量子力学_3.1力学量用算符表达

1、第第 3 章章力学量用算符表达力学量用算符表达量子力学中的算符量子力学中的算符, 表示对波函数表示对波函数(量子态量子态)的一的一种运算种运算.例如例如 2d,( ),dVx r 讨论讨论量子力学中算符的一般性质量子力学中算符的一般性质:(a)线性算符线性算符11221122A ccc Ac A称为线性算符，称为线性算符，凡满足下列规则的算符凡满足下列规则的算符,A3.1 算符的运算规则算符的运算规则量子力学中的算符并不都是线性算符量子力学中的算符并不都是线性算符(例如复例如复共轭共轭),但但刻画可观测量的算符都是线性算符刻画可观测量的算符都是线性算符.,I,AB 为单位算符为单位算符I与与

2、两个算符相等两个算符相等 AB其中其中, 是任一波函数是任一波函数.注注意意21其中其中 和和 是是任意任意两个波函数，两个波函数， 与与 是是两个任意常数（一般为复数）两个任意常数（一般为复数）.例如例如 就是线性算符就是线性算符. i p 1c2c(b) 算符之和算符之和对于任意波函数对于任意波函数 , 有有 显然显然, 算符的求和满足交换律和结合律算符的求和满足交换律和结合律: CC所以所以, 两个线性算符之和仍为线性算符两个线性算符之和仍为线性算符.(c) 算符之积算符之积算符算符 与与 之积之积,记为记为 ,定义为定义为 任意任意. 一般说来一般说来,算符之积不满足交换律算符之积不满

3、足交换律,即即这是算符与通常数的运算规则的唯一不同之处这是算符与通常数的运算规则的唯一不同之处!由下列关系式由下列关系式:i ,xxxpp x i ,yyypp y i ,zzzpp z 0,yyxpp x0zzxpp x 概括概括量子力学中最基本的对易关系量子力学中最基本的对易关系:i x pp x , , ,1,2,3x y z 或对易式对易式(commutator) , , ,CC 不难证明不难证明, 对易式满足下列代数恒等式对易式满足下列代数恒等式:,CCC ,CCC ,0(JacobiCCC 恒等式）定义定义:则量子力学中最基本的对易关系可以化成则量子力学中最基本的对易关系可以化成:

4、,i xp lrp,ixzylypzpyzzy 角动量对易式角动量对易式角动量算符角动量算符: 各分量表为各分量表为 iyxzlzpxpzxxz izyxlxpypxyyx 推出推出由代数恒等式由代数恒等式, 不难证明不难证明,0,xlx,i,xlyz,i,xlzy ,i,ylzx,i,ylxz ,0,yly,i,zlyx ,i,zl xy,0.zl z,ilxxLevi-Civita符号符号 是一个三阶反对称张量，定义如下：是一个三阶反对称张量，定义如下： 1231,1,2,3, ,x y z 或即即角动量各分量的对易式角动量各分量的对易式为为:,i,lpp ,illl ,0,xxl l ,

5、0,yyl l ,0,zzl l ,i,xyzl ll ,i,yzxl ll ,izxyl ll可以写成可以写成 ,il ll还可以证明还可以证明:2222xyzllll2,0,ll, ,x y z在在球坐标系中球坐标系中 , 各分量可各分量可表示成表示成lisincotcosxlicoscotsinylizl 2222211sinsinsin l则容易证明则容易证明:定义定义:能够能够唯一唯一地解出地解出 ,则可以定义算符则可以定义算符 之逆之逆 为为11 并非所有的算符都有逆算符并非所有的算符都有逆算符, 例如投影算符就不存在逆例如投影算符就不存在逆.若算符若算符 之逆存在之逆存在,则则1

