柔性坐标测量机建模的泛函网络研究

1、柔性坐标测量机建模的泛函网络研究*郑大腾1,2 费业泰1 张 梅3(1. 合肥工业大学仪器科学与光电工程学院, 合肥230009; 2. 皖西学院机械与电子工程系, 六安237012;3. 安徽大学电子科学与技术学院, 合肥230039)摘 要: 柔性坐标测量机的测量模型若用D-H方法和传统的神经网络建模, 则对测量精度有一定的影响。为了进一步提高测量精度, 该文对泛函网络的基函数、拓扑结构和学习算法进行了研究,并应用泛函网络建立柔性坐标测量机的测量模型。利用高精度的正交三坐标测量机进行单点坐标标定, 采用标准锥窝法在测量空间上随机取点采样, 实验结果表明, 泛函网络建模结果与采样数据误差等级

2、为0.1 mm, 这说明基于泛函网络建立柔性坐标测量机的测量模型是可行的。关键词: 柔性坐标测量机；泛函网络；基函数；拓扑结构中图分类号: TH721文献标识码: A国家标准学科分类代码: 460.403Research on functional networks of flexible coordinatemeasuring machine modelingZheng Dateng1,2 Fei Yetai1 Zhang Mei3(1. School of Instrument Science and Opto-electronic Engineering, Hefei Universit

3、y of Technology, Hefei 230009, China; 2. Mechanical and Electronic Engineering Department of West Anhui University, Luan 237012, China; 3. Shool of Electrical Science and Technology, Anhui University, Hefei 230039, China)Abstract: If the measurement model of flexible coordinate measuring machine(FCM

4、M) is constructed with D-H methods and traditional neural networks, the measurement accuracy could be influenced. To improve the measurement accuracy, functional networks basis functions, topological structure and learning algorithms are researched, and the measurement model based on the FCMM with f

5、unctional networks is constructed. The single-point calibration model based on high-accuracy FCMM and the random sample method based on single-point cone socket in the measuring space are used. The experimental results show that the error from functional networks modeling results and sampled data re

6、aches 0.1 mm. It shows that the measurement model of FCMM based on functional networks is feasible. Keywords: f-lexible coordinate measuring machine(FCMM); functional networks; basis functions; topological structure1 引 言人工神经网络ANN(artificial neural network)算法在许多情况下逼近性能较好, 但其具有的一些特点, 如ANN神经元的函数主要处理的是一

7、些具体函数, 一般可供选择的函数有sigmoid函数、高斯函数、子波函数等; 在ANN中, 要求同一层网络的激活函数相同; ANN中神经元之间有联接权值, 但权值的确切含义还不明确; 神经网络中每个神经元都是单输出, 即使与多个神经元相连, 但是输出的数据必相同1-3。这些特点决定了在一些复杂系统中建模时, 仍存在较大的建模误差甚至不能建模等问题。柔性坐标测量机是依据仿生运动学原理而设计的一种新型坐标测量系统。汪平平博士在其博士论文柔性坐标测量机精度理论及应用技术研究中对这种新型坐标测量机进行了研究, 这种坐标测量机有6个关节变量, 即6个角度输入变量, 测量模型采用D-H方法构建, 它是建立

8、在空间连杆机构杆件几何参数与关节变量基础上的, 直接依赖于构件几何参数, 当构件发生变形或安装精度较大等问题时, 建模误差将很大4。针对ANN所存在的特点和柔性坐标测量机D-H建模所存在的缺陷, 而泛函神经元网络具有独特的特性, 如: 神经元函数不固定, 而是可学习的; 同一层网络的激活函数可相同也可不同; 无连接权值 等5-10, 这些独有的特性有可能是解决以上问题的一个新视角。2 泛函网络拓扑结构的设计泛函网络无联接权值概念, 层与层之间的连线仅表示数据的流动方向; 泛函网络中每个神经元都可以有多个互不相同的输出(多输出), 可以向不同的神经元输出不同的数据。这些特点可以指导泛函网络拓扑结

