压轴题放缩法技巧全总结

1、压轴题放缩法技巧全总结高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩 技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继 学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素 材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结 构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；具放缩技巧主要 有以下几种：一、裂项放缩例1(1)求的值；(2)求证：解析：(1)因为，所以(2)因为，所以技巧积累：(1) (2)(3)例2(1)求证：(2)求证：(3)求证：(4)求证：解析：(1)因为，所以(2)(3)先运用分式放缩法证明出，再结合 进行裂项

2、，最后就可以得到答(4)首先，所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例3求证：解析：一方面：因为，所以另一方面：当时，当时，当时，所以综上有例4(2008年全国一卷)设函数 数列 满足设，整数证明：解析：由数学归纳法可以证明是递增数列，故若存在正整数，使，则，若，则由知,因为，于是例已知，求证：解析:首先可以证明：所以要证只要证：故只要证，即等价于，即等价于而正是成立的，所以原命题成立例6已知一求证：解析：所以从而例7已知一求证：证明：，因为，所以所以二、函数放缩例8求证：解析:先构造函数有，从而ause所以例9求证:(1)解析:构造函数，得到，再进行裂项，求和后可以得

3、到答案函数构造形式：，例10求证：解析:提示：函数构造形式：当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数，首先：，从而，取有，所以有,，相加后可以得到：另一方面，从而有取有，所以有，所以综上有例11求证：和解析:构造函数后即可证明例12求证：解析：，叠加之后就可以得到答案函数构造形式：（加强命题）例13证明：解析:构造函数，求导，可以得到：，令有，令有，所以，所以，令有，所以，所以例14已知证明解析：，然后两边取自然对数，可以得到然后运用和裂项可以得到答案）放缩思路：。于是，注：题目所给条 （）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论放缩：即例16（2008年福

4、州市质检）已知函数 若解析:设函数函数）上单调递增，在 上单调递减的最小值为，即总有而即令贝U例1（2008年厦门市质检）已知函数 是在 上处处可导的函数，若 在上恒成立（I）求证：函数 上是增函数；（II）当；（III）已知不等式 时恒成立，求证：解析：（I），所以函数 上是增函数（II）因为上是增函数，所以两式相加后可以得到相加后可以得到：所以令，有所以（方法二）所以又，所以三、分式放缩姐妹不等式：和记忆口诀”小者小，大者大”解释:看b,若b小,则不等号是小于号，反之例19姐妹不等式：和也可以表示成为和解析：利用假分数的一个性质可得即例20证明:解析：运用两次次分式放缩：（加1）（加2）相

5、乘，可以得到：所以有四、分类放缩例21求证：解析：例22（2004年全国高中数学联赛加试改编）在平面直角坐标 系中，轴正半轴上的点列与曲线（0上的点列满足，直线在 x轴上的截距为 点 的横坐标为，（1）证明> >4 , ; （2）证明有，使得对都有<解析：（1）依题设有：，由得：，又直线在轴上的截距为满足显然，对于，有（2）证明：设，则设，则当时，。所以，取，对都有：故有&lt；成立。例23（2007年泉州市高三质检）已知函数，若 的定义域为 1, 0, 值域也为1, 0若数列满足，记数列的前项和为，问是否存 在正常数A,使得对于任意正整数 都

6、有？并证明你的结论。解析:首先求出，:，故当时，因此，对任何常数A,设 是不小于A的最小正整数，则当时,必有故不存在常数A使对所有的正整数恒成立例24（2008年中学教学参考）设不等式组表示的平面区域为设内整数坐标点的个数为 设，当时,求证：解析:容易得到，所以，要证 只要证，因为，所以原命题得证五、迭代放缩例2已知，求证:当时，解析:通过迭代的方法得到，然后相加就可以得到结论例26设，求证:对任意的正整数，若An恒有:|Sn+ Sn|<1n解析：又所以六、借助数列递推关系例27求证：解析：设则，从而，相加后就可以得到所以例28求证：解析：设则 ，从而，相加后就可以得到例29若，

7、求证：解析：所以就有七、分类讨论例30已知数列 的前 项和 满足 证明：对任意的整数，有解析:容易彳#到，由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时（减项放缩），于是当 且 为偶数时 当 且 为奇数时（添项放缩）由知 由 得证。八、线性规划型放缩例31设函数若对一切，求的最大值。解析:由知即由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为因此对一切，的充要条是，即，满足约束条，由线性规划得，的最大值为.九、均值不等式放缩例32设求证解析：此数列的通项为即注：应注意把握放缩的 度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过度”了！根据所证不等式的结构特征选取所需要的重要不