6、1 , I 1 ,0 111 BB(d) 逆算符逆算符,设设B设设 与与 之逆均存在之逆均存在,则则(e) 算符的函数算符的函数设给定一函数设给定一函数 , 其各阶导数均存在其各阶导数均存在, 幂级数展开收敛幂级数展开收敛 F x 00!nnnFF xxn则可定义算符则可定义算符 的函数的函数 为为 F 00!nnnFFn例如例如可定义可定义 e ,axF x dd0dde.d! dnnaxnnaFxnx不难看出不难看出 ddeaxxxa算符算符 的物理意义的物理意义, 是与体系沿是与体系沿 方向平移方向平移 有关的算符有关的算符.ddeaxxa两个两个(或多个或多个)算符的函数也可类似定义算

7、符的函数也可类似定义.*,d ,nmn mnmFx yF x yxy令令,00,0 ,.! !n mnmn mFFBBn m则则d是指对体系的全部空间坐标进行积分是指对体系的全部空间坐标进行积分, d是坐标空间体积元是坐标空间体积元.* 定义一个量子体系的任意两个波函数定义一个量子体系的任意两个波函数(态态) 与与 的标积的标积 ,0 *, 11221122,cccc *11221122,cccc式中式中 与与 为任意常数为任意常数.1c2c则可以证明则可以证明:*dd 算符算符 的转置算符的转置算符 定义为定义为(f) 转置算符转置算符*, 即即式中式中 与与 是任意两个波函数是任意两个波函

8、数.* 算符算符 的复共轭算符的复共轭算符 定义为定义为*注意注意算符算符 的共轭算符的表达式与表象有关的共轭算符的表达式与表象有关. 例如例如, 在坐标表象中在坐标表象中 *iipp (g) 复共轭算符与厄米共轭算符复共轭算符与厄米共轭算符通常算符通常算符 的复共轭的复共轭 ,可如下构成可如下构成, 即把即把 的表达的表达式中所有量换成其复共轭式中所有量换成其复共轭.*pp而在动量表象中而在动量表象中 , 算符算符 之厄米共轭算符之厄米共轭算符 定义为定义为*推出推出例如例如:*pppp 可以证明可以证明CC *, 由此可得由此可得满足下列关系的算符满足下列关系的算符 , 或两个厄米算符之和

9、仍为厄米算符两个厄米算符之和仍为厄米算符, 但它们的积但它们的积, 一一般不是厄米算符般不是厄米算符, 除非除非 (可对易可对易).,0 (h) 厄米算符厄米算符称为厄米算符称为厄米算符, 也称为自共轭算符也称为自共轭算符. (实实)等都是厄米算符等都是厄米算符., l V x, x,xp定理定理 体系的任何状态下体系的任何状态下, 其厄米算符的平均值必为其厄米算符的平均值必为 实数实数. *,. 逆定理逆定理 在在任何状态任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算下平均值均为实的算符必为厄米算 符符. 实验上可观测量实验上可观测量, 当然要求在任何态下平均值都是实数当然要求在任何态下平均值都是实

10、数,因此因此, 相应的算符必须是厄米算符相应的算符必须是厄米算符.关于厄米算符的重要定理关于厄米算符的重要定理:证明如下证明如下:在在 态下厄米算符态下厄米算符 的平均值为的平均值为 22,0 设设 为厄米算符为厄米算符, 则在任意态则在任意态 之下之下, 以上是关于算符的一般规律和定则以上是关于算符的一般规律和定则, 在在接下来的一节中我们将要学习一类特殊的算接下来的一节中我们将要学习一类特殊的算符符-厄米算符厄米算符, 及其本征值与本征函数及其本征值与本征函数!推论推论量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则 来描述其状态的大量完全相

11、同的来描述其状态的大量完全相同的体系体系(系综系综), 如进行多次测量如进行多次测量, 所得结果的平所得结果的平均值将趋于一个确定值而每一次测量的结均值将趋于一个确定值而每一次测量的结果则围绕平均值有一个涨落果则围绕平均值有一个涨落. 对于都用对于都用涨落定义为涨落定义为 涨落涨落3.2 厄米算符的本征值与本征函数厄米算符的本征值与本征函数 厄米算符厄米算符, 再利用再利用3.1节所学知识节所学知识, 有有AAAAA因为因为为厄米算符为厄米算符, 必为实数必为实数, 因而因而仍为仍为222*dAAAAA (1)22d0AAA(2)量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符

