CH2-解析函数(1)

1、1第二章第二章 解析函数解析函数基本要求：基本要求：1、掌握复变函数求导数、掌握复变函数求导数 2、掌握解析函数的判断及柯西、掌握解析函数的判断及柯西-黎曼方程黎曼方程3、初等函数的定义及性质、初等函数的定义及性质2、导数：、导数：1可可导导。在在存存在在，则则：称称如如果果内内定定义义在在区区域域定定义义：00000)()()(lim,)(zzfzzfzzfDzDzfwz 00000()()()limzzzf zzf zdwfzdzz 1 解解 析析 函函 数数比比实实变变严严格格。的的方方式式是是任任意意的的注注意意：,z0 ( )Df zD如果在区域 内处处可导，则称在 内可导。可导连续

2、同实变函数一样，复变函数可导和连续之间的关系：同实变函数一样，复变函数可导和连续之间的关系：302200( )( )lim( )limlim(2 )2 .zzzf zzf zzzzzzzzz21fz例 ：求的导数2fz连续、处处导数存在/目标：判断函数的可导性 求导数。4000()( )lim()2()2lim2limzzzf zzf zzxxyy ixyixyixyixyi zxyO2( )2wf zxyi例 ：判断函数：的可导性f (z)=x+2yi的导数不存在.连续、不可导5同同。同同，求求导导法法则则与与实实变变相相导导数数定定义义形形式式与与实实变变相相求求导导法法则则：121 (

3、)02 ()3( )( )( )( )4( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )5( )( )6 ( )( )( )( )nncznznf zg zfzg zf zg zfz g zf z g zf zfz g zf z g zg zg zf g zfw g zwg z 、正整数、17( ),( )( )( ),( )0.fzwf zzwww、其中与是两个互为反函数 的单值函数 且6 微分：微分：设函数w=f (z)在z0可导, 则有, 0)(lim0zz其中因此, |(z)z|是|z|的高阶无穷小量, 可忽略而f (z0)z是函数w=f (z)的改变量w的线性部

4、分, 称为函数w=f (z)在点z0的微分, 记作 dw=f (z0) dz如果函数在z0的微分存在, 则称函数函数f(z)在在z0可微可微.zzzzfz-fzzfw)()( )()(0000( )|zzdwfzdz由此可见, 函数函数w=f(z)在在z0可导可导与在与在z0可微是等价的可微是等价的.如果f(z)在区域D内处处可微, 则称 f(z)在D内可微.72、解析函数（全纯函数、正则函数）为为奇奇点点。不不解解析析在在00)(zzzf000( )( )wf zzf zzz及 的邻域在内点 解析：在处处可导内内每每一一点点解解析析。在在内内解解析析：在在区区域域DzfD)(可导解析可导解析

5、Z0点区域D在复变函数的研究中，我们更关心的是函数的解析性在复变函数的研究中，我们更关心的是函数的解析性8连续、可导、解析的关系：内内解解析析在在 D)z(f可可导导在在0z)z(f解解析析在在0z)z(f内内可可导导在在 D)z(f连连续续在在0z)z(f高高层层中中层层低低层层922(1) (2) ( )21(3) ( )(4) ( )fzg zxyih zzw zz例 判断下列函数的解析性 目标：由定义或定理判断函数的解析点。10220000000000()()|()()h zzh zzzzzzzz zzz zzzzzzz 2( )h zz1111yizxyikixyzxyikiix 不

6、趋于一个确定的值. 因此, h(z)=|z|2仅在z=0处可导, 而在其他点都不可导. 由定义, 它在复平面内处处不解析.11解 因为w在复平面内除点z=0外处处可导, 且21,dwdzz 所以在除z=0外的复平面内, 函数处处解析, 而z=0是它的奇点.1( )w zz12处处都都解解析析。在在处处解解析析有有在在，如如果果定定理理：00)(,)()(),()(),()(:)()(zzgfzgzfzgzfzgzfzzgzf 点点外外，处处处处解解析析。的的分分母母不不为为（两两个个多多项项式式的的商商）除除有有理理分分式式整整个个复复平平面面上上解解析析。有有理理函函数数（多多项项式式）在在

