第五章导数专题-导数构造法解决函数问题讲义

1、导数构造法解决函数问题关系式为“加”型：（1） 构造（2） 构造（3） 构造（4）构造（注意对的符号进行讨论）（5） 构造关系式为“减”型（6） 构造（7） 构造（8） 构造（9）构造（注意对的符号进行讨论）（10） 构造【类型1 直接构造函数】【例1】函数的定义域为R，f1=2，对任意，则的解集为（ ） 【解析】 令所以为的单调递增函数，又因为所以不等式的解集为(1,+)【变式1-1】（1）定义在上的函数满足，对任意的有，则不等式的解集是 【解析】，令，则，设，则，所以，即函数单调递减，又因为，为偶函数，所以，即（2）已知函数f(x)(xR)满足f3=4，且f(x)的导函数f'x&l

2、t;1，则不等式fx21<x2的解集为（ ）A.(2,2) B.(,2)(2,+) C.(3,3) D.(,3)(3,+)【答案】B【解析】令gx=fxx，则g'x=f'x1<0，所以g(x)在R上单调递减因为不等式fx21<x2，可等价于fx21x21<f33，即gx21<g(3)，所以x21>3，所以x>2或x<2.（3）设f'(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数，f'x<3，f3=2，则fx>3x+7的解集为（ ）A.(,1) B.(,3) C.(3,0)(1,+) D.(1,0)(1,+)【

3、答案】B【解析】因为f'x<3，即f'x3<0，设函数gx=fx3x，g'x=f'x3<0，则g(x)在R上单调递减，又f3=2，所以g3=f33×3=7，不等式fx>3x+7转化为：f(x03x>7，即gx>g3，所以x<3.（4）已知函数f(x)的定义域为R，f1=e，若对任意实数x都有f'x>e，则不等式fx>ex+2e的解集是（ ）A.(,1) B.(1,+) C.(1,1) D.(1,+)【答案】B【解析】记Fx=fxex，对任意实数x都有f'x>e，F'x=

4、f'xe>0，函数F(x)是定义在R上的单调递增函数，f1=e，F1=f1+e=2e，fx>ex+2e，fxex>2e，Fx>F1，函数F(x)是定义在R上的单调递增函数x>1【变式1-2】（1）设奇函数f(x)在R上存在导函数f'(x)，且在(0,+)上f'x<x2，若f1mfm131m3m3，则实数m的取值范围为（ ）A.12,12 B.,1212,+) c.(,12 D.12,+)【答案】D【解析】f1mfm13(1m)3m3，即f1m131m3fm13m3，构造函数gx=fx13x3，根据题意可知：在(0,+)上，g'

5、x=f'xx2<0，故g(x)在(0,+)上单调递减，f(x)为奇函数，gx=fx+13x3=fx+13x3=g(x)，即g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递减，因此原不等式可化为：g1mg(m)，即1mm，解得m12.（2）已知定义在R上的奇函数f(x)，若f(x)的导函数f'x<x2+1，则不等式fx<x33+x的解集为（ ）A.(0,+) B.(0,13) C.(13,+) D.(,3)【答案】A【解析】设gx=13x3+xf(x)，则g'x=x2+1f'(x)，因为f'x<x2+1，所以g'x>0，所以g

6、(x)在R上单调递增，又f(x)是定义在R上的奇函数，则g0=f0=0，所以gx>0x>0，又因为不等式fx<13x3+x的解集等价于不等式gx>0的解集.所以fx<13x3+xx>0【类型2 f'xgx+f(x)g'(x)】【例2】设f(x)，g(x)是上的可导函数，f'xgx+f(x)g'(x)<0，g3=0，求不等式fxgx<0的解集。【解析】同上题的原函数为，构造新函数可知，单调递减，又因为即，所以的解集是【变式2-1】设f(x)，g(x)在R上的导函数分别是f'(x)，g'(x)，且满足f

7、'xgx+fxg'x<0，则当时，有（ ） 【答案】C【解析】因为不等式左边的原函数为，因此需要构造新函数，令，可知，则函数是单调递减函数，因此当，有即【类型3xf'x+fx0构造xfx'=xf'x+f(x)】【例3】已知f(x)是定义在(0,+)上的非负可导函数，且满足xf'x+fx0对任意正数a，b，若a<b，则必有（ ）A.afbbf(a) B.bfaaf(b) C.afaf(b) D.bfbf(a)【答案】A【解析】构造函数y=xf(x)，x0,+.由于xf'x+fx0，故函数y=xf(x)在0,+上单调递减或为常函数