12、符 的的 运运 算算 规规 则则20AAA 如果体系处于一种特殊的态如果体系处于一种特殊的态, 测量测量 所得结果是所得结果是唯一确定的唯一确定的, 即涨落即涨落, 则这种状态称为力学则这种状态称为力学量量的的本征态本征态. 在本征态下在本征态下, 由式由式(2)可以看出可以看出, 被积函数必须为零被积函数必须为零, 即即必须满足必须满足0AAA常数或或量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则一般一般, 把常数记为把常数记为 ,并把本征态记为并把本征态记为 , 得到得到 称为称为 的一个的一个本征值本征值, 为相应的为相应的本征态本征态.

13、上上式即算符式即算符 的本征方程的本征方程.nAnnnnAAnAAnA注意注意求解时求解时, 作为力学量的本征态作为力学量的本征态,还要满还要满足物理上的一些要求足物理上的一些要求.n量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则 测量力学量测量力学量 时所有可能出现的值时所有可能出现的值, 都是相应的线都是相应的线性厄米算符性厄米算符 的本征值的本征值. 当体系处于当体系处于 的本征态的本征态 时时,则每次测量所得结果都是完全确定的则每次测量所得结果都是完全确定的,即即 .AAAnnA量子力学中的一个量子力学中的一个基本假定基本假定:推出推出

14、,nnnnnnAAAA 所以所以, 在在 态下态下(设设 已归一化已归一化)nn定理定理1 厄米算符的本征值必为实厄米算符的本征值必为实.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则厄米算符的厄米算符的本征函数本征函数的一个的一个基本性质基本性质:定理定理2 厄米算符的属于不同本征值的本征函数厄米算符的属于不同本征值的本征函数, 彼此彼此 正交正交.证明如下证明如下:,nnnAA,mmmAA设设并设并设 存在存在, 对对 取复共轭取复共轭, 得到得到,mn,mmmAA*.mmmAA上式右乘上式右乘 , 积分积分, 得到得到n,.mnmmnAA

15、由于由于 ,上式左边上式左边= ,因此得因此得AA,mnnmnAA,0.mnmnAA如如 ,则必有则必有mnAA,0.mn量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则简并问题简并问题在在能级简并的情况下能级简并的情况下, 仅根据能量本征值并不能把各仅根据能量本征值并不能把各能量的简并态确定下来能量的简并态确定下来.在处理力学量本征问题时在处理力学量本征问题时,特别是特别是能量能量的本征值问题的本征值问题, 常常出现本征态的常常出现本征态的简并简并, 这这与体系的与体系的对称性对称性有密切关系有密切关系.设力学量设力学量 的本征方程表为的本征方

16、程表为即属于本征值即属于本征值 的本征态有的本征态有 个个,则称本征值则称本征值 为为 重简并重简并.,nnnAA1,2,nfnAnfnfnAA量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则 出现简并时出现简并时, 简并态的选择是不唯一的简并态的选择是不唯一的, 而且也不一而且也不一定彼此正交定彼此正交, 但总可以把它们适当线性叠加但总可以把它们适当线性叠加, 使之彼此使之彼此正交正交.在线性代数中在线性代数中, 通常采用通常采用Schmidt正交化程序正交化程序来进行正来进行正交化交化.令令 因为因为所以只要选择所以只要选择 , 使使 , 即

