一元二次方程的应用1（数字与面积）

1、列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题列方程解应用题步骤列方程解应用题步骤: :一审一审; ;二设二设; ;三列三列; ;四解四解; ;五验五验; ;六六答答. .安阳乡中心学校 代登洲列方程解应用题的一般步骤：列方程解应用题的一般步骤：（1）仔细分析题意，适当地假设某个未知）仔细分析题意，适当地假设某个未知量为未知数；量为未知数；（2）根据题目中的等量关系列出方程；）根据题目中的等量关系列出方程；（3）解方程，得到方程的解；）解方程，得到方程的解；（4）检验方程的解是否符合实际，得到原）检验方程的解是否符合实际，得到原问题的解；问题的解；（5）答题）答题.一、数的问题一、数的问题 一个

2、直角三角形三边的长为三个一个直角三角形三边的长为三个连续偶数连续偶数,求这个三角形的三边长求这个三角形的三边长.根据题意得的一个为设这三个连续偶数中间解,:x).,(0, 821舍去不合题意xx.10, 8 , 6:为三角形的三条边长分别答.22222xxx得解这个方程 ,.082xx即BAC.102, 62xx 快乐学习快乐学习n. 一直角三角形的斜边长一直角三角形的斜边长7cm,一条直角边比另一一条直角边比另一条直角边长条直角边长1cm,求两条直角边长度求两条直角边长度. 得根据题意设一条直角边为解,:xcm.7) 1(222 xx:整理得).,(2971;297121舍去不合题意xx.

3、0242 xx.2971:x解得.29712971:cmcm和两条直角边分别为答.2971129711x数字与方程n1. 两个数的差等于4,积等于45,求这两个数. 快乐学习快乐学习得根据题意设其中一个数为解,:x.454 xx.04542xx整理得.9,521xx解得. 5494, 9454xx或. 5, 99 , 5:或这两个数为答数字与方程3. 3. 一个两位数一个两位数, ,它的十位数字比个位数字小它的十位数字比个位数字小3,3,而它的个而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数位数字的平方恰好等于这个两位数. .求这个两位数求这个两位数. . 快乐学习快乐学习得根据题意为设这两位数的个位

4、数字解,:x.3102xxx.030112xx整理得.6,521xx解得. 3363, 2353xx或.36,25:或这个两位数为答数字与方程4.有一个两位数有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数另一个两位数,两个两位数的积为两个两位数的积为763.求原来的求原来的两位数两位数. 快乐学习快乐学习得根据题意字为设这个两位数的个位数解,:x.736510510 xxxx.0652xx整理得.3,221xx解得. 2355, 3255xx或.2332:或这两个数为答5

5、 5、一次会议上，每两个参加会议的人都相、一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了互握了一次手，有人统计一共握了6666次手。次手。这次会议到会的人数是多少？这次会议到会的人数是多少？ 6 6、一个小组的同学在圣诞前夕互送贺卡一、一个小组的同学在圣诞前夕互送贺卡一 张，已知全组同学送出的贺卡共张，已知全组同学送出的贺卡共4242张。这张。这个小组的人数是多少？个小组的人数是多少？ 这这两两题题的的区区别别在在哪哪里？里？在一幅长在一幅长90cm,90cm,宽宽40cm40cm的风景画四周外围镶上一的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图。如果要条宽度相同

6、的金色纸边，制成一幅挂图。如果要求风景画的面积是整个挂图面积的求风景画的面积是整个挂图面积的72%72%。那么金。那么金边的宽应是多少？边的宽应是多少？解：设金边的宽为解：设金边的宽为 x cm，根据题意得，根据题意得 即即x2+65x-350 0.解这个方程解这个方程,得得x1 5;x2 -70(不合题意不合题意,舍去舍去).答答:金边的宽应是金边的宽应是5cm.4090%72240290 xx二、面积问题二、面积问题例例2 2：某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长32米米,宽宽20米的长方形场地上修筑若干条道路米的长方形场地上修筑若干条道路,余余下部分作草坪下部分作草

7、坪,并请全校同学参与设计并请全校同学参与设计,现在现在有两位学生各设计了一种方案有两位学生各设计了一种方案(如图如图),根据两根据两种设计方案各列出方程种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分求图中道路的宽分别是多少别是多少?使图使图(1),(2)的草坪的草坪面积面积为为540540米米2 2. .(1)(2)(1)解解:(1):(1)如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x米，则米，则540)220)(232(xx化简得，化简得，025262xx0) 1)(25(xx1,2521xx其中的其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.图图(1)中中道路的宽为道路的宽为1米米.