8、.所以对任意正数a，b，若a<b，则必有afabf(b).又因为fx0，且0<a<b，结合不等式性质，有afabf(a)，afbbfb.综上所述，afbbfbafabf(a).【变式3-1】（1）已知y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，不等式xf'x+fx<0成立，若a=30.3f(30.3)，b=log3f(log3)，c=log319f(log319)，则a，b，c的大小关系是 【答案】c>b>a【解析】令gx=xf(x)，由条件知，x>0时，g'x<0，即g(x)在(0,+)上单调递减.又f(x)为偶函数，

9、则g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递减.又log319<log3<30.3，所以c>b>a.（2）已知f'(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且满足xf'x+fx>0对任意的xR都成立，则下列选项中一定正确的是（ ）A.f1>f(2)2 B.f(1)2>f(2) C.f1<f(2)2 D.f(1)2<f(2)【答案】D【解析】令Fx=xf(x)，则F'x=xf'x+fx>0，故F(x)为R上的增函数，所以F2>F(1)，即2f2>f(1).【变式3-2】已知定义为R的奇函数f(x

10、)的导函数为f'(x)，当x0时，f'x+f(x)x>0，若a=12f(12)，b=2f(2)，c=ln2f(ln2)，则下列关于的大小关系正确的是（ ） D.b>c>a【答案】D【解析】令gx=xf(x)，则g'x=fx+xf'(x).当x0时，f'x+f(x)x>0当x>0时，xf'x+fx>0，即当x>0时，g'x>0，因此当x>0时，函数gx单调递增.函数f(x)为奇函数，b=2f2=2f(2)，2>ln2>12，g2>gln2>g(12)，即b>

11、c>a.【变式3-3】已知定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ） 【答案】D【解析】令单调递减【变式3-4】（1）已知函数的定义域为，为的导函数，且，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由题得，设，所以函数在上单调递增，因为，所以当时，；当时，当时，所以当时，所以当时，所以综上所述，故答案为C（2）已知函数是偶函数，且当时满足，则（ ）A B C D【答案】A【解析】是偶函数，则的对称轴为，构造函数，则关于对称，当时，由，得，则在上单调递增，在上也单调递增，故，本题选择A选项【类型4 f'x+fx0 构造exfx'=exf'x+f(x) 】【例4】已知

12、函数的定义域为R，且对任意的，则对任意正数a必有（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】构造函数Fx=exf(x)，则F'x=exf'x+f(x)>0，故F(x)在R上单调递增，又a>0，所以Fa>F(0)，即eafa>e0f(0)，所以fa>f(0)ea，故选D.【变式4-1】已知f(x)为R上的可导函数，且对任意的xR，均有fx+f'x<0.是比较e2019f2019与f(0)的大小 【答案】e2019f2019<f(0)【解析】构造函数x=exf(x)，则'x=exfx+exf'x=exfx+f

13、9;(x)<0，即(x)在R上单调递减，故2019<(0)，即e2019f2019<e0f(0)，即e2019f2019<f(0).【变式4-2】已知函数f(x)的定义域为R，且fx>1f'(x)，f0=4，则不等式fx>1+eln3x的解集为（ ）A.(0,+) B.(12,+) C.(1,+) D.(e,+) 【答案】A【解析】令所以为上的单调减函数，又因为，故不等式的解集为【变式4-3】定义在R上的函数f(x)满足fx+f'x>1，f0=4则不等式exfx>ex+3的解集为_.【答案】(0,+)【解析】因为fx+f'

14、x>1，设x=exf(x)，则'x=exfx+f'(x)，不等式exfx>ex+3exfxex3>0，设函数gx=exfxex3，g'x='xex，因为fx+f'x>1，所以'x>ex，所以g'x>0，又因为f0=4，所以g0=f013=0，综上可判断出g(x)在定义域内单调增且g0=0，因此原不等式的解集为(0,+).【类型5 xfx+nfx0 】【例5】已知奇函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f'(x)，当x>0时，有2fx+xf'x>x2，则不等式x+201

