流体平衡微分方程及其积分

1、2-2 流体平衡微分方程及其积分流体平衡微分方程及其积分函数的具体形式的推导一、平衡微分方程二、平衡微分方程的积分三、等压面),(zyxfp 2-2 流体平衡微分方程及其积分流体平衡微分方程及其积分数学基础知识:一元函数的泰勒级数展开一元函数的泰勒级数展开 如图,取微元六面体，形心C(x,y,z), p 将p按泰勒级数展开,且取线性项则有200000)(! 2)( )( )()(xxxfxxxfxfxfdxxpp pdxxpp p21212-2 流体平衡微分方程及其积分流体平衡微分方程及其积分一、平衡微分方程一、平衡微分方程（平衡受力条件）取微元六面体，形心C(x,y,z), p以x方向为例受

2、力分析表面力表面力质量力质量力力平衡力平衡化简化简dxxppp21dxxp21pp dxdydzXdGx0 xdF0dxdydzXdydzdxxp21pdydzdxxp21p)()(0dxdydzxpdxdydzX01xpX2-2 平衡微分方程及其积分平衡微分方程及其积分 一、平衡微分方程一、平衡微分方程 同理，可对其它两个坐标方向分析，结果 欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程(欧拉，1755年) 物理意义物理意义 :单位质量流体平衡时各轴向表面力和质量力的平衡关系 绝对静止、相对静止均适用绝对静止、相对静止均适用 (对质量力无限制)4)-2010101（zpZypYxpX2-2 流体平衡微分方

3、程及其积分流体平衡微分方程及其积分二、平衡微分方程的积分二、平衡微分方程的积分 由将上式中的三个方程分别乘以 、 、 ，然后相加，得 等式左端为p的全微分，即有 流体微分方程的全微分表达式流体微分方程的全微分表达式 4)-2 010101（zpZypYxpXdxdy dz)(ZdzYdyXdxdzzpdyypdxxp5)-(2 )(ZdzYdyXdxdp2-2 流体平衡微分方程及其积分流体平衡微分方程及其积分二、平衡微分方程的积分二、平衡微分方程的积分设等式右端为W的全微分可见 W称为力势函数称为力势函数 W对某个坐标方向的偏导,即为单位质量力在此方向的投影. 有势函数存在有质量力称为有势的质

4、量力,如重量力和惯性力. )(ZdzYdyXdxdpzdzYdyXdxdzzwdyywdxxwdwzwZywYxwX, ,dwdp2-2 平衡微分方程及其积分平衡微分方程及其积分 二、微分方程的积分W称为力势函数例: 仅重力作用 ZgdzdwgdzdwgzwmgzwgZYX,0,02-2 流体平衡微分方程及其积分流体平衡微分方程及其积分三、等压面三、等压面 平衡流体中压强相等的点所组成的面。等压面方程且由 得 即等压面有重要特性: 等压面和质量力相互垂直等压面和质量力相互垂直证明: S900cos0 ),( ),( Jl dJl dJl dJZYXJdzdydxl d即的投影单位质量力在相应轴向影等压面上的微小位移投Cp 0ZdzYdyXdxdp)(0ZdzYdyXdx2-2 流体平衡微分方程及其积分流体平衡微分方程及其积分三、等压面三、等压面等压面特性的应用等压面特性的应用: 由质量力可以确定等压面的形状由质量力可以确定等压面的形状例例 仅重力作用下,自由液面为水平面 有离心惯性力作用时,自由液面为曲面 2-2 流体平衡微分方程及其积分流体平衡微分方程及其积分小结：小结：1. 欧拉平衡微分方程2. 平衡微分方程的积分3. 等压面 平衡流体中压强相等的点所组成的面。平衡流体中压强相等的点所组成的面。 等压面有