8、等式，这里其中，等的各式及其变式公式均可供选用。例33已知函数，若，且 在0, 1上的最小值为，求证：解析：例34已知为正数，且，试证：对每一个，解析：由得，又，故，而，令，则=,因为，倒序相加得=,而，则=，所以，即对每一个，例3求证解析：不等式左=,原结论成立例36已知，求证：解析：经过倒序相乘，就可以得到例37已知，求证：解析:其中：，因为所以从而，所以例38若，求证：解析：因为当 时，所以，所以，当且仅当 时取到等号所以所以所以例39已知，求证：解析：例 40 已知函数 f(x)=x2 ( 1)•21nx( 6 N*)是奇数，n 6 N* 时,求证：f(x)n2n1

9、•f' (xn) >2n(2n2)解析：由已知得，当n=1时，左式二右式=0：不等式成立，左式=令由倒序相加法得：所以所以 综上，当是奇数， 时，命题成立例41 (2007年东北三校)已知函数(1)求函数 的最小值，并求最小值小于0时的 取值范围；(2)令求证：例42 (2008年江西高考试题)已知函数，对任意正数，证明:解析:对任意给定的一由，若令，则，而(一)、先证；因为，又由，得.所以(二)、再证；由、式中关于 的对称性，不妨设.则(i )、当，则，所以，因为，,此时.(ii)、当，由得，因为所以同理得，于是今证明，因为，只要证，即，也即，据，此为显然.

10、因此得证.故由得.综上所述，对任何正数，皆有.例43求证：解析:一方面：（法二）另一方面：十、二项放缩,例44已知证明解析：即4设，求证：数列单调递增且解析：引入一个结论：若则（证略）整理上式得 （）以代入（）式得即单调递增。以代入（）式得此式对一切正整数 都成立，即对一切偶数有 ，又因为数列 单调递增，所以对一切正整数有。注：上述不等式可加强为 简证如下：利用二项展开式进行部分放缩：只取前两项有对通项作如下放缩：故有上述数列 的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景：已知是正整数，且 （1）证明；（2）证明 （01年全国卷理科第20题） 简析对第（2）问：用代替得数列是递减数列；借鉴此结论

11、可有 如下简捷证法：数列递减，且故即。当然，本题每小题的证明方法都有 10多种，如使用上述例所提供的 假分数性质、贝努力不等式、甚至构造 分房问题”概率模型、构造函 数等都可以给出非常漂亮的解决！详见1。例 46 已知 a+b=1,a>0,b>0,求证：解析：因为a+b=1,a>0,b>0,可认为 成等差数列，设，从而例47设，求证解析：观察的结构，注意到，展开得,即，得证例48求证：解析:参见上面的方法，希望读者自己尝试！）例42（2008年北京海淀月练习）已知函数，满足：对任意，都有；对任意都有（I）试证明： 为 上的单调增函数；（I

12、I）求；（III）令，试证明：解析:本题的亮点很多，是一道考查能力的好题（1）运用抽象函数的性质判断单调性因为，所以可以得到，也就是，不妨设，所以，可以得到，也就是说 为 上的单调增函数(2)此问的难度较大，要完全解决出需要一定的能力！首先我们发现条不是很足，尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论，一发现就有思路了 ！由(1)可知，令，则可以得到，又，所以由不等式可以得到，又，所以可以得到接下要运用迭代的思想：因为，所以,在此比较有技巧的方法就是：，所以可以判断当然，在这里可能不容易一下子发现这个结论，所以还可以列项的方法，把所有项数尽可能地列出，然后就可以得到结论所以,综合有=

13、(3)在解决 的通项公式时也会遇到困难，所以数列 的方程为，从而，一方面，另一方面所以，所以，综上有例49已知函数fx的定义域为0,1,且满足下列条：对于任意0,1,总有，且；若则有(I ) 求 f0的值；(H ) 求证fx 茶 4（m）当时，试证明：解析：（I）解：令，由对于任意0,1,总有，又由得即（n）解：任取且设则因为，所以，即当0,1时，（田）证明：先用数学归纳法证明：（1）当n=1时，不等式成立；（2）假设当n=时，由得即当n=+i时，不等