15、82fx+2018+4f2<0的解集为（ ）A.(,2016) B.(2016,2012) C.(2020,2016) D.(2016,0)【答案】A【解析】因为f(x)为R上的奇函数，所以fx=f(x)，设gx=x2f(x)，所以gx=(x)2fx=x2fx=g(x)，所以gx为R上奇函数，对g(x)求导，得g'x=x2fx+xf'(x)，而当x(0,+)时，有2fx+xf'x>x20故x(0,+)时，g'x>0，即g(x)单调递增，又g(x)为R上可到，g(x)在x=0处连续，所以g(x)在R上单调递增，不等式x+20182fx+2018+

16、4f2<0，x+20182fx+2018<4f2，x+20182fx+2018<4f2，即gx+2018<g(2)，所以x+2018<2，解得x<2016【变式5-1】已知函数f(x)的定义域为R，且其图象关于坐标原点对称，当x>0时，对xf'x+2fx<0（f'(x)为f(x)的导函数），则使得f(x)x22>0成立的x的取值范围为（ ）A.(,1)(0,1) B.(,2)(0,1) C.(,2)(0,2) D.(,1)(0,2)【答案】C【解析】令gx=x2f(x)，由题可知f(x)为奇函数，g(x)也为奇函数，g

17、9;x=2xfx+x2f'(x)，当x>0时，xf'x+2fx<0，即x2f'x+2xfx<0.当x>0时，g'x<0，g(x)在(0,+)上单调递减.g(x)在R上为奇函数，g(x)在R上单调递减，且g0=0，当x<0时，gx=x2fx>0，即fx>0，当x=0时，f0=0，当x>0时，fx<0，f(x)x22>0，当x<0时，由fx>0，得x22>0，解得解集为xx<2；当x=0时，f0=0，则f(x)x22>0的解集为空集；当x>0时，由fx<0，的

18、x22>0，解得的解集为x0<x<2综上所述，x的取值范围为(,2)(0,2).【变式5-2】设定义在(0,+)的函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足xf'x+3fx>0，则关于x的不等式x313fx3f3<0的解集为（ ）A.(3,6) B.(0,3) C.(0,6) D.(6,+)【答案】A【解析】令gx=x3f(x)，g'x=x23fx+xf'(x)>0，所以g(x)在(0,+)上单调递增，x313fx3f3<0，即x33fx327f3<0，所以gx3<g(3).x3<3x3>0，所以3

19、<x<6.【变式5-3】已知偶函数f(x)的定义域为xRx0，f'(x)是f(x)的导数，2fx+xf'x>1x，不等式x2fx+lnx2+1f1ln20的解集是（ ）A.,11,+) B.1,0)(0,1 C.(,1 D.(0.1【答案】B【解析】设gx=x2fxln(x2+1)，定义域是xRx0.显然gx=x2fxlnx2+1=x2fxlnx2+1=g(x)，g(x)是偶函数，x>0时，由2fx+xf'x>1x，得2xfx+x2f'x>1，又g'x=2xfx+x2f'x2xx2+1，x>0时，x2+1

20、2x>0，2xx2+11，不等式x2fx+lnx2+1f1ln20，即为gxg10，gxg(1)，即gxg(1)，x1，1x<0或0<x1.【类型6 f'x+f(x)】【例6】设函数fx的定义域为R，f'(x)是其导函数，若3fx+f'x>0，f0=1，则不等式fx>e3x的解集是（ ）A.(0,+) B.(1,+) C.(,0) D.(0,1)【答案】A【解析】令gx=e3xf(x)，则g'x=3e3xfx+e3xf'(x)，因为3fx+f'x>0，所以3e3xfx+e3xf'x>0，所以g&#

21、39;x>0，所以函数gx=e3xf(x)在R上单调递增，而fx>e3x可化为e3xfx>1，又g0=e3×0f0=1，即gx>g(0)，解得x>0，所以不等式fx>e3x的解集是(0,+).【类型7 f'xgxf(x)g'(x)】【例7】设fx、g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f'xgxfxg'x<0，则当a<x<b时有（ ）A.fxgx>f(b)g(b) B. fxgb>f(b)g(x) C. fxga>f(a)g(x) D. fxgx>f(a)g(x)【答案

