数列专题复习(二)含答案

1、数列专题复习(二第二课时求数列通项公式的常用方法一、公式法例1 已知数列n a 满足1232nn n a a +=+,12a =,求数列n a 的通项公式。温馨提示:本题解题的关键是把递推关系式1232nn n a a +=+转化为113222n n n n a a +-=,说明数列2n na 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出31(122n n a n =+-,进而求出数列n a 的通项公式。 类型1 (1n f a a n n +=+解法:把原递推公式转化为(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法求解。 二、累加法例2 已知数列n a 满足11211n n a

2、a n a +=+=,求数列n a 的通项公式。温馨提示:本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=+转化为121n n a a n +-=+,进而求出11232211(n n n n a a a a a a a a a -+-+-+-+ ,即得数列n a 的通项公式。例3 已知数列n a 满足112313nn n a a a +=+=,求数列n a 的通项公式。温馨提示:本题解题的关键是把递推关系式1231nn n a a +=+转化1231nn n a a +-=+进而求出11232211(n n n n n a a a a a a a a a a -=-+-+-+-+ ,

3、即得数列n a 的通项公式。三、累乘法类型2 n n a n f a (1=+ 解法:把原递推公式转化为(1n f a a nn =+,利用累乘法(逐商相乘法求解。 例1 已知数列n a 满足112(153nn n a n a a +=+=,求数列n a 的通项公式。例2 已知数列n a 满足321=a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。四、数学归纳法例1 已知数列n a 满足11228(18(21(239n n n a a a n n +=+=+,求数列n a 的通项公式。1、已知数列n a 的前n 项和为n S ,数列1+n S 是公比为2的等比数列,2a 是1a 和3a

4、的等比中项.(1求数列n a 的通项公式;2、数列n a 的前n 项和为22n n S a =-,数列n b 是首项为1a ,公差不为零的等差数列,且1311,b b b 成等比数列.(1求123,a a a 的值;(2求数列n a 与n b 的通项公式;3、设各项均为正数的数列n a 的前n 项和为n S ,满足21441,n n S a n n N *+=-且2514,a a a 构成等比数列.(1 证明:2a =(2 求数列n a 的通项公式; 4、设等差数列n a 的前n 项和为n S ,且12a =,36a =.(1求数列n a 的通项公式;(2若110k S =,求k 的值; (3

5、设数列1n S 的前n 项和为n T ,求2013T 的值.5、设n a 是各项都为正数的等比数列, n b 是等差数列,且111a b =,3513a b +=,5321a b +=.(1求数列n a ,n b 的通项公式;6、已知数列a n 的前n 项和2*2(n S n kn k =-+N ,且n S 的最大值为4.(1确定常数k 的值,并求数列a n 的通项公式a n ;7、已知数列n a 满足对任意的*n N,都有0n a >,且(23331212n n a a a a a a +=+ .(1求1a ,2a 的值;(2求数列n a 的通项公式n a ;8.已知等差数列n a 中

6、,11a =,33a =-.(1求数列n a 的通项公式; (2若数列n a 的前k 项和35k S =-,求k 的值.9、已知数列n a 的首项11=a(1若12n n a a +=+,则n a =_; (2若12n n a a +=,则n a =_(3若11n n a a n +=+,则n a =_; (4若12nn n a a +=,则n a =_10、已知数列n a 的前n 项和n S 满足nn n a S 1(2-+=(+N n ,(1写出数列n a 的前三项1a ,2a ,3a ;(2求通项n a11.已知数列n a 满足*12211,4,43(.n n n a a a a a n

7、 N +=-(1求34,a a 的值;(2证明:数列1n n a a +-是等比数列;(3求数列n a 的通项公式;12.已知数列a n 的前n 项和为n S ,且12-=n n a S ,数列n b 满足21=b ,n n n b a b +=+1求n a ,n b答案:1、(1解:1+n S 是公比为2的等比数列,111121(21(1-+=+=+n n n a S S . 1分 121(11-+=-n n a S .从而11122+=-=a S S a ,221233+=-=a S S a . 3分 2a 是1a 和3a 的等比中项22(1(1121+=+a a a ,解得=1a 1或1

8、1-=a . 4分 当11-=a 时,11+S 0=,1+n S 不是等比数列, 5分 =1a 1.12-=n n S . 6分 当2n 时,112-=-=n n n n S S a . 7分 11=a 符合12-=n n a ,12-=n n a . 8分 2、解析:(122n n S a =-,当1n =时,1122a a =-,解得12a =;当2n =时,212222S a a a =+=-,解得24a =;当3n =时,3123322S a a a a =+=-,解得38a =. -3分 (2当2n 时,111(22(2222n n n n n n n a S S a a a a -

9、=-=-=-, -5分得12n n a a -=又11122a S a =-,12a =,数列n a 是以2为首项,公比为2的等比数列,所以数列n a 的通项公式为2nn a =. -7分112b a =,设公差为d ,则由1311,b b b 成等比数列,得2(222(210d d +=+, -8分 解得0d =(舍去或3d =, -9分 所以数列n b 的通项公式为31n b n =-.-10分3、 解:(1当1n =时,22122145,45a a a a =-=+,20n a a >= (2当2n 时,(214411n n S a n -=-,22114444n n n n n