17、可得证即可得证. 1,nfnna,1,2,nfa,nn.nnnnnnaaAaAAaA证明如下证明如下量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则 在常见问题中在常见问题中,当出现简并时当出现简并时, 往往是用往往是用(除除 之之外的外的)其他力学量的本征值来对简并态进行分类其他力学量的本征值来对简并态进行分类, 从而从而把它的简并态确定下来把它的简并态确定下来. A两个力学量是否可以有共同本征态两个力学量是否可以有共同本征态? 或者说或者说是否可以同时测定是否可以同时测定? 此时此时, 正交性问题将自动解决正交性问题将自动解决. 这就涉及两个

18、或多这就涉及两个或多个力学量的共同本征态问题个力学量的共同本征态问题.这将是下一节不确定度关系要讨论的问题这将是下一节不确定度关系要讨论的问题!量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则引入引入下面我们普遍地分析此问题下面我们普遍地分析此问题.当体系处于力学量当体系处于力学量 的本征态时的本征态时,对其测量对其测量,可得一可得一个确定值个确定值,而不会出现涨落而不会出现涨落.但在其本征态下去测量但在其本征态下去测量另一个力学量另一个力学量 时时,却不一定得到一个确定值却不一定得到一个确定值.AB分析下列积分不等式分析下列积分不等式 其中其中

19、, 为体系的为体系的任意任意一个波函数一个波函数, 为为任意实任意实参数参数. 2id0IAB 3.3.1 不确定度关系的严格证明不确定度关系的严格证明A,B设有两个任意的力学量设有两个任意的力学量 和和量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则,/iCA BC引进厄米算符引进厄米算符 222IACB222222/2/40ACABCA则则因为与为厄米算符，因为与为厄米算符， 所以所以 AB i,iIABAB 2,i,i,AAABBABB222 ,i,AA BB 222/40BCA2/2CA,则得则得C为实，不妨取为实，不妨取量子力学教程量子

20、力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则2221,4ABC或表成2211 ,22ABCA B即即 1与与 为厄米算符为厄米算符, 与与 又均为实数又均为实数, 与与 也是厄米的也是厄米的.ABABAAABBB在上式中，在上式中，让让,AA ,BB 则则(1)式仍成立式仍成立.再考虑到再考虑到 就可得出就可得出,ABA B221,2ABA B 量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则1,2ABA B 或简记为或简记为(2) 上式就是任意两个力学量上式就是任意两个力学量 与与 在任意量子在任意量子态下的

21、涨落必须满足的关系式态下的涨落必须满足的关系式,即即Heisenberg的的不确不确定定度关系度关系(uncertainty relation)的普遍表达式的普遍表达式.AB量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则能是例外能是例外), 或者说他们或者说他们不能有共同本征态不能有共同本征态.以以找出找出它们的它们的共同本征态共同本征态. 由由(2)式可以看出式可以看出, 若两个力学量若两个力学量 与与 不不AB对易对易, 则一般说来则一般说来 与与 不能同时为零不能同时为零, 即即AB 与与 不能同时测定不能同时测定. (但但 的的特殊态特

22、殊态可可BA ,0A B反之反之,若两个厄米算符若两个厄米算符 与与 对易对易, 则可以则可以AB找出这样的态找出这样的态, 使使 与与 同时满足同时满足, 即可即可0B0A量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则 坐标坐标 的共同本征态的共同本征态,即即 函数函数, ,x y zr 00 00 x y zrrr 000 xxyyzz000000,xyzxyz 实0r相应本征值为相应本征值为例如例如量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则采用球坐标采用球坐标, 角动量的平方算符表示为

23、角动量的平方算符表示为2222211sinsinsin l2221sinsinsinzl 3.3.2 的共同本征态的共同本征态,球谐函数球谐函数2,zll由于角动量的三个分量不对易由于角动量的三个分量不对易, 一般无共同本征态一般无共同本征态.分量分量(例如例如 )的共同本征态的共同本征态.zl2,0(, , )lx y z l2l,可以找出可以找出但由于但由于与任何一个与任何一个量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则 考虑到考虑到 的本征函数可以同时也取为的本征函数可以同时也取为的本征态的本征态2,0,zl l2lzl i1e,2mm

