专题15点的轨迹、直线与圆、圆与圆的位置关系初升高衔接教材系列二(解析版)

1、强喀公立号：音中毒事专题15点的轨迹、直线与圆、圆与圆的位置关系一、知识点精讲(一)点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r ;同时，到定点的距离等于r的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长r的点的轨迹.我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；(2)图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条

2、件的任何一点都在图形上下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹从上面对圆的讨论，可以得出：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线(二)直线与圆、圆与圆的位置关系判定(1)设有直线l和圆心为。且半径为r的圆，怎样判断直线l和圆O的位置关系？如图：不难发现直线与圆的位

3、置关系为：当圆心到直线的距离d r时，直线和圆相离，如圆 O与直线11；当圆心到直线的距离 匚 r时，直线和圆相切，如圆 O与直线12；当圆心到直线的距离 r时，直线和圆相交，如圆O与直线l3.在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则 AB为直径；若直线不经过圆心，如图，连结圆心。和弦AB的中点M的线段OM垂直于这条弦 AB.且在Rt OMA中，OA为圆的半径r , OM 为圆心到直线的距离 d, MA为弦长AB的一半，根据勾股定理，有 -F2 dL(JAB)222当直线与圆相切时，如图，PA, PB为圆。的切线，可得 PA PB, OA PA.,且在Rt POA中,222

4、PO2 PA2 OA2PT为圆O的切线，PAB为圆O的割线，我们可以证彳& PATPTB，因而PT2 PA PB .(2)设圆Oi与圆。2半径分别为R,r(R r),它们可能有哪几种位置关系?两圆的圆心距为 0。2,不难发现：当0。2R r时，两圆相内切，如图(1)；当O1O2R r时，两圆强喀公立号：音中毒事建信公立手：每爱音仲敢学相外切，如图（2）；当。1。2 R r时，两圆相内含，如图（3）；当R r OQ2 R r时，两圆相交，如图（4）；当OQ2 R r时，两圆相外切，如图（5）、典例精析【典例1】已知。O的半径OB=5cm,弦AB=6cm, D是ab的中点，求弦BD的长度。

5、6【答案】见解析【解析】连结 OD,交AB于点E。1BD AD O是圆心, OD B, BE AE AB 3cm.2在 Rt BOE 中，OB=5cm，BE=3cm，OE ToB"BE2 4cm:OD 5cm, DE 1cm.在 Rt BDE 中，BE=3cm，DE=1cm, BD V0cm【典例2】已知圆的两条平行弦的长度分别为6和2J6，且这两条线的距离为3.求这个圆的半径【答案】见解析【解析】设圆的半径为r ,分两种情况:(1)若O在两条平行线的外侧,如图(1), AB=6, CD=2褥,则由 OM ON二3, J/72=924 W，解得1 5.(2)若O在两条平行线的内侧(含

6、线上)，AB=6, CD = 2J6 , 则由 oM ON= 3,得r/p二g r2 - 24 N，无解.综合得，圆的半径为 5.【典例3】设圆。1与圆。2的半径分别为3和2,。1。2 4, A,B为两圆的交点，试求两圆的公共弦AB的长度.【答案】见解析【解析】连AB交O1O2于C ,则O1O2 AB ,且C为AB的中点,设 AC x ,则 01c9 x2,02C4 x2, O1O29 x2. 4 x2故弦AB的长为2x3d54三、对点精练1.。的半径为17cm,弦AB=30cm, AB所对的劣弧和优弧的中点分别为D、C,求弦AC和BD的长。E【答案】见解析取AB中点M ,连CM , MD,则

7、CM /；/ / 1/kg /PV/p/4 -*=长 _w： / k.rOM Jl72 152 8,CM 25,DM2.已知四边形 ABCD是。O的内接梯形， 的面积。【答案】见解析【解析】AB,DM AB ,且 C, O, M, D 共线，9, AC 5T34cm,BD 3<34cmAB/CD, AB=8cm,CD=6cm,。的半径等于 5cm,求梯形 ABCDM.【解析】X./A'O至ijAB, CD的距离分别为 3cm,4cm,梯形的高为1cm或7cm,梯形的面积为3 .。O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E, AE 1cm,EB 5cm, DEB 60o, 占【答案】见解析【解析】半径为 3cm, OE=2cm.,OF= V3,CD 276cm4 .若两圆的半径分别为 3和8,圆心距为13,试求两圆的公切线的长度 . 【答案】见解析7 或 49cm2 .求CD的长。【解析】/将公床h卷口一短rJ冲我学外公切线长为1