9、构的设计。泛函网络有各种各样的结构, 不可能用一个统一通用的结构来描述所有的泛函网络, 也不可能用一个统一的函数来表示所有的泛函网络。每个系统都有其自身的特点, 对应着一个最优的网络结构。对于多输出系统, 一个多输出的泛函网络可以分解成多个单输出的泛函网络, 且性能不变, 这样能保证整个系统有较好的泛化能力; 对于结构系统, 根据结构几何参数对系统输入输出的影响, 可以设计出隐层神经元的输入输出数量和流向; 对于一个确定的系统, 函数基规模应尽可能地小, 只有当网络结构不满足实际问题要求时, 才考虑增加函数基的规模。柔性坐标测量机有6个输入自变量(q1,q2,q6), 3个输出因变量(X, Y

10、, Z), 根据笔者的多次实验, 该测量机的测量模型由3个单输出的泛函网络构成, 其泛函网络拓扑结构模型设计如图1所示。图1 泛函网络拓扑结构模型Fig. 1 Topological structure of functional networks该泛函网络有5层: 一个输入层, 3个隐层和一个输出层(从上往下)。其中, 输入层有6个神经元; 隐层有3层泛函神经元, 分别为12个神经单元、16个神经单元和一个神经单元; 输出层是单个神经元(X)。该网络的输出有如下表达式: X=k1 f6 g1 g2 g3 g4 g5+k2 f1 f3 f6 g4 g5 +k3 f2 f4 f6 g1 g5+

11、k4 f3 f5 f6 g1 g2 +k5 f1 f5 f6 g3 +k6 f4 g1 g2 g3 g6 +k7 f1 f3 f4 g6 + k8 f2 g1 g4 g6 +k9 f4 g1 g2 g3 +k10 f1 f3 f4 +k11 f2 g1 g4 + k12 g1 g2 g3 g4+k13 f1 f3 g4+k14 f2 f4 g1+k15 f2 g1+k16 g1 g2 (1)式中: kh(h=1,2,16)是网络参数, fi (i=1,2,6)和gj(j=1,2,6)分别是q 的函数。同样的构造结构, 可构造出输出为Y, Z的泛函网络拓扑结构模型, 网络输出表达式分别如式(2)

12、、(3)所示:Y=m1 f1 f6 g2 g3 g4 g5+m2 f3 f6 g1 g4 g5 +m3 f1 f2 f4 f6 g5 +m4 f1f3 f5 f6 g2+m5 f5 f6 g1 g3+m6 f1 f4 g2 g3 g6 +m7 f3 f4 g1 g6 +m8 f1 f2 g4 g6 +m9 f1 f4 g2 g3 +m10 f3 f4 g1+m11 f1 f2 g4+ m12 f1 g2 g3 g4+m13 f3 g1 g4+m14 f1 f2 f4+m15 f1 f2+m16 f1 g2 (2)Z=n1+n2 f2 f6 g3 g4 g5 +n3 f4 f6 g2 g5+n4

13、 f2 f3 f5 f6+ n5 f2 f4 g3 g6+n6 g2 g4 g6+n7 f2 f4 g3+n8 g2 g4+n9 f2 g3 g4+ n10 f4 g2+n11 g2+n12 f2 (3)式中: mp(p=1,2,16)和nq (q=1,2,12)是网络参数, fi (i=1,2,6)和gj ( j=1, 2, 6)分别是q 的函数。3 基于多角度输入变量的基函数选择柔性坐标测量机输入输出之间的关系问题, 可以理解为函数的逼近问题。接下来是如何通过学习来确定一组最优基函数集, 使得特定空间上的任意函数(X, Y, Z)可由该基函数集近似地构造出来。现需要解决的基本问题是: 如何

14、选择基函数。根据泛函网络的特性, 泛函网络针对的是一般泛函模型, 神经元的函数选取更加灵活, 能够根据逼近函数的先验知识对神经元的激活函数加以选择; 泛函网络中神经元的激活函数可以不同, 即使同一层网络的激活函数都可以不同。柔性坐标测量机的输入变量是角度参数, 输出变量是正交坐标系的X坐标值、Y坐标值、Z坐标值。根据两者之间存在的旋转和平移等内在结构关系, 基函数以选择正弦曲线、余弦曲线和平移系数为宜, 即 (4)式中: 1, 2,6为6个输入自变量, a1, a2, a6, b1, b2, b6为常系数。4 基于柔性坐标测量机的泛函网络逼近算法选择基函数集, 并通过泛函网络拓扑结构模型构造出

