运筹学课件8.3

1、第三节 单通道服务系统M/M/1系统系统M/M/1/N系统系统M/M/1/m/m系统系统补充单通道服务系统M/M/1表示服务机构中只有一个服务员，因此对系统中n0的任何状态服务速率=常数。一、M/M/1系统系统状态分布nn,) 1(nnnC对于C=1的系统:所以其中系统的分布所以其中0ppnn1111111010nnnnp, 2 , 1 , 0,)1 (npnn结果系统的其它指标：平均队长111)1 ()()1 ()()1 ()1 (0010ddddddnnpLnnnnnnnns系统的其它指标：平均排队长)(1)1 () 1(220111ssnnnnnnqLpLpnppnL系统的其它指标：平均

2、逗留时间tetTP)()(1)(TEWs11)()()(sqqqsqsWWWVETETEWVTT逗留时间分布为所以平均逗留时间又因为所以平均排队时间：讨论与Little公式1. 关于 ：叫做服务强度，反映了服务员忙期所占的比例，同时实际上也是平均服务台数。2.指标参数之间的关系Little公式qqssqsqsWLWLWWLL,(1(平均服务时间）平均服务台数）M/M/1系统举例：例8-1有一火车售票处，设有一个售票窗口，顾客到达为泊松流，平均到达率为0.3人/分。服务时间服从负指数分布，平均服务率为0.4人/分，试求服务系统的各项指标和顾客逗留15分钟以上的概率。解：已知条件1)服务强度和空闲

3、率4 . 0, 3 . 025. 01,75. 0/0P例8-1继续求解2）系统状态的概率3）平均队长和平均排队长, 3 , 2 , 175. 025. 0)1 (0nPPnnnn)(25. 2375. 0)(33 . 04 . 03 . 0人人sqsLLL例8-1继续求解顾客的逗留时间和排队时间顾客在系统中逗留15分钟以上的概率)5 . 74 . 0/110/1()(5 . 73 . 025. 2)(103 . 03sqqssWLWLW分钟分钟22. 0)15(5 . 1)(15eetP例2 飞机起飞队列某机场有一用于起飞的跑道，平均每架飞机占用跑道时间为1.0分钟，平均每1.5分钟有一架飞

4、机要求起飞，求排队等待起飞的平均飞机数和平均每架飞机的等待时间。解：因为跑道利用率等待起飞队列长时架时，架/60/40%7 .663/260/40/架33. 13/44060403/2qL平均每架飞机等待起飞时间如果按空管规则规定起飞时，最小时间间隔为1.2分钟，跑道的起飞容量为（分钟）260/403/4qqLW60/1.2=50架/小时二、M/M/1/N系统稳态时的状态分布NnNnNnnn, 2, 1, 01, 2, 1 , 0,NnppNnNnCnnnnn, 2 , 1, 0, 2 , 1,0M/M/1/N的状态分布1,111,1111111111101211100NpNppNNNNnnN

5、nnNnn时，上式当所以，因为M/M/1/N系统的空间指标1.平均队长1,211,1)1(111NNLNNs1,)1(2)1(1,1)1 (11NNNNLNNq2.平均 排队长111112001011001)1(1)1)(1(1)1)(1 ()1)(1(1)1 (1)1 (NNNNNNNNNnnNnnNnnsNNNpddpddpnpnpL2111000NnNpnnpLNnNnnNnns当 =1时：当 时：11,) 1(2) 1(1,1)1 (1)1 () 1(10111NNNNpLpnppnLNNsNnnNnnNnnqM/M/1/N系统的有效到达率和时间指标1.有效到达率2.平均时间指标001

6、)1 ()1 (pCppeNe1,)1 (seqqNsessWLWpLLW顾客损失率：pN指标公式的进一步讨论)1 (0pLCLLssq2)与前面的结果一致)1 ()111 (1)1 ()1 ()1 (11)1 (01111ppNNNNNNNNe1)证明有效到达率公式M/M/1/N系统举例：例8-2某理发店有一个理发师，有六张椅子接待人们排队等待理发。椅子坐满时，后到的旅客就离开。顾客到达为泊松流，平均到达率为3人/小时。理发平均需要15分钟，服从负指数分布。试求该理发服务系统的运行指标。解：这是一个M/M/1/7排队系统，且7,75. 0, 4, 3N例8-2的求解1）旅客到达就理发的概率、

7、顾客损失率和有效到达率89. 2)037. 01 (3)1 (037. 02778. 075. 02778. 075. 0175. 011177077880ppppe例8-2继续求解2）平均队长、平均排队长、平均时间分钟小时分钟小时台台9.28)(481.03)(73.089.211.2)(39.17222.011.2)1()(11.21)17(101717eqqesssqsLWLWpLLL损失制系统M/M/1/1当系统的容量N=1时，有0,1)1(0,11,1101110qesseqsWLWppLpLpp该系统中只要有人在接受服务，顾客到达即离开。这是一种完全损失制，例

8、如打电话，有人占线，就只能重打。三、M/M/1/m/m系统典型的情况是工厂内的机器待修问题，因此俗称“机修模型”。状态转移图为系统参数平均到达率，设每台机器的平均故障率为 ，则Cnmnmnnmn0)(mnmnnmmCnnnnnn0)!(!11021状态分布概率求P0和Pn11110)!(!11mnnmnnnmmCPmnPnmmnmmPCPnmnnnnn, 0)!(!1)!(!110有效到达率和平均队长有效到达率因此smnnmnnmnnmnnneLmnPPmPnmP0000)()1 ()()(0PLLmLLLLmqsqeqsse平均队长和平均排队长由上式得顾客平均等待时间)1 ()1 ()1 (000PmPLLPmLsqs11)1 (0sqessWWPmLW)1 (0Pe因此M/M/1/m/m系统举例：例8-3一个工人看管3台机床，每台机床每运转1小时平均出两次故障，该工人排除故障每次平均需10分钟。试求工人忙期概率，每小时平均修理机床数，出故障机床的平均数和机床因故障而损失的能力。解：已知(1)工人闲期概率3/1, 6, 2, 3m工人忙期概率和每小时修理机床数工人闲期和忙期概率工人每小时修理机床数346. 0312332333131)!3(! 313211300nnnP564. 010PP忙)(924. 3