7、0)()()(10zQzPwzazaazPwnn 使分母为零的点是它的奇点使分母为零的点是它的奇点13( )( , )( , )1( , ), ( , )( , )2-C-R),f zu x yiv x yzxiyu x y v x yz x yuvuvxyyx 定理一：在一点可导的充分必要条件为：（ ）在点可微(可导)；（ ）满足柯西 黎曼(方程：2 函数解析的条件函数解析的条件( )( , )( , )1( , ), ( , )2,f zu x yiv x yDu x y v x yDuvuvDCRxyyx 定理二：在区域 内解析的充分必要条件为：）在 内可微；）在 内满足方程：14yui

8、yvxvixu)z(f 给给出出了了求求导导公公式式。导导的的方方法法；提提供供了了判判断断函函数数是是否否可可yvxvyuxu -柯西柯西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程方程将z看作(x,y)的函数z=x+iy,即 f (z)=f (x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) 假设是解析函数, 分别对x求偏导和对y求偏导,由复合函数求导得两个公式：( )( , )( , )( )( )( )( )( , )( , )( )( )( )xxyyf zdzu x yv x yfzfzifzuivxdxxxf zdzu x yv x yfzfz iifzviuydyyy, 即：, 即：

9、由以上两式即可得C-R方程1511( ) 2 ( )Re( ) 3( )(cossin )xf zzf zzzf zeyiy例，判断下列函数的解析性：（）（ ）（）目标：由柯西黎曼方程判断函数的解析性。不满足C-R方程, 所以 f(z) 在复平面内处处不可导、不解析1, 0, 0, 1yvxvyuxu u=x, v=-y,1( )f zz（） 仅当x=y=0时, 它们才满足柯西-黎曼方程，因而函数仅在z=0可导, 但在复平面内任何地方都不解析. u=x2, v=xy2 , 0 , uuvvxyxxyxy，2( )Re( )f zzz（ ）16 u=excos y, v=exsin yyyvyx

10、vyyuyxuxxxxcose,sinesine,cose 柯西-黎曼方程成立, 由于上面四个偏导数都是连续的, 所以f(z)在复平面内处处可导, 处处解析, 且有 f (z)=ux+ivx=ex(cos y+isin y)=f(z) 这个函数就是指数函数ez.3( )(cossin )xf zeyiy（ ）17处处处处解解析析。可可使使：例例)(?,)()(22222zfdcbaydxycxibyaxyxzf 3 ( )0( )fzDf z例 ： 证明 在 内常数00)(yvxvyuxuyuiyvxvixuzf故所以u=常数, v=常数, 因而f(z)在D内是常数.f(z)在D处处可导，故解

11、析，于是有：1812( )( )0( , )( , )f zuivfzu x ycv x yc例4:证明若为解析函数，且则： 曲线组和互相正交。11221212( )0,0(1) ,0( , )( , )1(2) 0,0000yyyyyyxyxyxxyyyxxyxxxyyyfzviuuvuvu x ycukuv x ycvkvu vCRk ku vuvuvuuvkykxuvv 证明：不全为都不为 ，任一条曲线斜率为：任一条曲线斜率为：利用方程得：两曲线正交。不妨设平行与 轴，平行与 轴显然两曲线正交（详见高数第9章9.4节隐函数求导公式）1910111108642x2468v=101y1086

12、42u=02468uv10101010例如函数w=z2对应于两个二元实变函数:u=x2-y2, v=2xy.设 u=c1,v=c2, （分别为z平面上的两族平行直线）相应的有 x2-y2=c1, 2xy=c2（直角坐标平面上的两族分别以直线y=x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线）由于w=z2解析，因此它们必互相正交.203 初初 等等 函函 数数, log , , sin, Ln , , sin ,xxnazaexxezzz本课程针对实变函数中的4个基本初等函数：介绍其相应的初等复变函数：在此基础上用初等函数的四则和复合运算得到一般函数。注注意意性性质质：周周期期性性、多多值值性性、奇奇偶偶性性、

