直线与抛物线的位置关系60

1、课时跟踪检测(六十)直线与抛物线的位置关系 高考基础题型得分练1若过抛物线y2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2()A2 B C4 D答案：D解析：由y2x2，得x2y.其焦点坐标为F，取直线y，则其与y2x2交于A，B，x1x2·.2已知A，B为抛物线C：y24x上的两个不同的点，F为抛物线C的焦点，若4，则直线AB的斜率为()A± B± C± D±答案：D解析：由题意知焦点F(1,0)，直线AB的斜率必存在，且不为0，故可设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，代入y24x中化简，得ky24y4k0.

2、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y24，又由4，可得y14y2.联立，解得k±.3已知抛物线y22px(p>0)的焦点F与双曲线1的一个焦点重合，直线yx4与抛物线交于A，B两点，则|AB|()A28 B32 C20 D40答案：B解析：双曲线1的焦点坐标为(±4,0)，故抛物线的焦点F的坐标为(4,0)，因此p8，故抛物线方程为y216x，易知直线yx4过抛物线的焦点设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)由可得x224x160，故x1x224.故|AB|x1x2p24832.4已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y2x1交于

3、P，Q两点，若|PQ|，则抛物线的方程为()Ay24x By212xCy24x或y212x D以上都不对答案：C解析：由题意设抛物线的方程为y22px，联立方程得消去y，得4x2(2p4)x10，则(2p4)2164p216p>0，p<0或p>4.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|PQ|x1x2|··，所以，p24p120，解得p2或6，所以抛物线的方程为y24x或y212x.52018·河北衡水中学调研过抛物线x24y的焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，则()A2 B4 C. D.答案：D解析：根据题意，抛物线的焦点

4、为(0,1)，设直线AB的方程为ykx1(k0)，直线CD的方程为yx1，由得y2(24k2)y10，由根与系数的关系，得yAyB24k2，所以|AB|yAyB244k2，同理|CD|yCyD24，所以，故选D.6已知抛物线y22px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1 Cx2 Dx2答案：B解析：F，AB：yx，由得y22pyp20，yAyB2p4，p2，准线x1.72018·杭州二中质检已知抛物线y22px(p>0)与直线axy40相交于A，B两点，其中点A的坐标是(1,2)，

5、如果抛物线的焦点为F，那么|FA|FB|()A5 B6 C3 D7答案：D解析：把点A的坐标(1,2)分别代入抛物线y22px与直线方程axy40，得p2，a2，由消去y，得x25x40，则xAxB5.由抛物线定义，得|FA|FB|xAxBp7，故选D.8已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A4 B3 C4 D8答案：C解析：由抛物线的定义，知|AF|AK|，又KAF等于直线AF的倾斜角，KAF60°，AFK是正三角形联立方程组消去y，得3x210x30，解得x3或x.由题意得A(3,2

6、)，则AKF的边长为4，面积为×424.92018·东北三校联考设抛物线y24x的焦点为F，过点M(1,0)的直线在第一象限交抛物线于A，B，且满足·0，则直线AB的斜率k()A. B. C. D.答案：B解析：依题意，设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，代入抛物线方程y24x并整理，得k2x2(2k24)xk20.因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以(2k24)24k4>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又因为·0，所以(x11)(x21)y1y20，(x11)(x21)k2(x11)(x21)0，(1k2)x1x2(k21)(x

7、1x2)k210，把代入并整理，得k2.又k>0，所以k，故选B.10已知抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线相交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|PB|，求FAB的面积解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，(8)22p×8，2p8，抛物线方程为y28x.(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l2与x轴的交点为M.由得y28y8m0，6432m>0，m>2.

8、y1y28，y1y28m，x1x2m2.由题意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍去)，直线l2：xy8，M(8,0)故SFABSFMBSFMA·|FM|·|y1y2|324.冲刺名校能力提升练12018·辽宁沈阳监测抛物线y4ax2(a0)的焦点坐标是()A(0，a) B(a,0)C. D.答案：C解析：将y4ax2(a0)化为标准方程得x2y(a0)，所以焦点坐标为，故选C.22018·皖北协作区联考已知抛物线C：x22py(p>0)，若直线y2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为()Ax28y Bx24yCx22y

9、 Dx2y答案：C解析：由得或即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p)，则4，得p1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x22y.32017·江西赣州二模抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1，O为坐标原点，则p的值为()A1 B2 C3 D4答案：B解析：不妨设A(x0，y0)在第一象限，由题意可知即A，又点A在抛物线y22px上，2p×，即p416，又p>0，p2，故选B.42018·豫南九校联考已知点P是抛物线x24y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8

10、,7)，则|PA|PQ|的最小值为()A7 B8 C9 D10答案：C解析：抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y1，根据抛物线的定义知，|PF|PM|PQ|1.|PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF|1|AF|111019.当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|PQ|的最小值为9.故选C.5.2016·全国新课标卷在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由解：(1)由已知得M(0，t)，P.又N

11、为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为yx，代入y22px，整理得px22t2x0，解得x10，x2.因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点62018·江西联考已知点F是抛物线C：x22py(p>0)的焦点，点P(3，y0)(y0>1)是抛物线C上一点，且|PF|，Q的方程为x2(y3)26，过点F作直线l，与抛物线C和Q依次交于点M，A，B，N(如图所示)(1)求抛物线C的方程；(2)求(|MB|NA|)·|AB|的最小值解：(1)由P(3，y0)在抛物线C上，得2py09.又|PF|，得y0.上述两个等式联立，解得或又y0>1，所以抛物线C的方程为x24y.(2)由题意，知直线l的斜率一定存在设直线l的方程为ykx1，则圆心Q(0,3)到直线l的距离为d，|AB|22.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得y2(24k2)y10，则y1y24k22.由抛物线定义