10、a S S a a -+=-=- (2221442n n n n a a a a +=+=+,102n n n a a a +>=+当2n 时,n a 是公差2d =的等差数列.2514,a a a 构成等比数列,25214a a a =,(2222824a a a +=+,解得23a =, 由(1可知,212145=4,1a a a =-=21312a a -=-= n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.数列n a 的通项公式为21n a n =-. 4.解:(1设等差数列n a 的公差为d ,131226a a a d =+=, 2d =2分数列n a 的通项公式(212

11、2n a n n =+-=4分(2方法一:21(1(12211022k k k k k S ka d k k k -=+=+=+=6分解得10k =或11k =-(舍去8分方法二:(221102k k k S +=, (6分解得10k =或11k =-(舍去8分(3(22(12n n n S n n +=+,1111(11n S n n n n =-+ 9分 20131232013T T T T T =+111111=-=12分5.(本小题满分14分解:(1设数列n a 的公比为(0,q q >数列n b 的公差为d ,依题意得:4212211413d q d q +=+=, 2分 消去

12、d 得422280q q -=22(4(270q q -+=, (3分0q > 2q =,由2q =可解得2d =4分 12,2 1.n n n a b n -=-5分6、(1因为22*(n S n k k k =-+N ,所以当n k =时,n S 取得最大值2k .依题意得24k =,又*k N ,所以2k =.从而24n S n n =-+.当2n 时,221(4(14(152n n n a S S n n n n n -=-=-+-+-=-. 又113a S =也适合上式,所以*52(n a n n =-N . 7、(1解:当1n =时,有3211a a =,由于0n a >

13、;,所以11a =.当2n =时,有(2331212a a a a +=+,将11a =代入上式,由于0n a >,所以22a =.（2）解：由于 a1 + a2 + L + an = ( a1 + a2 + L + an ) ， 3 3 3 2 2 则有 a1 + a2 + L + an + an +1 = ( a1 + a2 + L + an + an +1 ) 3 3 3 3 2 ，得 an +1 = ( a1 + a2 + L + an + an +1 ) - ( a1 + a2 + L + an ) ， 3 2 由于 an > 0 ，所以 an +1 = 2 ( a1 +

14、 a2 + L + an ) + an +1 2 同样有 an = 2 ( a1 + a2 + L + an -1 ) + an ( n2 ) ， 2 ，得 an +1 - an = an +1 + an 2 2 所以 an +1 - an = 1 由于 a2 - a1 = 1 ，即当 n1 时都有 an +1 - an = 1 ，所以数列 an 是首项为 1，公差为 1 的等差数列 故 an = n 8、解：（1）设等差数列 an 的公差 d ，则 an = a1 + ( n - 1) d ， 由题设， a3 = -3 = a1 + 2d = 1 + 2d ，所以 d = -2 an = 1

15、 + ( n - 1)( -2 ) = 3 - 2n （2）因为 Sk = 2 6 分 k ( a1 + ak ) 2 = k (1 + 3 - 2k ) 2 = k ( 2 - k ) = -35 ， 所以 k - 2k - 35 = 0 ，解得 k = 7 或 k = -5 因为 k Î N + ，所以 k = 7 9、例 1已知数列 a n 的首项 a1 = 1 n-1 （1）若 an +1 = an + 2 ，则 an = _ 2n - 1_；（2）若 an +1 = 2an ，则 an = _ 2 _ 12 分 （ 3 ） 若 an +1 = an + n + 1 ， 则

16、an = n( n + 1 n _ ； （ 4 ） 若 an +1 = 2 × an ， 则 2 an = 2 n( n- 1 2 _ 10、解：（1）由 a1 = S1 = 2a1 - 1 ，得 a1 = 1 ；由 a1 + a2 = S 2 = 2a2 + 1，得 a2 = 0 ； 由 a1 + a2 + a3 = S3 = 2a3 - 1 ，得 1 + a3 = 2a3 - 1 ，即 a3 = 2 11 （2）当 n ³ 2 时， an = S n - S n -1 = 2an + (-1 - 2an -1 - (-1 n n -1 an an-1 1 = n-1 +

17、 (- n-1 n 2 2 2 a 1 令 bn = n （ n ³ 2 ），则 bn - bn -1 = (- n -1 n 2 2 则 an = 2an -1 + 2(-1 n -1 ，故有： bn = (bn - bn-1 + (bn-1 - bn-2 + L + (b2 - b1 + b1 1 1 1 1 1 = (- n-1 + (- n-2 + (- n-3 + L + (- + 2 2 2 2 2 1 1 - (- n 2 - 1 = 2 × 1 - (- 1 n - 1 = 1 2 2 1 - (- 2 3 2 2 1 1 1 2 × 1 - (-

18、 n × 2n - × 2n ，即 an = × 2n - (-1 n ，其中 n ³ 2 3 2 2 6 3 1 n 2 + n 因为 a1 = 1 适合上式，故 an = × 2 - (-1 ， n Î N 6 3 则 an = 11（1）解： a3 = 4a2 - 3a1 = 13, a4 = 4a3 - 3a2 = 46 （2）证明：Q an + 2 = 4an +1 - 3an , an+ 2 - an+1 = 3(an+1 - an 又 a1 = 1, a2 = 4 ， an + 2 - an +1 =3， an +1 - an 则 an +1 - an 是以 a2 - a1 = 3 为首项，3 为公比的等比数列 12解：由 a1 = S1 = 2a1 - 1 ，得 a1 = 1 ； 当 n ³ 2 时， an = S n - S n -1 = 2a n - 2a n -