(),(),(),()()(TtdtxtsU)(),()()(UdtttsxT)(),(),(tdtU)(),(),(Tdttt信号的离散表示和连续表示的对比信号的离散表示和连续表示的对比注意注意: 选择不同的基核和对偶基核，可对选择不同的基核和对偶基核，可对应信号不同的变换应信号不同的变换40Example: Example: 在在 空间中，基核空间中，基核),(2Ltjtjet

26、tet2*2),(),(),( 产生产生Fourier变换对变换对 41信号线性变换信号线性变换正交变换正交变换双正交变换双正交变换非正交变换非正交变换Niiitts1)()(dtttsii)()(*正交信号变换的级数展开基函正交信号变换的级数展开基函数，和信号变换的基函数相同，数，和信号变换的基函数相同，并且是一组正交基。即对偶基并且是一组正交基。即对偶基和基函数是相同的。和基函数是相同的。)()(ttjijijittji 01)(),(u信号变换的分类信号变换的分类42信号线性变换信号线性变换正交变换正交变换双正交变换双正交变换非正交变换非正交变换Niiitts1)()(dtttsii)(

27、)(*双正交信号变换的级数展开基函双正交信号变换的级数展开基函数，和信号变换的基函数不同，数，和信号变换的基函数不同，但它们都是彼此正交的正交基，但它们都是彼此正交的正交基，但自身并不正交。但自身并不正交。jijittji 01)(),(jijittji 01)(),(jijittji 01)(),(43信号线性变换信号线性变换正交变换正交变换双正交变换双正交变换非正交变换非正交变换非正交信号变换的级数展开非正交信号变换的级数展开基函数，和信号变换的基函基函数，和信号变换的基函数不同，它们都是非正交基数不同，它们都是非正交基。Niiitts1)()(dtttsii)()(*44非正交变换非正交

28、变换信号表示信号表示线性表示线性表示非线性表示非线性表示正交变换正交变换双正交变换双正交变换0)(!1tnnndttsdnc02210)()()()(nnntsctsctscctsTaylors expansion矩展开矩展开45主要内容主要内容uFourier变换的局限性变换的局限性u短时短时Fourier变换与变换与Gabor变换变换u时频分析的基本知识时频分析的基本知识46Short Time Fourier Transform短时傅里叶变换短时傅里叶变换 STFTWTSTFTFT1.历史背景历史背景2.平稳与非平稳信号平稳与非平稳信号2) 广义平稳随机信号广义平稳随机信号 信号的一阶信

29、号的一阶(均值均值)、二价统计量、二价统计量(相关函数、相关函数、 功率谱功率谱)与时刻与时刻 t 无关。无关。严格平稳随机信号严格平稳随机信号 信号的各阶统计量与时刻信号的各阶统计量与时刻 t 无关。无关。3) . 非平稳信号非平稳信号 频率随时间变化的信号统称为非平稳信号频率随时间变化的信号统称为非平稳信号 。 例：语音、音乐、地震信号等。例：语音、音乐、地震信号等。471) . FT 是信号的单域变换。是信号的单域变换。 时域时域 频域频域3 . Fourier变换变换 特点特点dtetsStj)()(deStstj)()21 ()(2) . FT 是信号的全域变换。是信号的全域变换。F

30、T反映了信号的全域反映了信号的全域 ( 时、频时、频 ) 特征。特征。FT不能反映信号的局域不能反映信号的局域 ( 时、频时、频 ) 特征。特征。484 . Fourier变换的局限性变换的局限性缺乏时间和频率的定位功能缺乏时间和频率的定位功能 例如例如：压控振荡器是一个：压控振荡器是一个电压频率变换装置。输电压频率变换装置。输入电压为周期性锯齿波。入电压为周期性锯齿波。 02004006008001000120014001600180020000102030405060708090信号的频谱信号的频谱 050100150200250300350400010203040506070频谱的放大频

31、谱的放大 TimeFrequency00.20.40.60.811.21.41.61.801002003004005006007008009001000输出信号的短时输出信号的短时Fourier变换变换 频率频率时间时间对于时变信号结论：结论：通过适当选择窗函数，可以获得相应通过适当选择窗函数，可以获得相应的时频分析图，可以获得相应的信号的局部的时频分析图，可以获得相应的信号的局部特性。特性。51对于非平稳信号的局限性对于非平稳信号的局限性 压控振荡器输出信压控振荡器输出信号的时频分布的三号的时频分布的三维表示维表示 信号的信号的瞬时频瞬时频率率，表示的是信，表示的是信号的谱峰在时间号的谱峰在