15、近似函数(X, Y, Z), 常用均方根误差法来评价构造系统性能的好坏。定义 均方根误差(RMSE)(5)式中: xi为真值, 为泛函网络的输出, |表示函数的范式。假设网络已知的样本为: (q1i, q 2i, q 6i), xi| i=1,2,n则 (6)为了设计出最优的网络参数kp(p=1,2,16), 需要考察最小化误差平方和。(7)对式(7)求偏导, 有 (8)通过求解上述线性方程组, 得出X坐标的最优网络参数kp(p=1,2,16)。同理, 根据上述算法, 可以得出Y坐标的最优网络参数mq(q=1,2,16)和Z坐标的最优网络参数nr(r=1,2,12)。5 数值仿真结果为了建立柔

16、性坐标测量机的测量模型, 在柔性坐标测量机的测量空间上随机取点采样, 并利用高精度(精度等级: 1 mm)的正交三坐标测量机进行标准锥窝法单点坐标标定, 表1给出了泛函网络30组训练样本数据。表1 泛函网络训练样本数据Table 1 Training data of functional networks序号q1/°q2/°q3/°q4/°q5/°q6/°x/mmy/mmz/mm1148.882 3-10.751 2-56.559 8-57.818 849.379 27.679 4221.553 9-635.469 6922.900

17、02149.756 8-12.227 8-57.937 5-57.016 845.683 37.385 0238.880 4-640.117 1918.900 03148.366 0-12.924 3-55.426 0-56.931 247.654 38.496 8251.704 7-649.410 1910.000 04254.590 6 -9.457 0-101.990 5-4.161 6184.078 1-96.772 0 88.096 7241.326 61 192.000 05175.515 4-1.149 2 -85.893 3-39.709 0287.129 9-77.741 5

18、 12.516 4-400.349 51 067.900 06177.049 1-2.592 8-88.029 1-38.889 4286.749 8-77.163 6 32.544 9-393.549 51 074.000 07175.596 7-2.522 5-86.176 8-39.346 4284.673 3-78.739 0 32.138 6-395.588 31 070.500 08258.147 9-3.247 6-96.286 4-19.494 18.059 631.104 5234.149 2 77.393 51 268.800 09191.236 8 -0.681 2-97

19、.947 5-28.744 6121.372 633.108 4 74.782 2-342.624 61 193.000 010192.322 3-2.063 2-99.676 8-28.017 3121.504 434.248 8 93.846 4-330.079 31 196.100 011191.052 2-1.639 2-97.894 8-28.322 8117.740 533.993 9 88.339 6-334.057 11 195.900 012248.181 2-5.675 5-68.627 2-32.739 3167.229 5-90.140 6308.114 6197.73

20、9 71 139.800 013211.207 8-6.205 1-123.260 0-16.268 6321.255 6-105.126 0100.665 2-171.493 41 148.900 014209.135 7-9.285 6-119.768 6-11.610 4310.313 2-112.957 0150.974 1-103.715 01 154.800 015208.096 4-9.186 8-117.920 7-10.445 8304.806 9-117.186 8151.760 2 -92.297 01 152.700 016265.330 8-1.199 7-88.41

21、8 0-39.922 1-0.856 948.937 5350.808 2 93.959 11 165.800 017216.663 6-14.293 2-110.874 011.601 6106.817 970.073 0217.686 0181.696 81 244.300 018217.272 2-15.648 9-112.449 512.493 7105.906 070.204 8232.468 6210.637 71 236.100 019215.817 6-15.064 5-108.364 712.322 3101.915 869.906 0227.942 0196.109 71

22、238.700 020256.214 4-3.047 6-69.923 6-62.479 2153.206 5-90.041 7424.233 5219.875 4973.700 021229.561 5-17.132 1-132.389 619.957 8294.332 5-109.098 6176.668 9320.955 31 158.000 022229.363 8-18.947 0-132.255 621.383 8293.466 8-109.584 2196.332 1355.656 31 141.900 023228.219 0-18.087 9-129.733 220.526