13、解解析析性性在工程中, 往往是要用复变函数来解决实际问题. 而实际问题中遇到的复变函数, 通常都是某个实变函数延拓而来的. 例如实变函数 f (x)=x2-x+1, 相应的复变函数就是f (z)=z2-z+1.21exp ,zz e一、指数函数： （周期性）( )31( )2( )( )3 Im( )0.zxf zf zfzf zzee定义：满足 个条件为指数函数： （ ）在复平面内处处解析； （ ）； （ ）时有( ) exp(cossin )xf zzeyiy|exp|,Arg(exp )2, ()xzezykk其中 为任何整数:( )exp0f zz显然 exp zze指数函数可以用来表

14、示)sin(cosyiyeexz . exp , 的的符符号号只只是是代代替替没没有有幂幂的的意意义义注注意意zez22加法定理加法定理)exp(expexp2121zzzz 证 , , 222111iyxziyxz 设设12expexpzz)sin(cos)sin(cos221121yiyeyiyexx )sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121yyyyiyyyyexx )sin()cos(212121yyiyyexx 12exp()zz2cos2sin21iei2 k i周期为（实变函数不具有的性质）22zizizee ee指数函数的周期性：指数函数的周期

15、性：证 , , 222111iyxziyxz 设设23例例1 );Re()3(;)2(;) 1 ( , 122zzzieeeiyxz求设解解zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 24例例2 求出下列复数的辐角及辐角主值求出下列复数的辐角及辐角主值:22 33 43 4(1); (2); (3); (4)iiiieeee )1( ,21Arg2 kei; 1arg2 ie)2( ,23Arg32

16、 kei; 3arg32 ie3 4(3)Arg42, iek;24arg43 ie3 44Arg42, iek （ ）;24arg43 ie25例例3 的周期的周期求函数求函数. )( 5zezf 解解,2ikez 的的周周期期是是5)(zezf ikze 25510ikze 的周期是的周期是故函数故函数.10 )( 5ikezfz ),10(ikzf 26 12121. ( )02. 3. 4. 2zzzzzzzf zeeee eek i处处解析满足加法定理：周期性：周期为(4)ze 的性质：条 问题： ？2121)(zzzzee27Ln z二、对数函数：（多值）(0)Lnwez zwz使

17、成立的函数lnlnargargLnln21, 2zzizzzzkik 对数函数主值：分支：LnlnArgzziz多值！lnarg2zizi k 0 , Ln lnln ,.zxzzx当时的主值是实变对数函数1. 定义定义28例例4 解解 . )1(Ln , 2Ln 以以及及与与它它们们相相应应的的主主值值求求 Ln2ln22,k i Ln2 ln2. 的的主主值值就就是是 Ln( 1)ln1Arg( 1) (21) 0, 1, 2,ikik Ln( 1) . i的的主主值值就就是是注意注意: 在实变函数中在实变函数中, 负数无对数负数无对数, 而复变数对而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广数

18、函数是实变数对数函数的拓广.29例例5解解. 031 iez解方程解方程 13 ,zei Ln(13 )ziln 132 3iikln223ik(0, 1, 2,)k 302. 性质性质1212(1) Ln()LnLn,zzzz1122(2) LnLnzLn,zzz(3) (), , , 在除去负实轴 包括原点 的复平面内 主值支和其它各分支处处连续 处处可导 且1(ln ),1(Ln ).zzzz两端可能取的函数值的全体是相同的1LnLnLnLnnnznzzzn？ ？31 , ln arg是是单单值值的的内内的的反反函函数数在在区区域域zwzezw ln11wdzdedzzdwln|argW

19、hy zz除原点外，在其它点都是连续的而在原点和负实轴上都不连续(?)性质（性质（3）的证明）的证明所以除原点与负实轴外，在复平面内其它点lnz处处连续由反函数求导法则可得由反函数求导法则可得以上是对主值支的证明，对其它各个分支 ，有类似的结论。321. 乘幂乘幂 , , , Lnabbeaba定义为定义为乘幂乘幂复数复数为任意一个为任意一个为不等于零的一个复数为不等于零的一个复数设设 . Lnabbea 即即注意注意: :. , )2arg(lnLn 也也是是多多值值的的因因而而是是多多值值的的由由于于bakaiaa bbaz三、乘幂与幂函数：、定义：定义： 33abikbaiabeeln2

