概率统计简明教程课后习题答案(工程代数_同济大学版)

1、 1 2 æ2 ö 2 ) = Dç X 1 + X 2 + X 3 ÷ D(m 5 5 è5 ø 4 1 4 = D( X 1 ) + D( X 2 ) + D( X 3 ) 25 25 25 9 9 = D( X ) = s 2 25 25 2 ) < D(m 2 更有效。 1 ) ，所以二个估计量中 m 可见 D(m 2 = å X i2 ，试证 12. 设 X 1 , X 2 , L , X n 是取自总体 X N (0, s 2 )的一个样本，其中 s 2 > 0 未知，令 s 1 n n i =1 2

2、 是 s 2 的相合估计。 s 2 ) = E ç å X i2 ÷ = å E (X i2 ) = s 2 易见 E (s æ1 n è n i =1 ö ø 1 n n i =1 n 证明 又 1 s 2 å X i2 c 2 (n ) ， i =1 æ 1 n 2ö X i ÷ = 2n ， 2 å è s i =1 ø 4 2s 4 æ 1 n ö s 2 = Dç 2 å X i2 ÷

3、× 2 = Ds 故 。 n è s i =1 ø n 由切比雪夫不等式，当 n ® ¥ ，对任给 e > 0 ， 2 Ds 2s 4 2 是 s 2 的相合估计。 2 -s 2 >e £ Ps = ® 0 ，即 s 2 2 e ne 1. 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径 X 服从正态分布 N m ,0.2 2 ，从某天生产的产 由第九章公式（9） ， Dç ( ) ( ) ( ) ( ) 品中随机抽取 6 个，量得直径如下（单位：mm） ：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,

4、15.1，求 m 的 0.9 双侧置信 区间和 0.99 双侧置信区间。 é s s ù , X + u1- a 解 由于 s 2 = 0.2 2 已知，所以选用 m 的 1 - a 置信区间 ê X - u1- a ú。 ë 2 n 2 nû 当 1 - a = 0.9 ，查表得 u1- a = u 0.95 = 1.64 ，当 1 - a = 0.99 ，查表得 u1- a = u 0.995 = 2.576 。 x = 14.95, n = 6, 2 2 2. 假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布 N (m , s 2 )

5、 ， s 未知。为了合理的确定对该商 品的进货量，需对 m 和 s 作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为：64，57，49，81，76， 70，59，试求 m 的双侧 0.95 置信区间和方差 s 2 的双侧 0.9 置信区间。 解 由于 m 和 s 都未知，故 m 的 1 - a 双侧置信区间为 * * é ù (n - 1) S , X + t1- a (n - 1) S ú ， ê X - t1- a 2 2 n nû ë é 0.2 0. 2 ù ,14.95 + 1.64 × 代入数据得

6、m 的双侧 0.9 置信区间观测值为 ê14.95 - 1.64 × ú ，即为 14.82,15.08 。 6 6û ë é 0. 2 0 .2 ù ,14.95 + 2.576 × m 的双侧 0.99 置信区间观测值为 ê14.95 - 2.576 × ú ，即为 14.74,15.16 。 6 6û ë s 2 的 1 - a 双侧置信区间为 é ù 2 nS 2 ú ê nS ， , 2 ê c 2 a (

7、n - 1) c a (n - 1)ú 1 - 2 2 ë û 代入数据得 2 2 x = 65.14, s 2 = 108.41, s * = 11.25, t 0.975 (6) = 2.45, n = 7, c 0 .95 (6)c 0.05 (6) = 1.635 ， m 的 0.95 双侧置信区间观测值为 ê65.14 - 2.45 ´ ë é 11.25 7 ,65.14 + 2.45 ´ 11.25 ù ú ，即为 54.74,75.54 。 7 û é 7 &

8、#180; 108.41 7 ´ 108.41ù ，即为 60.3,464.14 。 , 1.635 ú ë 12.592 û 3. 随机地取某种子弹 9 发作试验，测得子弹速度的 s * = 11 ，设子弹速度服从正态分布 N m , s 2 ， s 2 的 0.9 双侧置信区间观测值为 ê 2 ( ) 求这种子弹速度的标准差 s 和方差 s 的双侧 0.95 置信区间。 é ù ( n - 1)S *2 (n - 1)S *2 ú ê 解 由于 m 未知，故 s 的双侧置信区间为 ，代入数据

9、得 , 2 ê c 2 a (n - 1) c a (n - 1) ú 1 - 2 2 ë û *2 2 2 n = 9, S = 121, c 0.975 (8) = 17.535, c 0.025 (8) = 2.18 ， 2 s 2 的 0.95 双侧置信区间观测值为 ê 区间观测值为 4. 已知某炼铁厂的铁水含碳量（1%）正常情况下服从正态分布 N (m , s 2 ) ，且标准差 s = 0.108 。 现测量五炉铁水，其含碳量分别是：4.28,4.4,4.42,4.35,4.37（1%） ，试求未知参数 m 的单侧置信水平 为 0.