8、则横向的路面面积为则横向的路面面积为 ，分析：此题的相等关系分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面是矩形面积减去道路面积等于积等于540540米米2 2。解法一、解法一、 如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米，32x 32x 米米2 2纵向的路面面积为纵向的路面面积为 。20 x 20 x 米米2 2注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是 x x2 2 米米2 2所列的方程是不是所列的方程是不是32 20(3220 )540 xx？图中的道路面积不是图中的道路面积不是3220 xx米米2 2。(2)而是从其中减去重叠部分，即应是而是从其中减去重叠部分，即应是23

9、220 xxx米米2所以正确的方程是：所以正确的方程是：232 203220540 xxx化简得，化简得，2521000,xx其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去. .取取x=2x=2时，道路总面积为：时，道路总面积为：232 2 20 2 2 =100 (米米2)草坪面积草坪面积= =32 20 100= 540（米（米2）答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2 2米。米。122,50 xx解法二：解法二： 我们利用我们利用“图形经过移动，图形经过移动，它的面积大小不会改变它的面积大小不会改变”的道理，的道理，把纵、横两条路移动一下，使列把

10、纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）的位置修路）(2)(2)如图，设路宽为如图，设路宽为x x米，米，草坪矩形的长（横向）为草坪矩形的长（横向）为 ，草坪矩形的宽（纵向）草坪矩形的宽（纵向） 。相等关系是：草坪长相等关系是：草坪长草坪宽草坪宽=540=540米米2 2(20-x)(20-x)米米（32-x)32-x)米米即即3220540.xx化简得：化简得：212521000,50,2xxxx再往下的计算、格式书写与解法再往下的计算、格式书写与解法1 1相同。相同。如图如图, ,

11、在一块长在一块长35m,35m,宽宽26m26m矩形地面上矩形地面上, ,修建同样修建同样宽的两条互相垂直的道路宽的两条互相垂直的道路, ,剩余部分栽种花草剩余部分栽种花草, ,在在使剩余部分的面积为使剩余部分的面积为850m850m2 2, ,道路的宽应是多少？道路的宽应是多少？解：设道路的宽为解：设道路的宽为 x x m m，根据题意得，根据题意得 (35-x) (26-x) (35-x) (26-x) 850.850.即即x x2 2 - 61x - 61x60 60 0.0.35m26m解这个方程解这个方程, ,得得x x1 1 1;1;x x2 2 60(60(不合题意不合题意, ,

12、舍去舍去).).答答: :道路的宽应为道路的宽应为1m.1m.几何与方程n5 .将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的的小正方形小正方形,做成一个无盖的盒子做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是已知盒子的容积是400cm3,求原铁皮的边长求原铁皮的边长. 快乐学习快乐学习得根据题意为设原正方形铁皮的边长解,:xcm.100) 8( 42x:解这个方程).,(2;1821舍去不合题意xx,100)8(2x,108x,108x.18:cm原正方形铁皮的边长为答几何与方程n7 .一块长方形草地的长和宽分别为一块长方形草地的长和宽分别为20cm和和15cm,在在

13、它的四周外围环绕着宽度相等的小路它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小路的面已知小路的面积为积为246cm2,求小路的宽度求小路的宽度. 快乐学习快乐学习得根据题意设小路的宽度解,:xm.2461525215)220(xx:整理得).,(241; 321舍去不合题意xx, 01233522xx:解得.3:m小路的宽度为答201515+2x20+2x几何与方程n8. 如图如图,在一块长在一块长92m,宽宽60m的矩形耕的矩形耕地上挖三条水渠地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等水渠的宽度都相等.水水渠把耕地分成面积均为渠把耕地分成面积均为885m2的的6个矩个矩形小块形小块,水渠应挖多宽水渠应挖多宽

14、.快乐学习 3得根据题意设水渠的宽度解,:xm.885660)292(xx:整理得).,(105; 121舍去不合题意xx, 01051062xx:解得.1:m水渠的宽度为答2. 2. 某农场要建一个长方形的养鸡场某农场要建一个长方形的养鸡场, ,鸡场的一鸡场的一边靠墙边靠墙( (墙长墙长25m),25m),另外三边用木栏围成另外三边用木栏围成, ,木栏木栏长长40m.40m.(1)(1) 鸡场的面积能达到鸡场的面积能达到180m180m2 2吗吗? ?(2)(2) 鸡场的面积能达到鸡场的面积能达到200m200m2 2吗吗? ?(3)(3) 鸡场的面积能达到鸡场的面积能达到180m180m2

15、 2吗吗? ?如果能如果能,请给出设计方案请给出设计方案;如果不能如果不能,请说明理由请说明理由.25m180m2解解:(1)设养鸡场的长为设养鸡场的长为xm,根据题意得根据题意得.180240 xx. 0360402xx即.10220;1022021xx25m180m2得解这个方程 ,.,2525204020102201舍去不合题意x.10220,180:2mm这时鸡场的长为鸡场的面积能达到答2. 2. 某农场要建一个长方形的养鸡场某农场要建一个长方形的养鸡场, ,鸡场的一鸡场的一边靠墙边靠墙( (墙长墙长25m),25m),另外三边用木栏围成另外三边用木栏围成, ,木栏木栏长长40m.40

16、m.解解:(1)设养鸡场的宽为设养鸡场的宽为xm,根据题意得根据题意得.180240 xx. 090202xx即.1010;101021xxx25m40-2x180m2得解这个方程 ,.,2510220240,10102舍去不合题意长时当xx.1010,180:2mm这时鸡场的宽为鸡场的面积能达到答2. 2. 某农场要建一个长方形的养鸡场某农场要建一个长方形的养鸡场, ,鸡场的一鸡场的一边靠墙边靠墙( (墙长墙长25m),25m),另外三边用木栏围成另外三边用木栏围成, ,木栏木栏长长40m.40m.解解:(2)设养鸡场的宽为设养鸡场的宽为xm,根据题意得根据题意得.200240 xx. 01