22、】B【解析】设Fx=f(x)g(x)，则F'x=f'xgxfxg'(x)g(x)2，由f'xgxfxg'x<0，得F'x<0，因为a<x<b所以f(b)g(b)<f(x)g(x)<f(a)g(a)，又fx、g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，故.fxgb>f(b)g(x).【变式7-1】设fx、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'xgxfxg'x>0，且g3=0，则不等式fxgx<0的解集是（ ）A.(,3)(0,3) B.(3,0)(0,3)

23、 C. (,3)(3,+) D. (3,0)(3,+)【答案】D【解析】构造函数x=f(x)g(x)，因为x=f(x)g(x)=f(x)g(x)=(x)，故(x)是奇函数.又'x=f'xgxfxg'(x)g(x)2，故当x<0时，'x<0，(x)单调递减.又3=f(3)g(3)=0，再根据奇偶性画出x=f(x)g(x)的简图.易得f(x)g(x)<0的解集为(3,0)(3,+)，即不等式fxgx<0的解集是(3,0)(3,+)【变式7-2】已知函数f(x)的导数为f'(x)，若x2+1f'x>2xf(x)，且f2=5

24、，则不等式fx23x<(x23x)2+1的解集是 【答案】(1,2)【解析】由x2+1f'x>2xf(x)可得x2+1f'x2xfx>0，所以x2+1f'x2xf(x)(x2+1)2>0，即fxx2+1'>0.令gx=f(x)x2+1，即g'x>0，则g(x)单调递增.不等式fx23x<(x23x)2+1fx23xx23x2<1，而g2=f(2)(2)2+1=1，所以不等式fx23xx23x2<1gx23x<g2，所以x23x<2，解得1<x<2.【变式7-3】（1）函数f(x

25、)定义在(0,2)上，f6=2，其导函数是f'(x)，且fxcosx<f'(x)sinx恒成立，则不等式fx>22sinx的解集是 【答案】(6,2)【解析】fxcosx<f'(x)sinx，f'xsinxfxcosx>0，构造函数gx=f(x)sinx，则g'x=f'xsinxf(x)cosxsin2x，当x(0,2)时，g'x>0，g(x)在(0,2)单调递增，不等式fx>22sinx，即gx>g(6)，6<x<2（2）定义域为(2,2)的函数f(x)满足fx+fx=0，其导函数为

26、f'(x)，当0x<2时，有f'xcosx+fxsinx<0成立，则关于x的不等式fx<2f(4)cosx的解集为（ ）A.(2,4)(4,2) B. (4,2) C. (4,0)(0,4) D. (4,0)(4,2)【答案】B【解析】fx+fx=0且x(2,2)，f(x)是奇函数,设gx=f(x)cosx，则0x<2时，g'x=f'xcosx+f(x)sinxcos2x<0，g(x)在0,2)上是减函数.又f(x)是奇函数，gx=f(x)cosx也是奇函数，因此g(x)在(2,0是递减，从而，g(x)在(2,2)上是减函数，不等式

27、fx<2f(4)cosx为f(x)cosx<f(4)cos4，即gx<g(4)，4<x<2.【类型8 xf'xfx0】【例8】（2015 全国新课标卷）设函数f'(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f1=0，当x>0时，xf'xfx<0，则使得fx>0成立的x的取值范围时（ ）A.(,1)(0,1) B.(1,0)(1,+) C. (,1)(1,0) D. (0,1)(1,+)【答案】A【解析】构造函数gx=f(x)x，则g'x=xf'xf(x)x2，因为当x>0时，xf'xfx<0

28、，故当x>0时，g'x<0，所以g(x)在0.+上单调递减；又因为f(x)(xR)上是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(,0)上单调递增，且g1=g1=0.当0<x<1时，gx>0，则fx>0；当x<1时，gx<0，则fx>0，综上所述，使得fx>0成立的x的取值范围是(,1)(0,1).【变式8-1】已知f(x)在R上可导，且fx+fx=x2，若对任意x>0，xf'xfx>12x2，试解不等式f(x+1)x+1f1x1x>x【答案】(0,1)(1,+)【解析】当x0时，f(x)x+f(