24、0, 1, 2,m 22Y,Y, l其中其中, 是是 的本征值的本征值( 无量纲无量纲), 待定待定.22l并代入本征方程并代入本征方程 Ym, 的本征函数已分离变量的本征函数已分离变量, 即令即令2l此时此时,量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则化简本征方程化简本征方程,得得221ddsin0,sinddsinm0cos (1), 令令则则222dd10dd1m22222dd120dd1m或或这就是这就是连带连带Legendre方程方程.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则

25、 在在 区域中区域中, 微分方程有两个正则奇点微分方程有两个正则奇点,其余各点均为常点其余各点均为常点.11, 时时,方程有一个多项式解方程有一个多项式解(另一解为无穷级数另一解为无穷级数), 即连带即连带Legendre 多项式多项式0,1,2,l 1 ,l l 可以证明可以证明, 只当只当 ,Pmlml1它在它在区域中是有界的区域中是有界的, 是物理上可接受的解是物理上可接受的解.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则利用正交归一性公式利用正交归一性公式 11!2d21!PPmmlllllmllm 21!1cos2!Pmmlmlll

26、mlm ,1,1,ml lll 0sin dlml mll 满足满足定义一个归一化的定义一个归一化的部分的波函数部分的波函数(实实)量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则0,1,2,l ,1,1,ml lll 2*,00dsin d Y,Y, lml mllmm i!21Y,1cose4!Pmmmlmllmllm 所以所以, 的正交归一的共同本征函数表示为的正交归一的共同本征函数表示为 2,zllYY ,zlmlmlm22Y1Y ,lmlml llYlm为球谐函数为球谐函数, 它们满足它们满足量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.

27、1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则 在上面的式子中在上面的式子中, 和和 的本征值都是量子化的的本征值都是量子化的.2lzl对于给定对于给定 , 的本征函数是不确定的的本征函数是不确定的, 因为因为 共有共有 个简并态个简并态. 就就是用是用 的本征值来确定这些简并态的本征值来确定这些简并态.,1,1,ml lll l21l Ylm2lzl 轨道角动量量子数轨道角动量量子数 磁量子数磁量子数ml量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则3.3.3 对易力学量完全集对易力学量完全集(CSCO)它们的共同本征态记为它们的共同本

28、征态记为, 设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符12 (,),A A A 表示一组完备的量子数表示一组完备的量子数. 设给定一组量子数设给定一组量子数之后之后, 就能够完全确定体系的唯一就能够完全确定体系的唯一一个可能状态一个可能状态, 则我们称则我们称12(,)A A 构成体系的一组构成体系的一组对易可对易可观测量完全集观测量完全集 (complete set of commuting Observables, 简记简记为为CSCO), 在中文教材中在中文教材中,习惯称为对易力学量完全集习惯称为对易力学量完全集, 或简或简称为力学量完全集称为力学量完全

29、集. 对易力学量完全集的概念与体系的一个对易力学量完全集的概念与体系的一个量子态的制备密切相关量子态的制备密切相关.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则 按照态叠加原理按照态叠加原理, 体系的任何一个状态体系的任何一个状态 均可用均可用 来展开来展开a利用利用的正交归一性的正交归一性, 上式中的展开系数上式中的展开系数(,)a可确切定出可确切定出.2a表示表示在在态下态下, 测量力学量测量力学量A得到得到A值的概率值的概率. 这是波函数的统计诠释的最一般的表述这是波函数的统计诠释的最一般的表述.(这里假定量子数这里假定量子数,或力学量

30、或力学量,A不连续变化不连续变化.若若连续变化连续变化, 则则,d 而相应的展开系数的模方代表概而相应的展开系数的模方代表概率密度率密度. 例如例如, 坐标表象和动量表象的展开坐标表象和动量表象的展开, 即属此情况即属此情况.)量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则如体系的如体系的 Hamilton 量不显含时间量不显含时间(/0),tHt 则则H 为守恒量为守恒量. 在此情况下在此情况下, 如对易力学量完全集中包含如对易力学量完全集中包含有体系的有体系的Hamilton量量, 则完全集中各力学量都是守恒量则完全集中各力学量都是守恒量,