20、)arg(ln .具有单一的值ba ,0) ,( )2(时为互质的整数与当qqpqpbln(arg2)ln(arg2)lnarg2 ppppppaiakaiakaiaikbqqqqqqaeeee , 个值具有 qab .) 1( , 2 , 1 , 0 时相应的值即取qk , ) 1 (为整数时当b)2arg(lnLn kaiababbeea2种特殊情况：种特殊情况： , 无穷多个值具有除此以外，ba34LnLnLnLnLnLnLnLn1 e, . :) , ee: eee bbannaaaaaaaabnnananibnaa aa 定义当 为正整数 及分数时是与 的 次幂及 的 次根的定义是完

21、全一致的 因为当 为正整数 时 根据定义注意111Lnln| |11) ,arg2arg2eecossinarg2arg2 |cossin,0,1,2,(1).aannnnniibnakakainnakakaiannkn若 是分述有其中35; , bzwza 就就得得到到一一般般的的幂幂函函数数为为一一复复变变数数如如果果. , 1 1nnnnzzwwzzwnnb 的的反反函函数数及及数数就就分分别别得得到到通通常常的的幂幂函函时时与与当当2. 幂函数幂函数36Lnln22( )bbzbzb kibb kif zzeeeze所以： 的多值性取决于的多值性。1111(1) (2) ,1nnnnb

22、znzmbbnnzzn为整数，为单值，处处解析，；为有理数有 个分支多值函数，除原点和负实轴外处处解析，；1(3) bbbbzzbz为一般数，有无穷多个分支，除原点和负实轴外处处解析，3. 幂函数的解析性幂函数的解析性(单值、有限个值、无穷多值单值、有限个值、无穷多值)37例例7 72 1 . ii求和的值解解22Ln11e2 2 k iecos(2 2)sin(2 2)kik 0, 1, 2,. k 其中Lniiiie22 iik ie22 ke 0, 1, 2,. k 其中1,bbbbazzbz目标：求的值。38例例8 8解解Ln(1)(1)iiiie1ln2224 iik ie 0, 1

23、, 2,. k 其其中中ln1(1)iiiArgie 12ln242 kie2411 cosln2sinln222kei ln2.21 )(1 的的辐辐角角的的主主值值为为故故ii 计算计算 并求其辐角的主值并求其辐角的主值 (1)ii39四、三角函数1. 三角函数三角函数 cossin ,iyeyiy因为 cossin ,iyeyiy:cos,2iyiyeey所以sin.2iyiyeeyi推广到自变数取复值的情况推广到自变数取复值的情况,定义复变数的三角函数定义复变数的三角函数:cos2izizeezsin2izizeezisin tan,coszzz正切函数cos cot,sinzzz余切

24、函数1 sec,coszz正割函数1 csc.sinzz余割函数40.cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz 奇偶性周期性.sin)(cos,cos)(sinzzzz 解析性正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.cos2izizeezsin2izizeezicossinizeziz欧拉公式41有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式 . 1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1(22212121212121zzzzz

25、zzzzzzzzz .sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(yixyixyixyixyixyix42例例9 9 . 5sin)( 的的周周期期求求zzf 解解,sin)2sin( zz 因因为为,5sin)25sin( zz 所所以以 525sin)25sin( zz又又因因为为,5sin525sin zz 所所以以 .52 5sin)( 的的周周期期是是故故zzf43sin0z 例10：解方程 sin0022izizizizizizeezeeieezzkzk 44 不不成成立立但但；一一些些三三角角公公式式仍仍然然成成立立欧欧拉拉公公式式仍仍然然成成立立；在在复复平平面面内内处处处处解解析析；的的周周期期函函数数；周周期期为为1cos&1sin, 1cossin)sin(, )cos(sincossincos,cossin2222121 zzzzzzzzzizezzzziz 有有本本质质的的差差异异有有相相同同的的基基本本性性质质，但但与与解解释释当当：zxzeeeeziyzyyyiyiiyisinsincoslim22cos)()( 2. 三角函数性质（三角函数性质（5条）：条）：45小结小结第二章第二章一一、导导数数与与解解析析：、导导数数定定义义：10000()()(