14、式成立由（1）、（2）可知，不等式 对一切正整数都成立于是，当时， ，而0,1,单调递增所以，例0已知：求证：解析:构造对偶式：令则=又（十一、积分放缩利用定积分的保号性比大小保号性是指，定义在 上的可积函数，则例1求证：解析：，;，时，利用定积分估计和式的上下界定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它估计小矩形的面积和例2求证：，解析：考虑函数在区间上的定积分如图，显然-对求和，例3已知求证：解析:考虑函数在区间上的定积分.-例4 （2003年全国高考江苏卷）设，如图，已知直线 及曲线：， 上的点 的横坐标为 （）从 上的点 作直线平行于 轴，交直线 于 点，再从点作直线

15、平行于轴，交曲线于点的横坐标构成数列（I）试求 与 的关系，并求 的通项公式；（n）当时，证明；（田）当时，证明解析：（过程略）证明（II）：由知，: ，.二;当时，证明（田）：由知恰表示阴影部分面积，显然奇巧积累：将定积分构建的不等式略加改造即得 初等”证明，如:；十二、部分放缩（尾式放缩）例求证：解析：例6设求证：解析：又（只将其中一个 变成，进行部分放缩），于是 例7设数列满足，当时证明对所有有；解析：用数学归纳法：当 时显然成立，假设当 时成立即，则当 时 ,成立。利用上述部分放缩的结论 放缩通项，可得注：上述证明 用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明 就直接使用了

16、部分放缩的结论十三、三角不等式的放缩例8求证：解析：(i)当时，(ii)当 时，构造单位圆，如图所示：因为三角形AB的面积小于扇形AB的面积所以可以得到当时所以当时有(iii)当时，由(ii)可知：所以综上有十四、使用加强命题法证明不等式(i)同侧加强对所证不等式的同一方向(可以是左侧，也可以是右侧)进行加强如要证明，只要证明，其中 通过寻找分析，归纳完成例9求证:对一切，都有解析：从而当然本题还可以使用其他方法，如：所以(ii)异侧加强(数学归纳法)(iii)双向加强有些不等式，往往是某个一般性命题的特殊情况，这时，不妨”返璞归真”通过双向加强还原其本面目，从而顺利解决原不等式其基本原理为：

17、欲证明，只要证明：例60已知数列满足：，求证：解析：，从而，所以有，所以又，所以，所以有所以所以综上有引申：已知数列满足：，求证：解析:由上可知，又，所以从而又当时，所以综上有同题引申：(2008年浙江高考试题)已知数列，一记，求证:当时；*解析：(1)，猜想，下面用数学归纳法证明：(i)当时一结论成立；(ii)假设当时，则时，从而，所以所以综上有，故(2)因为 则相加后可以得到：，所以，所以(3)因为，从而，有，所以有，从而，所以，所以所以综上有例61(2008年陕西省高考试题)已知数列 的首项(1)证明:对任意的一；(2)证明：解析:(1)依题，容易得到，要证即证即证，设所以即证明从而，即

18、，这是显然成立的所以综上有对任意的,（法二）,原不等式成立.（2）由（1）知，对任意的，有.取，则.原不等式成立.十四、经典题目方法探究探究1（2008年福建省高考）已知函数 若 在区间 上的最小值为令求证：证明:首先:可以得到先证明（方法一）所以（方法二）因为，相乘得：，从而（方法三）设A= ,B=,因为A&lt；B,所以A2<AB,所以，从而下面介绍几种方法证明（方法一）因为，所以，所以有（方法二），因为，所以令，可以得到，所以有（方法三）设 所以从而，从而又，所以(方法四)运用数学归纳法证明：当 时，左边二，右边=显然不等式成立；(ii)假设时，则时，所以要证明，只要证明，这是成立的这就是说当 时,不等式也成立，所以，综上有探究2(2008年全国二卷)设函数 如果对任何，都有，求 的取值范 围.解析:因为，所以设，则,因为，所以(i)当 时，恒成立，即，所以当 时，恒成立(ii)当 时，因此当 时，不符合题意(iii)当时，令，则故当时，因此在上单调增加故当时，即于是，当时，所以综上有的取值范围是变式：若，其中且一求证:证明：容易得到由上面那个题目知道就可以知道同型衍变：(2006年全国一卷)已知函数 若对任意x 6 (0,1)恒有f(x) &a