31、这种完全集又称为这种完全集又称为对易守恒量完全集对易守恒量完全集( a complete set ofcommuting conserved observables, 简记为简记为CSCCO.)包括包括 H 在内的守恒量完全集的共同本征态在内的守恒量完全集的共同本征态, 当然是定当然是定态态, 所相应的量子数都称为所相应的量子数都称为好量子数好量子数. 在这种展开中在这种展开中,(无论无论 是什么态是什么态, 定态或非定态定态或非定态), 2a是不随时间是不随时间改变的改变的.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则关于关于CSCO, 再

32、做几点说明再做几点说明:(1) CSCO是限于是限于最小集合最小集合, 即从集合中抽出任何一个可即从集合中抽出任何一个可观测量后观测量后, 就不再构成体系的就不再构成体系的CSCO. 所以要求所以要求CSCO中各观测量是中各观测量是函数独立的函数独立的.(2) 一个给定体系的一个给定体系的CSCO中中, 可观测量的数目一般等于可观测量的数目一般等于体系自由度的数目体系自由度的数目, 但也可以大于体系自由度的数目但也可以大于体系自由度的数目.(3) 一个给定体系往往可以找到多个一个给定体系往往可以找到多个CSCO, 或或CSCCO.在处理具体问题时在处理具体问题时, 应视其侧重点来进行选择应视其

33、侧重点来进行选择. 一个一个CSCCO的成员的选择的成员的选择, 涉及体系的对称性涉及体系的对称性.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则 体系的量子态用一组彼此对易的力学量完全集的共同体系的量子态用一组彼此对易的力学量完全集的共同本征函数来展开本征函数来展开, 在数学上涉及完备性问题在数学上涉及完备性问题. 这是一个颇这是一个颇为复杂的问题为复杂的问题.李政道曾经给出关于本征态的完备性的李政道曾经给出关于本征态的完备性的如如下重要的定理下重要的定理.定理定理: 设设H为体系的一个厄米算符为体系的一个厄米算符, 对于体系的任一态对于体系

34、的任一态,( ,)/( ,)H 有下界有下界( 即总是大于某一个固定的数即总是大于某一个固定的数c),但无上界但无上界, 则则H的本征态的集合的本征态的集合, 构成体系的态空间中构成体系的态空间中的一个完备集的一个完备集, 即体系的任何一个量子态都可以用这一即体系的任何一个量子态都可以用这一组本征态完全集来展开组本征态完全集来展开.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则这里有两点值得提到这里有两点值得提到:(a) 自然界中真实存在的物理体系的自然界中真实存在的物理体系的Hamilton 算符算符H都应为厄米算符都应为厄米算符(保证所有能

35、量本征值为实保证所有能量本征值为实), 并且应有并且应有下界下界( 能量无下界是不合理的能量无下界是不合理的, 在自然界中未发现这种在自然界中未发现这种情况情况). 因此因此, 体系的任一量子态总可以放心地用包含体系的任一量子态总可以放心地用包含H在内的一个在内的一个CSCCO的共同本征态完全集来展开的共同本征态完全集来展开.(b) 在在H本征值有简并的情况下本征值有简并的情况下, 对于给定能量本征值对于给定能量本征值,本征态尚未完全确定本征态尚未完全确定, 此时需要用包含此时需要用包含Hamilton量在内量在内的一个的一个CSCCO, 根据他们的本征值把本征态完全确定下根据他们的本征值把本