17、00202xx即.1021 xxx25m40-2x180m2得解这个方程 ,.10,200:2mm这时鸡场的宽为鸡场的面积能达到答.,10,:这是鸡场最大的面积时当宽为以知道学了二次函数后我们可老师提示m2. 2. 某农场要建一个长方形的养鸡场某农场要建一个长方形的养鸡场, ,鸡场的一鸡场的一边靠墙边靠墙( (墙长墙长25m),25m),另外三边用木栏围成另外三边用木栏围成, ,木栏木栏长长40m.40m.解解:(3)设养鸡场的长为设养鸡场的长为xm,根据题意得根据题意得.250240 xx. 0500402xx即.这个方程无解240 x25mx180m2知解这个方程 ,.250:2m鸡场的面

18、积不能达到答2. 2. 某农场要建一个长方形的养鸡场某农场要建一个长方形的养鸡场, ,鸡场的一鸡场的一边靠墙边靠墙( (墙长墙长25m),25m),另外三边用木栏围成另外三边用木栏围成, ,木栏木栏长长40m.40m.,10020:2负数是没有平方根的特别要注意时当方程配方为老师提示x1.如图，用长为如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为要围成苗圃的面积为81m2,应该应该怎么设计怎么设计?解解:设苗圃的一边长为设苗圃的一边长为xm,则则81)18( xx化简得，化简得，081182xx0)9(2 x答答:应围

19、成一个边长为应围成一个边长为9米的正方形米的正方形.921xx1.如图，宽为如图，宽为50cm的矩形图案由的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为则每个小长方形的面积为【 】A400cm2 B500cm2 C600cm2 D4000cm22. 在一幅长在一幅长80cm，宽，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为，设金色纸边的宽为xcm，那么，那么x满足的方程是满足的方程是【 】A

20、x2+130 x-1400=0 Bx2+65x-350=0Cx2-130 x-1400=0 Dx2-65x-350=03.如图，面积为如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积为的正方形的四个角是面积为2m2的小的小正方形，用计算器求得正方形，用计算器求得a的长为（保留的长为（保留3个有效数字）个有效数字）【 】A2.70m B2.66m C2.65m D2.60m80cmxxxx50cmaABC课堂小结课堂小结 今今天，我们主要通过分析几个例题，看到列一元天，我们主要通过分析几个例题，看到列一元二次方程解应用题的一般步骤及注意事项。首先，要二次方程解应用题的一般步骤及注意事项。首先，要适当地

21、假设未知数，这一步非常关键，往往影响后面适当地假设未知数，这一步非常关键，往往影响后面解方程的计算量；再仔细分析题意，列出方程，解方解方程的计算量；再仔细分析题意，列出方程，解方程，得到方程的解；这时一定要注意检验方程的解是程，得到方程的解；这时一定要注意检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的解要舍去；最后否符合实际意义，不符合实际意义的解要舍去；最后答题。对于带有单位的应用题，如面积问题，在假设、答题。对于带有单位的应用题，如面积问题，在假设、答题中要带着单位，中间过程不需要单位。答题中要带着单位，中间过程不需要单位。回味无穷小结 拓展n列方程解应用题的一般步骤是列方程解应用题的一般

22、步骤是: :n1.1.审审: :审清题意审清题意: :已知什么已知什么, ,求什么求什么? ?已已, ,未知之间有什么未知之间有什么关系关系? ?n2.2.设设: :设未知数设未知数, ,语句要完整语句要完整, ,有单位有单位( (同一同一) )的要注明单的要注明单位位; ;n3.3.列列: :列代数式列代数式, ,列方程列方程; ;n4.4.解解: :解所列的方程解所列的方程; ;n5.5.验验: :是否是所列方程的根是否是所列方程的根; ;是否符合题意是否符合题意; ;n6.6.答答: :答案也必需是完事的语句答案也必需是完事的语句, ,注明单位且要贴近生注明单位且要贴近生活活. .1.如

23、图是宽为如图是宽为20米米,长为长为32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑要修筑同样宽的三条道路同样宽的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂且互相垂直直),把耕地分成六块大小相等的试验地把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验要使试验地的面积为地的面积为570平方米平方米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?解解: :设道路宽为设道路宽为x x米，米，则则570)220)(232(xx化简得，化简得，035362xx0) 1)(35(xx1,3521xx其中的其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为1米米.2.如图如图,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外四周外围环绕着宽度相等的小路围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为已知小路的面积为246m2,求小路的宽度求小路的宽度.ABCD解解: :设小路宽为设小路宽为x x米，米，则则2015246)215)(220(xx化简得，化简得，01233522xx0)412)(3(xx241,(321xx舍去）答答:小路的宽为小路的宽为3米米. 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27,宽宽21,