23、9295.824 5-110.997 1196.331 2326.767 31 149.700 024310.552 7-11.177 5-134.496 8-68.989 7185.128 4-66.924 3288.798 4154.021 8988.900 025233.582 5-17.668 2-108.230 725.055 495.829 358.203 4118.344 3402.636 61 210.400 026233.903 3-19.368 9-109.228 326.176 095.414 158.256 1129.099 9438.782 91 193.600 02

24、7233.393 6-20.351 1-109.221 729.278 696.457 867.511 0124.099 1457.199 91 168.300 028307.707 3-24.255 6-131.192 1-95.271 295.592 0-82.676 5263.744 7322.990 2668.100 029259.721 2-13.139 6-119.581 811.243 487.279 868.108 6 -5.467 3280.098 11 243.300 030261.331 8-15.202 9-124.158 711.786 189.538 668.077

25、 9-13.273 4325.380 41 232.000 0根据上述选取的基函数、建立的泛函网络拓扑结构模型以及逼近学习算法, 利用上表给出的泛函网络训练样本数据, 通过编程仿真, 得到了3坐标的逼近函数网络参数: k1,k2,k16=100.000 1, -99.999 9, -99.999 3, -100.000 2, -99.999 9, 99.999 9, -100.000 2, 99.999 7, 449.999 8, -449.999 9, 450.002 1, -90.000 2, 89.999 9, 89.999 7, 649.998 6, -90.000 1 (9) m1,

26、m2,m16=100.000 1, 99.999 7, -99.997 3, -99.999 9, 99.999 7, 99.998 9, 100.000 0, 99.999 5, 450.000 1, 450.000 0, 450.000 8, -90.000 5, -90.000 0, 89.999 6, 650.000 3, -90.000 0 (10) n1, n2, n12=133.242 7, -100.093 9, -100.015 4, 100.162 2, -99.493 7, 100.041 4, -450.313 5, 450.037 3, 90.359 6, 89.94

27、5 8, 648.697 7, 90.284 1 (11)为了验证柔性坐标测量机泛函网络建模效果, 利用一些其他测量位置测得的坐标值进行验证。图2是高精度(精度等级: 1 mm)正交坐标测量机70组三坐标采样数据图, 图3是柔性坐标测量机泛函网络建模结果图, 图4是泛函网络建模误差图。从图4可看出, 泛函网络建模结果与正交坐标测量机采样数据误差等级为0.1 mm, 结果表明, 泛函网络建模结果良好。图2 三坐标目标数据 (单位: mm)Fig. 2 Three-coordinate objective data图3 三坐标建模结果(单位: mm)Fig. 3 Three-coordinate

28、modeling result图4 泛函网络建模误差图(单位: mm)Fig. 4 Modeling error of functional Networks6 结 论针对柔性坐标测量机就泛函网络拓扑结构、基函数、学习算法进行了研究, 可得出如下结论: 1) 基于泛函网络的逼近函数X(或Y、Z )的实质是在基函数簇中找出有限的基函数(如sinq 和cosq )使得X(或Y、Z )可以精确或比较精确地表示为这些基函数的线性叠加。若基函数选择恰当合理, 逼近效果会更好。2) 在实际应用中, 可先选取规模较小的函数基, 而适当地增加神经元的个数, 从而减小网络的不匹配度; 只有当网络的结构不满足实际

29、问题要求时, 则选用规模较大的函数基。由于泛函网络是一门新兴的技术, 其中的内涵有待进一步开发, 因此泛函网络在应用中也存在一些问题, 如基函数的选择需要对建模系统有深入的了解; 拓扑结构模型如构造不当, 则得不出所需的结果或者仿真模型过大等。参考文献: 1 李洪兴. 数学神经网络(I)神经网络的插值机理J. 北京师范大学学报, 1996, 32(4): 452-459.LI H X. Mathematic neural network (I) -NN inserting value theory J. Journal of Beijing Normal University, 1996, 3

30、2(4): 452-459.2 陈小平, 石玉, 于盛林. 遗传算法在前向神经网络参数估计中的应用J. 电子测量与仪器学报, 2001, 15(3): 1-5.CHEN X P, SHI Y, YU SH L. Application of genetic algorithms in parameter estimation for feed-for ward neural networks J. Journal of Electronic Measurement and Instrument, 2001, 15(3): 1-5.3 鲁昌华, 苌凝凝, 李艳红. BP神经网络对驻极体麦克图像特

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