36、征态完全确定下来来, 以便于对任何量子态进行确切的展开以便于对任何量子态进行确切的展开.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则3.3.4 量子力学中力学量用厄米算符表达量子力学中力学量用厄米算符表达 与与Schrdinger方程是量子力学的一个基本假定一样方程是量子力学的一个基本假定一样,量子体系的可观测量量子体系的可观测量 (力学量力学量) 用一个线性厄米算符来用一个线性厄米算符来描述描述, 也是量子力学的一个基本假定也是量子力学的一个基本假定, 它们的正确性应它们的正确性应该由实验来判定该由实验来判定.“量子力学中力学量用相应的线性

37、厄米算符来表达量子力学中力学量用相应的线性厄米算符来表达”, 其含义是多方面的其含义是多方面的:量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则(1) 在给定状态在给定状态 之下之下, 力学量力学量 A 的的平均值平均值A由下式由下式确定确定:( ,)/( ,)AA (2) 在实验上观测某力学量在实验上观测某力学量A, 它的它的可能取值可能取值A就是算符就是算符A的某一个本征值的某一个本征值. 由于力学量观测值总是实数由于力学量观测值总是实数, 所以所以要求相应的算符必为厄米算符要求相应的算符必为厄米算符.(3) 力学量之间关系也通过相应的算符之

38、间的关系反映力学量之间关系也通过相应的算符之间的关系反映 出来出来. 例如例如, 两个力学量两个力学量 A 与与 B, 在一般情况下在一般情况下, 可以同时可以同时具有确定的观测值的必要条件为具有确定的观测值的必要条件为 ,0.A B量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则 , 0,A B 反之反之, 若若 则一般说来则一般说来, 力学量力学量 A 与与 B 不能不能同时具有确定的观测值同时具有确定的观测值 特别是对于特别是对于H 不显含不显含 t 的体系的体系, 一个力学量一个力学量 A 是否是否是守恒量是守恒量, 可以根据可以根据A与

39、与H是否对易来判断是否对易来判断.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则3.4.1 连续谱本征函数是不能归一化的连续谱本征函数是不能归一化的一维粒子的动量本征值为一维粒子的动量本征值为p的本征函数的本征函数(平面波平面波)为为 i/epxpxCp, 可以取可以取中连续变化的一切中连续变化的一切实数实数值值. 22ddpxxCx 0,C 不难看出，只要不难看出，只要则则 在量子力学中在量子力学中, 坐标和动量的取值是连续变化坐标和动量的取值是连续变化的的; 角动量的取值是离散的角动量的取值是离散的; 而能量的取值则视边条而能量的取值则视边

40、条件而定件而定.例如例如量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则 当然当然, ,任何真实的波函数都不会是严格的平任何真实的波函数都不会是严格的平面波面波, , 而是某种形式的波包而是某种形式的波包. . 它只在空间某有它只在空间某有限区域不为零限区域不为零. . 如果此波包的广延比所讨论的问题中的特征长度如果此波包的广延比所讨论的问题中的特征长度大得多大得多, , 而粒子在此空间区域中各点的概率密度变而粒子在此空间区域中各点的概率密度变化化极微极微, , 则不妨用平面波来近似描述其状态则不妨用平面波来近似描述其状态. .是不能归一化的是不

41、能归一化的.p在上例中在上例中,连续谱的本征函数是不能归一化的连续谱的本征函数是不能归一化的.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则0000dd1(0)xxxxxxxx0 xx0,0 xx0 xx 可以引用数学上的可以引用数学上的Dirac的的 为方便地处理连续谱本征函数的为方便地处理连续谱本征函数的“归一化归一化”, 我我们们 函数函数.3.4.2 函数函数 函数的定义函数的定义量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则 f x 0i01dde2k x xf xxk f x由由Fo

42、urier积分公式积分公式, 对于分段连续函数对于分段连续函数(b)函数也可表成函数也可表成0i01d e2k x xxxk比较式比较式(a)与与(b),0 xx f x 00df xxxxf x领域连续的任何函数领域连续的任何函数 对于在对于在(a)等价地表示为等价地表示为:量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则平面波的平面波的“归一化归一化”问题问题, 还可以采用数学上还可以采用数学上传统的做法传统的做法 即先让粒子局限于有限空间即先让粒子局限于有限空间 中运动中运动 (最最 后才让后才让 ). /2,/2LLL 动量本征态为动量本