32、时间频率平面上的频率平面上的位置及其随时间位置及其随时间的变化情况，瞬的变化情况，瞬时频率曲线也是时频率曲线也是信号能量的主要信号能量的主要集中之处。集中之处。Fourier变换后信号变换后信号频谱频谱中的频率中的频率反映的是整体信反映的是整体信号中包含的某一频率分量号中包含的某一频率分量的平均值。的平均值。 52在时间和频率分辨上的局限性在时间和频率分辨上的局限性 频率分辨率频率分辨率是通过一个频域窗函数来观察频是通过一个频域窗函数来观察频谱时，所能看到的频率宽度。谱时，所能看到的频率宽度。时间分辨率时间分辨率是通过一个时域窗函数来观察是通过一个时域窗函数来观察时间信号时，所能看到的时间宽度

33、。时间信号时，所能看到的时间宽度。 结论：结论：Fourier变换仅仅适用于平稳信号分变换仅仅适用于平稳信号分析，对非平稳信号的本质把握不好析，对非平稳信号的本质把握不好53矛盾矛盾：时频不确定性原理指出，时间分辨率和频率：时频不确定性原理指出，时间分辨率和频率分辨率不可能同时达到最好。分辨率不可能同时达到最好。 解决矛盾的方法解决矛盾的方法：根据是快变信号还是慢变信号，：根据是快变信号还是慢变信号，来选择不同的时间分辨率和频率分辨率。来选择不同的时间分辨率和频率分辨率。工程应用的工程应用的目标目标：同时得到好的时间分辨率和好的：同时得到好的时间分辨率和好的频率分辨率频率分辨率 Fourier

34、变化无法解决这样的问题。变化无法解决这样的问题。 545 .克服克服 Fourier变换的局限性的方法变换的局限性的方法短时短时Fourier变换变换 信号的子带分解信号的子带分解 小波变换和多分辨分析小波变换和多分辨分析时频联合分析时频联合分析 作业作业4-24-2 请分析说明请分析说明Fourier变换的特点和局限性，变换的特点和局限性，可有哪些举措来克服这些局限性？可有哪些举措来克服这些局限性？55主要内容主要内容uFourier变换的局限性变换的局限性u短时短时Fourier变换与变换与Gabor变换变换u时频分析的基本知识时频分析的基本知识561.定义定义短时短时Fourier变换，

35、又名变换，又名加窗的加窗的Fourier变换变换*( ,)( )()j tss ttedt F( ), ()j ts tte( ) t其中，时限函数称为分析窗*( )()j ts ttedt*( ,)( )()j tss ttedt F短时短时Fourier变换的阐释变换的阐释*( )()j ts ttedt*( )()j ts ttedt( ), ()j ts tte( ),j ts t eFourier变换变换571.定义定义(续续)tjett)(),(短时短时Fourier变换的核函数为变换的核函数为其中其中是位移参数是位移参数, 其其Fourier变换为变换为dteetvjvttj)(

36、)(,) ()()(dtetetvjvj)()(vjevwhere)()(t58( ) t窗函数：高斯窗、汉明窗、矩形窗窗函数：高斯窗、汉明窗、矩形窗对窗函数要求：时、频域都有良好的局域性，即能量对窗函数要求：时、频域都有良好的局域性，即能量在时、频域高度集中在时、频域高度集中(紧支撑特性紧支撑特性)。 该变换是一维该变换是一维 t 时域向二维时域向二维 、域空间的积分变换。域空间的积分变换。tjsetts)(),(),(F)(),(21,vvSdvevvSvj)(*)()(21dvevvSejvj)()(2*59窗口窗口 窗函数中心窗函数中心 ：窗函数能量的重心。：窗函数能量的重心。 窗口宽

37、度：窗函数能量相对于中心的标准差。窗口宽度：窗函数能量相对于中心的标准差。 窗口面积窗口面积t-0.8-0.4-0.200.20.40.60.8信号幅度信号幅度-0.6)(ts)(t)()(tts解释解释160t-0.8-0.4-0.200.20.40.60.8信号幅信号幅度度-0.6)(ts)(t)()(tts-4-20246810121416-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811()jtte-4-2024681012141600.10.20.30.40.50.60.70.80.91()t-4-20246810121416-1-0.8-0.6-0.4-0.200.

38、20.40.60.812()jtte解释解释261(a)f(b)t短时短时Fourier变换的基函数和时频网格变换的基函数和时频网格 tjet)( tjsetts)(),(),(F622 短时短时Fourier变换的逆变换变换的逆变换*( ,)( )()j tss ttedt F两边作两边作Fourier逆变换逆变换 dtdettsdetjjs)()()(21),(21Fdtttts)()()()()( sdettstjs),()0(21)(F631( )( ,) ()2j tss tg ted d F重构函数必须满足条件重构函数必须满足条件*( ) ( )1t g t dt*()() () ()tttg ttt d 特点：特点： (1)对连续对连续 STFT 连续变化窗口大小不变。连续变化窗口大小不变。 (2) 服从海森堡测不准原理服从海森堡测不准原理 需用三维空间表示。需用三维空间表示。, tct),(sF还可以用下式