29、x)x=x，则f(x)xx2=fxx(x2)，记gx=f(x)xx2，则g(x)为偶函数，又g'x=xf'xf(x)x212，故对x>0，g'x>0.所以，g(x)在(0,+)上单调递增，由原不等式变形得，f(x+1)x+1x+12>f1x1x1x2，则g1+x>g(1x)，即g1+x>g(1x)，故1+x>1x，x>0且x1.当x=0时，f(1)1f11=0，不符合原不等式，因此，不等式的解集为(0,1)(1,+).【变式8-2】设f'(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f1=0，当时，则使得成立的的取值范围是（

30、） 【解析】令当时，因为为上的奇函数且，所以，所以当时，当时，又因为，故为偶函数，当，当时，综上，的解集为【变式8-3】（1）是定义在上的非负可导函数，且，对任意正数，若则必有（ ） 【解析】，则应设，在上，函数，单调递减，因此，即（2）f(x)是定义在(0,+)上的非负、可导函数，且满足xf'xfx0，对任意正数a，若ab，则必有（ ）A.a2fbb2f(a) B. a2fbb2f(a) C. a2fab2f(b) D. a2fab2f(b)【答案】A【解析】设gx=fxx(x>0)，则g'x=xf'xf(x)x2；因为xf'xfx0，所以x>0时

31、，g'x0，则函数gx=f(x)x在(0,+)上是减函数或者常函数；所以对任意正数a,b，若ab，则必有ga=f(a)agb=f(b)b.f(x)是定义在(0,+)上的非负可导函数，bfaafb>0a<ab，1a1b>0，两式相乘得1a×bfa1b×afbb2faa2f(b).【变式8-4】设是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，有恒成立，则不等式的解集为（ ）A B C D【答案】B【解析】设，则，当时，有恒成立，当时，在上单调递增，是定义在上的偶函数，即是定义在上的奇函数，在上也单调递增.又，.不等式的解可等价于即的解，或，不等式的解集为.故选

32、：B.【类型9 f'xf(x)型】【例9】已知f(x)是R上的可导函数，且任意xR，均有fx>f'(x)，则有（ ）A.e2019f2019<f0,f2019>e2019f(0)B.e2019f2019<f0,f2019<e2019f(0)C.e2019f2019>f0,f2019>e2019f(0)D. e2019f2019>f0,f2019<e2019f(0)【答案】【解析】构造函数x=f(x)ex，则'x=fxex'=f'xexexf(x)e2x=f'xf(x)ex<0，所以函数x

33、=f(x)ex在R上单调递减，故2019>(0)，即f(2019)e2019>f(0)e0，e2019f2019>f(0)；同理，2019<0，即f2019<e2019f(0)，故选D【变式9-1】可导函数f(x)(xR)满足f'cfx>0，比较f(1)与ef(0)的大小。【答案】f1>ef(0)【解析】构造Fx=f(x)ex，则F'x=f'xexexf(x)(ex)2=f'xf(x)ex>0，所以F(x)是R上的单调递增函数，因此F1>F(0)，即f(1)e>f(0)e0，f1>ef(0).【变

34、式9-2】已知定义在R上的可导函数的部分导函数为，满足且为偶函数，求不等式的解集.【答案】(0,+)【解析】设函数gx=f(x)ex1，则g'x=f'xexf(x)exe2x=f'xf(x)ex<0，所以函数gx=f(x)ex1是R上的单调递减函数。又y=f(x+1)为偶函数，f2=1，所以，函数y=f(x)关于直线x=1对称且f0=f2=1，则fx<ex，即f(x)ex1<f0e01=0，即gx<g(0)，而函数gx=f(x)ex1是R上的单调递减函数，所以x>0，即不等式fx<ex的解集为(0,+).【变式9-3】已知函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，为自然对数的底数，则（ ） 【答案】C【解析】由，构造函数，求导得，函数在定义域内单调递增，所以【变式9-4】设为的导函数，且,（为自然对数的底数），则不等式的解集为 【答案】(0,e)【解析】，令为上的递增函数，令，则不等式可化为，即不等式可化为：，即解得【类型10 f'xf(x)】【例10】定义在(0,+)上的函数满足，且，求的取值范围.【答案】(827,49)【解析】由x>0，且2fx&l