43、征态为 在周期条件下在周期条件下 i/ e,pxpx/2/2ppLL3.4.3 箱归一化箱归一化 ixpx 此时此时, 为了为了保证动量算符保证动量算符 为厄米算符为厄米算符,就要就要求波函数满足周期性边条件求波函数满足周期性边条件.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则 同样同样, 不能归一化的坐标本征态也可类似处理不能归一化的坐标本征态也可类似处理. ,dxxxxxxxxx因此因此, 若取动量本征态为若取动量本征态为则则 i/1e2p xpxi/1,d e2pp xppxpp 这样这样,就用就用 函数的形式把平面波的函数的形式把平面

44、波的“归一化归一化”表示出来了表示出来了.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则由周期条件由周期条件, 得得i/2i/2ee,pLpL(粒子波长粒子波长 即即 ). /;hpL n/nL即即 或或 所以所以 或或/2,pLn0, 1, 2,n 2nnnhppLLi/e1,pLsin/0,cos/1,pLpL可以看出可以看出 动量的可能取值动量的可能取值 就是不连续的就是不连续的.npp,L 只要只要量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则此时此时, 与与 相应的动量本征态取为相应的

45、动量本征态取为np i/i2/11eennp xnx LpxLL /2*/2dnmLppnmLxxx利用正交归一化条件利用正交归一化条件i/i2/11eenpx xn x xLnnxxLL利用这一组正交归一完备的函数利用这一组正交归一完备的函数 ,可以构成可以构成如下如下 函数函数: npx量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则现在让现在让即动量的可能取值趋于连续变化即动量的可能取值趋于连续变化.1,/0,nnnLppph L i/i11d ed e22p x xk x xxxpk 于是于是dnnnhppL此时此时, 可以把可以把 ,

46、而而或或/h LdpdnLph量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则在处理具体问题时在处理具体问题时,如要避免如要避免计算过程中计算过程中出现的平面出现的平面波波“归一化归一化”困难困难, 则可以用箱归一化波函数则可以用箱归一化波函数 代替不能归一化的代替不能归一化的 . 在计算的在计算的最后结果最后结果才让才让 . npx pxL 正交完备的归一化波函数为正交完备的归一化波函数为 i/3/21epLp rr xxyyzzrri2/3, ,1en x xl y ym z zn l mL结论结论则则 函数可如下构成函数可如下构成:三维情况

47、三维情况 量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则i/331d ehp r rrr 上式表明上式表明, 相空间一个体积元相空间一个体积元 相当于有一个量子态相当于有一个量子态.3h33, ,dddxyzn l mLppph而而最后最后, 当当 时时L 将连续变化将连续变化33/dddxyzhLppp,xyzpp p量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则设有设有一组彼此对易一组彼此对易,且函数独立的厄米算符且函数独立的厄米算符 它们的它们的共同本征函数共同本征函数记为记为 , 是是一

48、组量子数一组量子数的笼统记号的笼统记号.12,A A A kk3.4.4 力学量完全集力学量完全集定义定义 设给定设给定 之后之后就能够确定体系的一个可能状态，就能够确定体系的一个可能状态，则称则称 构成体系的一组力学量完全集构成体系的一组力学量完全集.12,A A k量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)3.1 3.1 算算 符符 的的 运运 算算 规规 则则2ka 表示在表示在 下测量下测量 得到得到 值的概率值的概率.这是波函数统计诠释的一般表述这是波函数统计诠释的一般表述.kAA按照态叠加原理按照态叠加原理, 体系的任何一个状态体系的任何一个状态 均可用均可用 展展开开 (这里假定这里假定 的本征值是的本征值是离散的离散的