10、95 的置信下限和置信上限。 s 解 由于 s = 0.108 已知，故 m 的 1 - a 单侧置信下限为 X - u1-a × ， m 的 1 - a 单侧置信上限为 n X + u1-a × é 8 ´ 121 8 ´ 121ù , ú ，即为 55.204,444.037 。故 s 的 0.95 双侧置信 ë17.535 2.18 û 55.204, 444.037 ，即为 7.43,21.07。 s n ， 代 入 数 据 得 x = 4.3 6 4 ( % u , 0.95 = 1.6 4 5

11、 , n = 5 ， 故 m 的 0.95 单 侧 置 信 下 限 观 测 值 为 0.108 5 = 4.285 ， m 的 0.95 单侧置信上限观测值为 4.364 + 1.645 × 4.364 - 1.645 × 0.108 5 = 4.443 。 5. 某单位职工每天的医疗费服从正态分布 N (m , s 2 ) ，现抽查了 25 天，得 x = 170 元， s * = 30 元， 求职工每天医疗费均值 m 的双侧 0.95 置信区间。 解 由 于 s 2 未 知 ， 故 m 的 1 - a 双 侧 置 信 区 间 为 ê X - t1- a 

12、35; é S* n 2 , X + t1- a 2 x = 170, s * = 30, n = 25, t 0.975 (24) = 2.0639 ， 故 m S* ù ú ，代入数据得 nû 的 0.95 双 侧 置 信 区 间 观 测 值 为 é 30 30 ù ,170 + 2.0639 ê170 - 2.0639 ú ，即为 157.4,182.6 。 24 24 û ë 6. 某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。 设罐头质量服从正态分布并假设甲生产线 与乙生产线互不影响。从

13、甲生产线并假设抽取 10 只管头测得其平均质量 x = 501g ，已知其总体标准 差 s 1 = 5g ；从乙生产线抽取 20 只罐头测得其平均质量 y = 498g ，已知其总体标准差 s 2 = 4 g ，求甲 乙两条猪肉罐头生产线生产罐头质量的均值差 m1 - m 2 的双侧 0.99 置信区间。 解 由于 s 1 = 5g , s 2 = 4 g 已知，故 m1 - m 2 的 1 - a 的双侧置信区间为 2 2 ù é s 12 s 2 s 12 s 2 ê X - Y - u1- a ú + , X - Y + u1- a + 2 2 m

14、 n m n ú ê ë û 2 代入数据得 x = 501, y = 498, m = 10, n = 20, s 12 = 25, s 2 = 16, u 0.995 = 2.576 ，故 m1 - m 2 的 0.99 双侧置信 区间观测值为 ê501 - 498 - 2.576 ê ë é 25 16 25 16 ù + ,501 - 498 + 2.576 + ú ，即为 - 1.68,7.68 。 10 20 10 20 ú û 7. 为了比较甲、乙两种显像管的使

15、用寿命 X 和 Y，随机的抽取甲、乙两种显像管各 10 只，得 数 据 x1 , L , x10 和 y1 , L , y10 （ 单 位 ： 10 4 h ） ， 且 由 此 算 得 x = 2.33, y = 0.75 ， 2 2 å (xi - x ) = 27.5, å ( yi - y ) = 19.2 ，假定两种显像管的使用寿命均服从正态分布，且由生产过程知道 i =1 i =1 10 10 它们的方差相等。试求两个总体均值之差 m1 - m 2 的双侧 0.95 置信区间。 2 解 由于 s 12 = s 2 = s 2 未知，故 m1 - m 2 的 1 -

16、 a 双侧置信区间为 é 1 1 1 1ù + , X - Y + t1- a (m + n - 2)S w + ú ê X - Y - t1- a (m + n - 2)S w 2 2 m n m nú ê ë û n 1 2 2ù ém 2 其中 S w = å (X i - X ) - å (Yi - Y ) ú ， ê m + n - 2 ëi =1 i =1 û 代入数据得 x = 2.33, y = 0.75, m = 10

17、 = n, s w = 1.611, t 0.975 (18) = 2.1009 ，故 m1 - m 2 的 0.95 双侧置信区间 观测值为 é 1 1 1 1ù + ,2.33 - 0.75 + 2.1009 ´ 1.611 + ú, ê2.33 - 0.75 - 2.1009 ´ 1.611 10 10 10 10 ú ê ë û 即为 0.066,3.094 。 8. 在 3091 个男生，3581 个女生组成的总体中，随机不放回地抽取 100 人，观察其中男生的成 数，要求计算样本中男生成数的 SE。 解 由于样本大小 n = 100 相对于总体容量 N = 6672 来说很小，因此可使用有放回抽样的公式。 样本成数 x = 100 ´ 3091 = 50 = 5 。 = 46 ´ 54 » 50 ，标准差 SE 的估计为 SE » 46 ，估计 s 6672 100 9. 抽取 1000 人的随机样本估计一个大的人口总体中拥有私人汽车的人